索洛增长模型

第一章索洛经济增长模型

TheSolowGrowthModel

基本内容

1索洛模型的基本假定

2离散时间的索洛模型

3离散时间索洛模型的过渡过程

4连续时间的索洛模型

5连续时间索洛模型的过渡过程

6持久增长

7带技术进步的索洛模型

8比较动态分析

1索洛模型的基本假定

● 一个分析经济增长和各国收入差异的基本框架.

● 其核心假定是新古典总的生产函数.

家庭与生产I

● 封闭经济,唯一的最终产品.

● 离散时间，t=0,1,2,....

● 该经济里有众多的家庭，暂时假定家庭没有优化行为.

● 这也是索罗模型与新古典增长模型的主要区别.

● 为了简化，假定各个家庭相同，可以用代表性家庭来表

示.

家庭与生产II

● 假定家庭的储蓄率外生

● 所有厂商具有相同的生产函数，可以用代表性厂商表

示.

● 对该经济中的唯一最终产品，生产函数为

()[(),(),()]YTFKtLtAt(1)

●假定资本与最终产品相同（比如玉米）,用于生产更多

的产品.

●()At可以理解为技术.

●主要假定:技术是免费的;具有非竞争性与非排他性.

关键假设1

Assumption1(连续性,可微性,边际产出为正且递减,规

模报酬不变)生产函数3:FRR



关于K与L二阶连续可

微,且满足

22

22

()()

(,,)0(,,)0

()()

(,,)0(,,)0

KL

KKLL

FF

FKLAFKLA

KL

FF

FKLAFKLA

KL













同时,F关于K与L规模报酬不变.

● 假定F关于K与L规模报酬不变，即关于这两个变量

线性齐次.

复习

定义假定K为整数，如果对任意的R



与KzR，有

(,,)(,,)mgxyzgxyz，那么函数2:KgRR



为

xR

与yR的

m次齐次函数.

定理(欧拉定理Euler'sTheorem)假定函数2:KgRR



为

xR

与

yR的m次齐次函数，偏导数分别是

x

g与

y

g，那么对任意的

xR

，

yR以及KzR，有

()()(),,,,,,

xy

mgxyzgxyzxgxyzy

同时，,(),

x

gxyz与

,(),

y

gxyz

是关于x与y的

1m

次齐次式.

市场结构与市场出清I

●假定市场是竞争的,因此也可认为是竞争一般均衡模型.

●家庭拥有劳动,供给无弹性.

●经济中的劳动（力）,()Lt,无论在什么价格下，劳动的供给

量均为()Lt.

●劳动力市场出清条件:

()()LtLt

上式对所有的t均成立,()Lt劳动需求(也可视为就业水平).

●一般来说,互补松弛条件的表述更为准确.

●记t时期的工资率为w(t),于是劳动力市场出清条件可表

示为

()()),0(LtLtwtand(()())(0)LtLtwt

市场结构与市场出清II

●假设1与竞争的劳动力市场意味着工资率必须严格为正.

●家庭拥有资本，并将其出租给厂商.

●记t期的资本租赁价格()Rt.

●资本市场出清条件:

()()sdKtKt

LHS-家庭的行为决定；RHS-厂商的行为决定

●假定家庭拥有的初始资本存量为()0K

●()Pt为t时期最终产品的价格,将其标准化为1.

●利率r(t)

●折旧率δ

●家庭得到的实际回报()()rtRt.

厂商优化

厂商优化I

●考虑代表性厂商的最大化问题:

0)0,()(

[()()()],()()()(),.

LtKt

maxFKtLtAtwtLtRtKt





●注意:

1●上述最大化问题中的变量是总量.

2●在F前面没有系数,这是因为最终产品的价格已正规化

为1.

3●假定要素市场完全竞争:在厂商看来，()wt与()Rt是给定

的.

4●凹的问题,因为F是凹的.

厂商优化II

●由于F可微,一阶条件（FOC）为:

()[()()()],,,

L

wtFKtLtAt(2)

()[()()()],.,

K

RtFKtLtAt(3)

●在(2)与(3)中,()Kt与()Lt分别表示厂商对资本和劳动的需

求量.

●实际上，可以通过(2)与(3)求解()Kt与()Lt,它们是资本租

赁价格()Rt和工资率()wt的函数.

厂商优化III

命题假定假设1成立，那么均衡时厂商的利润为0，

()()()()().YtwtLtRtKt

●证明:可直接从欧拉定理得到（注意到1m,即规模报酬不

变）.

关键假设2

假设2(Inadaconditions)F满足Inada条件

0

00()()

KK

KK

limFandlimFforallLallA





0

00()()

LL

LL

limFandlimFforallLallA





●保证内点解.

生产函数

Figure:mpleinPanelA

satisfiestheInadaconditionsinAssumption2,whiletheexampleinPanelBdoesnot.

2离散时间Solow模型

Solow模型的动态过程描述I

●K的折旧率为,于是

11()((()),)KtKtIt(4)

其中，()It是t阶段的投资.

●对于封闭经济,产出等于消费与储蓄（投资）之和

,()()()YtCtIt(5)

●注意，该模型没有家庭效用的最大化问题，因此此处难以讨

论社会福利等方面的话题.

Solow模型的动态过程描述II

●由于经济是封闭的(同时不考虑政府支出)，于是

.()()()()StItYtCt

●假定家庭的储蓄率是常数，则

()(),StsYt(6)

1()()()CtsYt(7)

●于是资本供给（家庭的行为决定储蓄率s）可表示为

()()(11)()()()().sKtKtStKtsYt

Solow模型的动态过程描述III

●资本的供求相等()().sKtKt

●同时也有劳动力市场供求相等()().LtLt

●结合(1)与(4),可得Solow增长模型的动态方程:

()[()()1,,1.()]()()KtsFKtLtAtKt(8)

●非线性差分方程.

●Solow增长模型的均衡由该方程以及()(())()LtorLtandAt来

刻画.

定义均衡I

●没有家庭优化,但仍然有厂商最大化行为以及要素市场

的出清.

定义在Solow模型中，对于给定的序列

0

()(),

t

LtAt



以及

初始资本存量()0K,

0

,,,()()()(,)()

t

KtYtCtwtRt



是资本、产

出、消费、工资率、租赁价格的均衡路径，其中()Kt满足(8),

()Yt由(1)给出,()Ct由(7)给出,()wt与()Rt分别由(2)与

(3)给出.

●注意，均衡是沿着时间的整条路径，而不是静态的点.

不考虑人口增长与技术进步时的均衡

不考虑人口增长与技术进步时的均衡I

●进一步假定（稍后放松假定）:

1●没有人口增长;假定总人口为常数L>0，即()LtL.

2●假定没有技术进步，即()AtA.

●定义资本-劳动比率（人均资本）为

(

(,

)

)

Kt

kt

L

(9)

●利用规模报酬不变,人均产出)()(/ytYtL可表示为

,1,

()

()

(()).

Kt

ytFA

L

fkt











(10)

不考虑人口增长与技术进步时的均衡II

●注意()fk依赖于A,本可以将生产函数写成,()fkA;但由于A

是常数，因此可以假定A=1.

●由欧拉定理

0()(())

()(())()(())0.

Rtfkt

wtfktktfkt









(11)

●由假设1可知（11）中的要素价格均为正.

例子:Cobb-Douglas生产函数I

●一类特殊的生产函数，但应用很广泛:

1

()[()()()]

()(

,,

,01)

YtFKtLtAt

AKtLt





●满足假设1和2.

●两边同时除以()Lt,

()()ytAkt

●由(11)可得

(1)

()

()()

()

Akt

RtAkt

kt











●由欧拉定理,

()()()1.()()()wtytRtktAkt

例子:Cobb‐Douglas生产函数II

●或者直接从Cobb-Douglas生产函数有,



11

1

()()()

(),

RtAKtLt

Akt

























1

1,

wtAKtLt

Atk













直接可验证满足欧拉定理.

不考虑人口增长与技术进步时的均衡

不考虑人口增长与技术进步时的均衡I

●将(8)的两端同时除以L可得人均量的表达式:

()(()11).)(()ktsfktkt(12)

定义稳态均衡（steady-stateequilibrium）*()ktk.

该经济将趋于该稳态均衡(但在有限时间不能到达).

稳态人均资本

不考虑人口增长与技术进步时的均衡II

●上图实线代表(12)，虚线是45线.

●它们的（正的）交点*k表示稳态人均资本

*

*

.

()fk

ks



(13)

●注意到还有另一交点0k,因为已经假定0(0)f.

●忽略该稳态值:

●如果资本不是必不可少的（esntial）,()0f可能大于0

0k可能变为稳态均衡点

●本交点,即使存在，也不稳定。

●在经济上，本交点意义不大.

不考虑人口增长与技术进步时的均衡III

不考虑人口增长与技术进步时的均衡IV

●另一视角的稳态表示:折旧k与总投资()sfk的交点.

1●同一图中也可展示消费与储蓄.

2●稳态投资()sfk=折旧k（补充资本的量）.

消费与投资的稳态

不考虑人口增长与技术进步时的均衡V

命题考虑Solow增长模型，同时假定1与2满足，则存在唯

一的稳态均衡*,()0k由(13)给出,人均产出为

**()yfk(14)

人均消费为

**1(().)csfk(15)

证明

●之前的分析已经说明满足（13）的*k是稳态点.

●为了证明存在性,注意到由假设2以及洛必达法则

（L'Hospital'srule),可得

0

/()(/)0.

kk

limfkkandlimfkk





●由于假设1，()/fkk是连续函数,于是由中值定理

（IntermediateValueTheorem），存在*k满足(13).即

**

**

0

()()

{}0{}0

kk

fkfk

limandlim

ss

kk





。

●唯一性证明：()/fkk对k求导数可得

22

/

0,

[()]()()fkkfkkfkw

kkk









(16)

其中第二个等号用到了(11).

●即()/fkk严格递减,因此至多存在一个解*k满足(13).

●方程(14)与(15)直接由定义可得.

稳态点的不存在与不唯一

Figure: Examples of nonexistence and nonuniqueness of interior steady states when Assumptions 1

and 2 are not satisfied.

不考虑人口增长与技术进步时的均衡VI

●可以直接进行比较静态分析：s,A与δ对*kand*y的影响

分析.

●但*c关于储蓄率s不是单调函数(想想s=1与s=0).

●事实上,存在特殊的储蓄率,

gold

s“黄金储蓄率”,使得*c最大。

注意，此时并未意指黄金储蓄率就一定比其它储蓄率好（本章

未考虑消费者偏好

●消费c与储蓄率s的关系如下（省略掉了其它相关参数）:

**

**

1,()()(())

(())(,)

cssfks

fksks





其中，第二个等号运用了在稳态时有()sfkk.

不考虑人口增长与技术进步时的均衡X

●上式对s求导数可得

**

*

()

(().)

csk

fks

ss



















(17)

●

gold

s满足*)0(/

gold

css.相应的稳态黄金资本存量为

gold

k.

命题在Solow模型中,能达到的最高稳态消费对应的储蓄率

为

gold

s,与之对应的稳态资本

gold

k满足

.

gold

fk

（）(18)

黄金法则（TheGoldenRule）

Figure: The “golden rule” level of savings rate, which maximizes steady‐state consumption.

动态无效性（DynamicInefficiency）

●当经济位于低于

gold

k的位置时,高的储蓄将提高稳态消费;

当经济位于高于

gold

k的位置时,降低储蓄反而可以提高稳态

消费.

●对于后者，人均资本存量太高，因此投资很高，从而消费

减少-动态无效性(dynamicinefficiency).

●但由于没有效用函数,因此在使用无效性这一术语时

“inefficiency”需要格外谨慎.

●当内生化消费储蓄决策后，这种“动态无效性”将不会产

生.

小结:离散时间Solow模型

●人均资本存量演化方程

()(()1(()1))ktsfktkt.

●稳态资本存量由次关系给出

.

()fk

ks







●消费

1()()()CtsYt

●要素价格

()()0()Rtfkt





()(())()(()0)wtfktktfkt





稳态均衡（SteadyStateEquilibrium）

Figure:Steady-statecapital-laborratiointheSolowmodel.

过渡时期动态分析（TransitionalDynamics）

●均衡路径（Equilibriumpath）:并非仅指一个状态,而是关于

资本，产出，消费和要素价格沿时间的整条路径.

●在工程或物理学中,均衡往往仅指一个点,因此也称之为

稳态均衡.

●在经济学中,非稳态的行为也是由家庭与厂商的优化行为

以及市场出清的共同作用形成的.

●有必要分析过渡过程差分方程(12)从任意初始值0(0)k出

发的过渡过程。

●关键问题:经济会走向稳态吗？它沿过渡过程是如何演化

的？

3离散时间Solow模型的过渡过程

过渡过程:复习I

●对于非线性自治差分方程

()1,(())xtGxt(19)

●()nxtRand:.nnGRR

●假定x为()G的不动点,即

().xGx

●x有时也被称之为（19）的一个均衡点.

●也称x为（19）的不动点或稳态点（stationarypointorasteady

state）

定义稳态点x是(局部)渐近稳定的，如果对任意（19）的

解

0

()

t

xt



，其中((0))xBx，存在开集()Bxx满足，使得

()xtx；如果对任意()0nxR,其均衡解

0

()

t

xt



均满足

()xtx，则x为全局渐近稳定的

过渡过程:复习II

关于稳定性的简单判据

●记()xt状态为，参数,abR,则关于线性差分方程

1())(xtaxtb

，其唯一均衡点*x全局渐近稳定的条件是

1ais（/()()1xtxba）.

●假定:gRR在稳态x（()gxx）可微,则如果

)1(gx

，那么非线性差分方程1()(())xtgxt的稳态解x局

部渐近稳定；如果对任意xR，均有1()gx



，那么x全局渐

近稳定.

离散时间Solow模型的过渡过程

命题假定假设1与2满足,那么由(12)表示的索洛模型的稳态

均衡点是全局渐近稳定的,即从任意0(0)k出发，()kt将单调

收敛于k.

命题证明:过渡过程I

●记()()()1gksfkk.注意到对任意k，有0()gk



.

●由(12),

()1,(())ktgkt(20)

有唯一的稳态解k.

●由(13),稳态资本存量k满足()ksfk或者

().kgk(21)

●由于()f是凹函数并且可微（假设1），且满足0(0)f（假设

2）.

命题证明（局部渐近稳定）:过渡过程II

●对任意严格可微的凹函数,有

()()()()0,fkfkfkkfk



(22)

●第二个不等号运用了0(0).f

●(22)意味着/()()sfkksfk

,于是

()(1)1gksfk

.因此,()0,1()gk

.

●于是由上述简单稳定性判据可知道其局部渐近稳定.

命题证明（全局稳定性）:过渡过程III

●为了证明全局稳定性,注意到()(,)0ktk,

()

()(())()

()

0

1

k

kt

ktkgktgk

gkdk













●上述第一行利用了(21)与(20)之差,第二行利用了基本的微积

分知识,第三行利用了基本观察0()gk



（亦可严格证明）.

命题证明（单调收敛性）:过渡过程IV

●(12)意味着

1()()(())

()()

()

0.

ktktfkt

s

ktkt

fk

s

k



















●假设0,()()ktk.

●第二行运用了()/fkk是关于k的减函数(22)，最后一行运用了

k的定义。

●上述分析说明，对容易()(,)0ktk，()()1),(ktktk.

●同理可证，对任意(),ktk()(())1,.ktkkt

●因此,

0

()

t

kt



单调收敛至k，并且全局稳定.

过渡过程III

●稳定性也可图示:

●如果经济始于()0kk,它将增长至k，人均资本与人均产

出均上升.

●如果经济始于)0(kk

,它将缩减至k.

●因此：

命题假设假设1与假设2满足,并且()0kk,那么

0

w()

t

t



是

一个单调递增的序列；而

0

()

t

Rt



是单调递减的序列；如果

()0kk,则结论恰好相反.

●到目前为止,不难看出索洛模型具有许多好的性质，但仅在

()0kk时能一定程度解释增长.

图示：过渡过程

Figure:TransitionaldynamicsinthebasicSolowmodel.

4连续时间Solow模型

从差分方程到微分方程I

●差分方程

()()1.(())xtxtgxt(23)

●考虑如下近似,1[]0t,

()()()()xttxttgxt,

●当∆t=0,上面式子的“约等于”变为“精确相等”.当∆t=

1,它变为(23).

●介于之间的是线性近似,()(())gxgxt其中,[()()1]xxtxt

从差分方程到微分方程II

●将两端同时除以∆t,然后取极限可得

0

()()

()(()),

t

xttxt

limxtgxt

t











(24)

其中

()

()

dxt

xt

dt





●(24)表示差分方程(23)的微分方程（t与t+1之间的间隔足够

小）

连续时间索洛模型的微分方程I

●生产商的相关假定不变,(11)仍然表示要素价格,但现在被解

释为瞬时工资率与瞬时租金率(instantaneouswageandrental

rates).

●储蓄仍然是

()()StsYt,

●消费仍然由(7)1()()()CtsYt给出.

●引入人口增长,

()()()0LtexpntL(25)

●记住

)

(,

(

)

()

Kt

kt

Lt



连续时间索洛模型的微分方程II

●于是

()()()

()(

,

.

)()

()

()

kttLt

ktKtLt

t

n

Kt

K

K













●资本积累

()[()()(],)(),KtsFKtLtAtKt



●由k(t)的定义与规模报酬不变的性质，可得

()(())

()

)

,

(()

ktfkt

sn

ktkt





(26)

连续时间索洛模型的微分方程III

定义在连续时间索罗增长模型中，假定人口增长率为n,没有

技术进步，初始资本存量为K(0),则其均衡路径被定义为资

本、劳动、产出、消费、工作率、租金率，



0

()()()()()(),,,,,

t

KtLtYtCtwtRt



，其中L(t)满足(25),k(t)=K(t)

/L(t)满足(26),Y(t)由生产函数给出,C(t)由(7)给出，w(t)

与R(t)由(11)给出.

●稳态k(t)=k.

稳态：有人口增长的情形

Figure:Investmentandconsumptioninthesteady-stateequilibriumwithpopulation

growth.

连续时间索洛模型的稳态

●(26)具有唯一稳态k,与(13)相比，稍有变化:

.

()fkn

s

k







(27)

命题考虑连续时间索洛增长模型，假定假设1与假设2满足.

那么其存在唯一的稳态均衡0,()k（由(27)给出）,人均产

出为

()yfk

人均消费为

).)(1(csfk

●证明与离散情形类似（此处略）.

5连续时间Solow模型的过渡过程

连续时间索洛模型的过渡过程I

连续时间模型稳态稳定性的简单判据

●假定:gRR是可微函数，假定存在唯一的使得0()gx.

同时假定当xx，()0gx；当xx，()0gx.那么非线性

微分方程()(())xtgxt

的稳态x全局渐近稳定,即对任意初始

值()0x,均有()xtx.

Simple Result in Figure

连续时间索洛模型的过渡过程II

命题考虑连续时间索洛增长模型，假定假设1与假设2满足。

同时假定人口增长率为常数，没有技术增长，则其全局渐近

稳定，即对任意0(0)k，有()ktk

●证明:直接有上述简单判据可得，只是注意当kk，有

()(0)-sfknk；当,kk有()(0)-sfknk.

●见上图.

6持久增长

持久增长 I

●Cobb‐Douglas函数可看出，当α接近1时, 调整到稳态的

速度减缓.

●最简单的可持续增长的模型假定Cobb‐Douglas生产函数中

的α=1.

●放松假设1与假设2，假定

[()()()](,,,)FKtLtAtAKt(28)

其中参数A>0.

●该模型被称之为“AK”模型,其最简单的形式不考虑劳动.

●较为一般的规模报酬不变且考虑劳动的形式为,

[()()()](),,),(FKtLtAtAKtBLt(29)

持久增长II

●假设人口仍然以n增长((25)).

●结合生产函数(28),可得

(

(

.

)

)

kt

sAn

kt





●因此,如果0sAn,人均资本将持续增长.

●由(28),这意味着人均产出也会持续增长.

持久增长III

命题假定Solow模型的生产函数为(28)，且假定0sAn.

那么，当经济处于均衡时，人均产出增长率为sAn.特别

地，当0(0)k,则有

0()(())()ktexpsAntk

0()(())()ytexpsAntAk.

●注意，该模型中没有过渡过程，即上述结论对容易时间t均

成立。

示意图：AK模型的持久增长

Figure:SustainedgrowthwiththelinearAKtechnology

with0sAn

持久增长IV

●令人不满意的某些结果:

1●刀刃上的情形Knife-edgeca,需要生产函数最终关于资

本是线性的.

2●意味着，随着时间的推移，国民收入近乎100%来自于资本

的贡献.

3●但是，技术进步看来或许是影响经济增长最重要的因素.均

均衡增长BalancedGrowthI

●生产函数[()(),,()]FKtLtAt太一般化.

●或许不能保证均衡增长路径，与卡尔多观察事实一致Kaldor

facts(Kaldor,1963).

●卡尔多观察事实:

●尽管人均产出增长,但资本-劳动比率，利率，收入在资本

与劳动之间的占比相对不变.

HistoricalFactorShares

Figure:.

均衡增长II

●资本占国民收入的占比约为1/3,劳动占比约为2/3.

●忽略土地，并不是十分显著的投入要素（.

●但土地仍然是穷国的重要生产要素.

●意味着生产函数1/32/3AKL.●但经济也有许多非均衡的特征.

●e.g.,比如不同部门（产业）的占比发生了系统性变化.

7带技术进步的Solow模型

技术中性类型I

●假定F



规模报酬不变:

●希克斯中性技术进步Hicks-neutral:,

,,[()()()]()[()()],FKtLtAtAtFKtLt



●其（[()(),(,)]FKtLtAt



）等产量曲线在LK坐标系下形态不变.

●索罗中性技术进步Solow-neutral

,,[()()()][()()()],FKtLtAtFAtKtLt



●资本增强型技术进步Capital-augmenting:等产量曲线形态变

化

●哈罗德中性技术进步Harrod-neutral

,,[()()()][()()()],FKtLtAtFKtAtLt



●劳动增强型技术进步Labor-augmenting:等产量曲线形态

变化

IsoquantswithNeutralTechnologicalProgress

Figure:Hicks-neutral,Solow-neutralandHarrod-neutralshiftsinisoquants.

技术中性类型II

●更一般的形式

,()(()(,)())

HKL

AtAtAtAt

生产函数为

[()()()]()[()()(),],(,)

HKL

FKtLtAtAtFAtKtAtLt



●均衡增长要求技术进步表现为劳动增强型（Harrod-neutral）.

Uzawa定理I

●考虑连续时间模型.

●均衡增长的关键要素:要素占比是不变常数，资本产出比

/()()KtYt亦为不变常数.

●要素占比的意思是

()()()()

()()

()()LK

wtLtRtKt

tandt

YtYt



●由假设1（规模报酬不变）与欧拉定理可知1()()

LK

tt.

Uzawa定理II

定理

(UzawaI)假定()()()0LtexpntL,()(()(,)()),YtFKtLtAt





,

()()()()KtYtCtKt



,F关于K与L规模报酬不变。假定

,对任意t，有/0,/0()()()()

YK

YtYtgKtKtg



，

/()()0

C

CtCtg



.那么

●

YKC

ggg;

●对任意t,F



可以表示成

()((),)(())YtFKtAtLt,其中2,:()AtRFRR



是关于K

与L线性齐次函数1,()()/

Y

AtAtggn



.

Uzawa定理的含义

推论在Uzawa定理的条件下，在时间τ之后，技术进步可

表示为哈罗德中性(即劳动增强型).

●突出特点:该定理的内容与证明不依赖于均衡行为与市场出

清。

解释

●令人沮丧的结果:

●均衡增长需要对技术进步的形式有比较苛刻的假定.

●但对技术进步为何采用这种形式，并未有足够的理由.

含技术进步的索罗增长模型:连续时间I

●由Uzawa定理,生产函数必须具有这种形式

()[(),)(()]YtFKtAtLt,

●假定

,

.

()

()

()

()

At

g

At

Lt

n

Lt









(30)

●再结合常数的储蓄率

()[()()()](),.KtsFKtAtLtKt



(31)

含技术进步的索罗增长模型:连续时间II

●定义k(t)为有效资本劳动比率（effectivecapital-laborratio）即

(

)

))

.

)

(

((

Kt

kt

AtLt

(32)

●注意此处用了与之前分析时相同的符号，但含义有差异.

●（33）两端取对数,然后对时间求导数可得

()()

(

.

)()

ktKt

gn

ktKt







(33)

●于是有效资本劳动的产出为

()()

()

()()()

ˆ

,1

()

(())

YtKt

ytF

AtLtAtLt

fkt











含技术进步的索罗增长模型:连续时间III

●人均收入为()()()/ytYtLt,即

()()()

()(().)

ˆ

ytAtyt

Atfkt





(34)

●很明显，如果ˆ

()yt为常数,那么人均产出y(t)将随时间而最终，

因为()At是增长的。

●在这种情况下，我们不应该寻求固定值的“稳态steadystates”，

而应当以“均衡增长路径（balancedgrowthpaths：BGP）”的

视角来分析问题,在此路径上的增长率为常数.

●而“经过变换的变量”ˆ

()yt或者()kt保持常数.

●因此，BGP也可以被视为是“经过变换的增长模型”的稳态

（steadystates）.

含技术进步的索罗增长模型:连续时间IV

●因此，在文献中“稳态steadystate”与“均衡增长路径BGP”

都在使用。

●将(32)代入(34)可得

()[()()()]

()

()()

,

.

ktsFKtAtLt

gn

ktKt





●利用(33),

()(())

()

(()

,

)

ktsfkt

gn

ktkt





(35)

●与没含技术进步的情形相比，这里出现了g,k不再是资本劳

动比率，而是有效资本劳动比率.

含技术进步的索罗增长模型:连续时间V

命题考虑索罗增长模型，技术进步为哈罗德中性，技术增长

率为g,人口增长率为n.假定假设1与假设2满足，有效资本

劳动比率为(33).那么，该经济存在唯一的稳态（BGP），使

得其稳态有效资本劳动比率0,()k，满足

()

.

fkgn

s

k







(36)

人均产出与人均消费的增长率均为g.

含技术进步的索罗增长模型:连续时间VI

●在(37)中,它强调(用于补充资本的)储蓄sf(k)有三种不同的用

途:

1●折旧δ.

2●人口增长率n将降低人均资本存量.

●3技术进步率g.

●于是(用于补充资本的)投资()gnk.

含技术进步的索罗增长模型:连续时间VII

命题考虑索罗增长模型，技术进步为哈罗德中性，技术增

长率为g,人口增长率为n，假定假设1与假设2满足，那么该

稳态为渐进问题，即对任意0(0)k,有效资本劳动比率收敛于

稳态值(())kktk.

●因此该经济能够产生人均产出的持续增长，但该增长是外生

的.

8比较动态

比较动态分析I

●比较动态分析:参数变化或冲击对经济的动态影响.

●与前面命题的比较静态不一样，此处分析的整个路径收

到冲击或参数变化的影响.

●注意到

()()(())//()()ktktsfktktgn



Comparative Dynamics in Figure

Figure: Dynamics following an increa in the savings rate fromstos

. The solid arrows show the

dynamics for the initial steady state, while the dashed arrows show the dynamics for the new steady

state.

比较动态分析II

●未预料且持久的储蓄率上升，比如s上升至s

.

●上式右侧(())()()/sfktktgn表示的曲线向右移动至图

中斜向下的虚线,与横轴新的交点为k。水平轴下的虚线箭头刻画

可有效资本劳动比率的调整情况。

●在储蓄率变化的刚开始, 资本存量保持不变(因为其为状态

变量，是存量)然后逐渐沿虚线箭头移动

●如果s的变化是暂时的，在tt



上升,然后在将来ttt



回

到初始的储蓄率（在t

之前，箭头先右移动，然后当过了t

后，

最初的微分方程起作用，回到最初的k）.

本章小结

●索罗经济增长模型简单易于处理，容易分析资本积累、技术

增长对经济的影响.

●索罗模型表明，若没有技术增长，并且生产函数不是AK形

式, 那么经济将不存在持续增长.

●索罗模型能够产生持续增长,但是由外生的技术进步决定

的，而技术进步在此时还是一个未开启的黑匣子.

●资本积累: 由储蓄率, 折旧率以及人口增长率决定，而这些

量全被假定为外生的.

●需要更加深入挖掘、理解黑匣子背后的机理.