自然数集

自然数

自然数：用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，„所表

示的数。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始(包括0)，

一个接一个，组成一个无穷的集体。

分类①按能否被2整除分

②按因数数个数分

关于0，2,3,5

数学术语

自然数集：常用大写字母N表示【英译】naturalnumber

自然数是一切等价有限集合共同特征的标记。

注：自然数就是我们常说的正整数和0。整数包括自然数。

自然数集有加法和乘法运算，两个自然数相加或相乘的结果仍为自然数，也可以作减法

或除法，

但相减和自然数相除的结果未必都是自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是

总能成立的。

自然数是人们认识的所有数中最基本的一类，为了使数的系统有严密的逻辑基础，19

世纪的数学家建立了自然数的两种等价的理论:自然数的序数理论和基数理论，使自然数的

概念、运算和有关性质得到严格的论述。

自然数一定是整数。

用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，„„所表示的

数。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始(包括0)，一个接一个，组成一个无穷

的集体。

序数理论是意大利数学家G.皮亚诺提出来的。他总结了自然数的性质，用公理法给出

自然数的如下定义。

自然数集N是指满足以下条件的集合：①N中有一个元素，记作1。②N中每一个元素

都能在N中找到一个元素作为它的后继者。③1不是任何元素的后继者。④不同元素有

不同的后继者。⑤（归纳公理）N的任一子集M，如果1∈M，并且只要x在M中就能推

出x的后继者也在N中，那么M=N。基数理论则把自然数定义为有限集的基数，这

种理论提出，两个可以在元素之间建立一一对应关系的有限集具有共同的数量特征，这一特

征叫做基数。这样，所有单元素集{x}，{y}，{a}，{b}等具有同一基数，记作1。类似，

凡能与两个手指头建立一一对应的集合，它们的基数相同，记作2，等等。自然数的加法、

乘法运算可以在序数或基数理论中给出定义，并且两种理论下的运算是一致的。自然

数在日常生活中起了很大的作用，人们广泛使用自然数。

“0”是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；

而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。目前关于这个问题尚无一致意见。不过，

在数论中，多采用前者；在集合论中，则多采用后者。自然数是整数（自然数包括正整数和

零），但整数不全是自然数，例如：-1-2-3......是整数而不是自然数。自然数是无限的。全

体非负整数组成的集合称为非负整数集（即自然数集）

在数物体的时候，数出的1.2.3.4.5.6.7.8.9„„叫自然数又叫整数。

自然数有数量、次序两层含义，分为基数、序数。基本单位：1计数单位：个、十、

百、千、万„„

数包括整数、分数、小数。整数包括正整数、零和负整数。正整数和零也可分在自然数

内。

分数包括真分数和假分数。真分数小于1假分数大于等于1.。零和正整数统称为自然数。

总之，自然数就是指大于或等于0的整数。

奇数和偶数

①按能否被2整除分

可分为奇数和偶数。1、奇数：不能被2整除的数叫奇数。2、偶数：能被

2整除的数叫偶数。3、特别注意：0是偶数。（2002年国际数学协会规定,零为偶数.

我国2004年也规定零为偶数。偶数可以被2整除,0照样可以，只不过，得数依然是0而已，

但是不可以说它没有缩小）。

②按因数数个数分

可分为质数、合数和11、质数：只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数。

[质数也称作素数]。2、合数：除了1和它本身还有其它的因数的自然数叫做合数。

3、1：只有1个因数。它既不是质数也不是合数。[当然0不能计算因数也一样是非质数、

非合数]。注：是因数不是约数。

关于0

“0”是否包括在自然数之内存在争议，有人认为自然数为正整数，即从1开始算起；

而也有人认为自然数为非负整数，即从0开始算起。目前关于这个问题尚无一致意见。不过，

在数论中，多采用前者；在集合论中，则多采用后者。

我国传统的教科书所说的自然数都是指正整数。在国外，有些国家的教科书是把0也算

作自然数的。这本是一种人为的规定，我国为了推行国际标准化组织(ISO)制定的国际标准，

定义自然数集包含元素0，也是为了早日和国际接轨。

现行九年义务教育教科书和高级中学教科书(试验修订本)都把非负整数集也叫做自然

数集，记作N，而正整数集记作N+或N*。这就一改以往0不是自然数的说法，明确指出0

也是自然数集的一个元素。0同时也是有理数，也是非负数和非正数。

关于2,3,5

能同时被2,3,5整除的最小两位数是30，最大两位数是90，最小三位数是120。

倍数和约数

定义：如果有一个自然数a能被自然数b整除，则称a为b的倍数，b为a的约数。几

个自然数公有的约数，叫做这几个自然数的公约数。公约数中最大的一个公约数，称为这几

个自然数的最大公约数。例：在2、4、6中，2就是2，4，6的最大公约数。

早在公元前300年左右，欧几里得就在他的著作《几何原本》中给出了高效的解法——

辗转相除法。辗转相除法使用到的原理很聪明也很简单，假设用f（x,y）表示x，y的最大

公约数，取k=x/y，b=x%y，则x=ky+b，如果一个数能够同时整除x和y，则必能同时

整除b和y；而能够同时整除b和y的数也必能同时整除x和y，即x和y的公约数与b和

y的公约数是相同的，其最大公约数也是相同的，则有f（x,y）=f（y,x%y）（y>0），如此

便可把原问题转化为求两个更小数的最大公约数，直到其中一个数为0，剩下的另外一个数

就是两者最大的公约数。例如，12和30的公约数有：1、2、3、6，其中6就是12和

30的最大公约数。

重要性质：gcd(a,b)=gcd(b,a)（交换律）gcd(-a,b)=gcd(a,b)gcd(a,a)=|a|

gcd(a,0)=|a|gcd(a,1)=1gcd(a,b)=gcd(b,amodb)gcd(a,b)=gcd(b,a-b)如果

有附加的一个自然数m,则:gcd(ma,mb)=m*gcd(a,b)(分配率)

gcd(a+mb,b)=gcd(a,b)如果m是a和b的最大公约数，则：

gcd(a/m,b/m)=gcd(a,b)/m在乘法函数中有：gcd(ab,m)=gcd(a,m)*gcd(b,m)两

个整数的最大公约数主要有两种寻找方法：*两数各分解质因子，然后取出同样有的

项乘起来*辗转相除法（扩展版）和最小公倍数（lcm）的关系：gcd(a,b)

*lcm(a,b)=aba与b有最大公约数，但不一定有最小公倍数两个整数的最大公

因子可用于计算两数的最小公倍数，或分数化简成最简分数。两个整数的最大公因子

和最小公倍数中存在分配律：*gcd(a,lcm(b,c))=lcm(gcd(a,b),gcd(a,c))*lcm(a,

gcd(b,c))=gcd(lcm(a,b),lcm(a,c))在坐标里，将点(0,0)和(a,b)连起来，通过整数坐标

的点的数目（除了(0,0)一点之外）就是gcd(a,b)。

应用贝祖等式来计算

注意：百度中无法显示数学中的脚标！a0,a1,...，a（n-1）,a（n）是数列，r1.r2,...,r

（n-1）,r（n）也是数列。r（n-1）即数列的第(n-1)项别弄错了。得给百度提提意见了！

对任意两个整数a、b，设d是它们的最大公约数。那么关于未知数x和y的线性丢番图方

程（称为贝祖等式）：贝祖等式，依艾蒂·贝祖命名，是线性丢番图方程。它说明若有

整数a、b和其最大公因子d，必存在整数x、y使得：ax+by=dx、y称为贝祖数，可用

扩展版辗转相除法求得，但结果不是唯一的。例如12和42的最大公因子是6，便可

以写(-3)×12+1×42=6及4×12+(-1)×42=6。d其实就是最小可以写成ax+by形式的

正整数。辗转相除法是用来求最大公约数的．我们用代数的形式来表达(实质上，算术

形式也是可以完全讲得清楚的)．给出两个正整数a和b，用b除a得商a0，余数r，

写成式子a=a0b+r，0≤r

0，那么b可以除尽a，而a、b的最大公约数就是b．如果r≠0，再用r除b，得商a1，余

数r1，即b=a1r+r1，0≤r1

是a、b的公约数．反之，任何一除尽b的数，由(1)，也除尽r，因此r是a、b的最大公约

数．如果r1≠0，则用r1除r得商a2，余数r2，即r=a2r1+r2，0≤r2

r2=0，那么由(2)可知r1是b、r的公约数，由(1)，r1也是a、b的公约数．反之，如果一数

除得尽a、b，那末由(1)，它一定也除得尽b、r，由(2)，它一定除得尽r、r1，所以r1是a、

b的最大公约数．如果r2≠0，再用r2除r1，如法进行．由于b>r>r1>r2>„逐步小下来，

而又都是正整数，因此经过有限步骤后一定可以找到a、b的最大公约数d(它可能是1)．这

就是有名的辗转相除法，在外国称为欧几里得算法．这个方法不但给出了求最大公约

数的方法，而且帮助我们找出x、y，使ax+by=d．(4)在说明一般道理之前，先看下面

的例子．从求42897与18644的最大公约数出发：42897=2×18644+5609，(i)18644=3

×5609+1817，(ii)5609=3×1817+158，(iii)1817=11×158+79，(iv)158=2×79．这样求

出最大公约数是79．我们现在来寻求x、y，使42897x+18644y=79．由(iv)可知1817-11

×158=79．把(iii)式的158表达式代入此式，得79=1817-11(5609-3×1817)=34×1817-11

×5609．再以(ii)式的1817表达式代入，得79=34×(18644-3×5609)-11×5609=34×

18644-113×5609．再以(i)式的5609表达式代入，得79=34×18644-113×(42897-2×18644)

=260×18644-113×42897．也就是x=-113，y=260．这虽然是特例，也说明了一般的理

论．一般的理论是：把辗转相除法写成为a=a0b+r，b=a1r+r1，r=a2r1+r2，

r1=a3r2+r3，„„„r（n-1）=a（n+1）r（n）+r（n+1），r（n）=a（n+2）r（n+1）．这

样得出最大公约数d=r（n+1）．由倒数第二式，r（n+1）可以表为r（n-1）、r（n）的一次式，

再倒回一个可以表为r（n-2）、r（n-1）的一次式，„，最后表为a、b的一次式．即把d放

在等式的一边，另一边不断代入上一个等式，最后可找出一组（x、y）值，使ax+by=d．成

立。由此，贝式等式得证。

百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数，也叫百分率或百分比。百分数通常不

写成分数的形式，而采用符号“％”（叫做百分号）来表示。百分数在工农业生产、科学技

术、各种实验中有着十分广泛的应用，特别是在进行调查统计、分析比较时，经常要用到百

分数。百分数与分数的区别

1．意义不同。百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几的数。”它只能表示两

数之间的倍数关系，不能表示某一具体数量。如：可以说1米是5米的20%，不可以说“一

段绳子长为20%米。”因此，百分数后面不能带单位名称。分数是“把单位‘1’平均分成

若干份，表示这样一份或几份的数”。分数还可以表示两数之间的倍数关系.2．应用范围不

同。百分数在生产、工作和生活中，常用于调查、统计、分析与比较。而分数常常是在测量、

计算中，得不到整数结果时使用。3．书写形式不同。百分数通常不写成分数形式，而

采用百分号“%”来表示。如：百分之四十五，写作：45%；百分数的分母固定为100，因

此，不论百分数的分子、分母之间有多少个公约数，都不约分；百分数的分子可以是自然数，

也可以是小数。而分数的分子只能是自然数，它的表示形式有：真分数、假分数、带分数，

计算结果不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数，是假分数的要化成带分数。任何一

个百分数都可以写成分母是100的分数，而分母是100的分数并不都具有百分数的意义.

4.百分数不能带单位名称；当分数表示具体数时可带单位名称。

编辑本段用处

百分数一般有三种情况：①100%以上，如：增长率、增产率等。②100%

以下，如：发芽率、成长率等。③刚好100%，如：正确率，合格率等。

编辑本段百分数的意义

百分数只可以表示分率，而不能表示具体量,所以不能带单位。百分比虽以

100为分母，但分子可以大于100，如200%即代表原本数字的2倍。举例如一间公司去年

纯利100万元，今年的纯利为120万元，则可以表示成“今年的纯利比去年增加20%”，亦

可写成“今年的纯利是去年的120%”，但这种写法较少使用。百分比有时可能造成误会，

不少人认为一个百分比的上升会被相同下降的百分比所抵消，例如从100增加50%，等于

100+50，即150。而从150下降50%则是150-75，等于75。最终结果是小于原本的数字100。

百分数的分子还可以是小数。百分数概念的形成应以学生实际生活中的事例或工农业

生产中的事例引入．例如，一年级有学生100人，其中女同学有47人，女同学即占全年级

人数的百分之四十七，写作47%．又如，二年级有学生200人，其中女同学有100人，女

同学即占全年级人数的百分之五十．在这两个例子中，两个年级的人数都是“标准量”，而

女同学的人数为“比较量”．在百分数应用题的教学中要抓住比较量÷标准量=百分率（百

分数）这一数量关系式进行分析．

编辑本段日常应用

每天在电视里的天气预报节目中，都会报出当天晚上和明天白天的天气状况、降水

概率等，提示大家提前做好准备，就像今天的夜晚的降水概率是20%，明天白天有五~六级

大风，降水概率是10%，早晚应增加衣服。20%、10%让人一目了然，既清楚又简练。随

着现在科技的飞速发展，现在每个中龄人都配备手机，款式多种多样。伦敦大学皇家学院心

理学家格伦.威尔森研究证明：老是低着头看短信，会导致工作效率低下，工作人员的大脑

反应能力也会减慢，经常看短信的人智商会下降10%，以百分数的形式再次证明了手机虽

为人们提供了方便，但对人体健康却十分有害。我国是世界上最大的节能灯生产国，

但产品80%出口，国内使用量严重偏低。针对2001年普通高校应届本、专科生，已

签约应届大学生中47.1%的人签约月薪在1500元以下。一项网络调查显示，有85.63%

的网民，近几年一直没读过名著。此外，8.98%的网民近十年没读过名著，还有6.75%的网

民表示从来就没读过名著。药水比例时也会碰到百分数，比如10%。

编辑本段扩展

表示一个数是另一个数的千分之几的数，叫做千分数，千分数也叫千分率。与百分

数一样，千分数也有千分号。（即‟）,千分数与百分数差不多，只是千分数表示一个数是另

一个数的一千分之一，百分数表示一个数是另一个数的一百分之一。

编辑本段统计术语：百分数和百分点

百分数是用一百做分母的分数，在数学中用“%”来表示，在文章中一般都写作“百

分之多少”。百分数与倍数不同，它既可以表示数量的增加，也可以表示数量的减少。运用

百分数时，也要注意概念的精确。如“比过去增长20%”,即过去为100，现在是“120%”;

“比过去降低20%”，即过去是100，现在是“80”；“降低到原来的20%”，即原来是100，

现在是“20”。运用百分数时,还要注意有些数最多只能达到100%,如产品合格率，种子发芽

率等；有些百分数只能小于100%，如粮食出粉率等；有些百分数却可以超过100%，如产

品产量计划完成情况等。“占”、“超”、“为”、“增”的用法，“占计划百分之几”指完

成计划的百分之几；“超计划的百分之几”，就应该扣除原来的基数(－100%)；“为去年的百

分之几”就是等于或相当于去年的百分之几；“比去年增长百分之几”应扣掉原有的基数（－

100%）。百分点是指不同时期以百分数形式表示的相对指标（如：速度、指数、构成

等）的变动幅度。例如：我国国内生产总值中，第一产业占的比重由1992年的20.8%下降

到1993年的18.2%。从上述资料中，我们可以说：国内生产总值中，第一产业占的比

重，1993年比1992年下降2.6个百分点（18.2－21.8=－2.6）；但不能说下降2.6%。

百分数的由来

200多年前，瑞士数学家欧拉，在《通用算术》一书中说，要想把7米长的一根绳

子分成三等份是不可能的，因为找不到一个合适的数来表示它．如果我们把它分成三等份，

每份是米．像就是一种新的数，我们把它叫做分数．而后，人们在分数的基础上又以100

做基数，发明了百分数。

“百分数”和“百分点”

百分数是用一百做分母的分数，在数学中用“%”来表示，在文章中一般都写作“百

分之多少”。百分数与倍数不同，它既可以表示数量的增加，也可以表示数量的减少。运用

百分数时，也要注意概念的精确。如“比过去增长20%”，即过去为100，现在是“120”;

“比过去降低20%”，即过去是100，现在是“80”；“降低到原来的20%”，即原来是100，

现在是“20”。运用百分数时，还要注意有些数最多只能达到100%，如产品合格率，种子

发芽率等；有些百分数只能小于100%，如粮食出粉率等；有些百分数却可以超过100%，

如产品产量计划完成情况等。“占”、“超”、“为”、“增”的用法，“占计划百分之几”

指完成计划的百分之几；“超计划的百分之几”，就应该扣除原来的基数(－100%)；“为去年

的百分之几”就是等于或相当于去年的百分之几；“比去年增长百分之几”应扣掉原有的基

数（－100%）。百分点是指不同时期以百分数形式表示的相对指标（如：速度、指数、

构成等）的变动幅度。例如：我国国内生产总值中，第一产业占的比重由1992年的21.8%

下降到1993年的18.2%。从上述资料中，我们可以说：国内生产总值中，第一产业占的

比重，1993年比1992年下降3.6个百分点（18.2－21.8=－3.6）；但不能说下降3.6%

百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数，也叫百分率或百分比。百分数通常不

写成分数的形式，而采用符号“％”（叫做百分号）来表示。百分数在工农业生产、科学技

术、各种实验中有着十分广泛的应用，特别是在进行调查统计、分析比较时，经常要用到百

分数。百分数与分数的区别

1．意义不同。百分数是“表示一个数是另一个数的百分之几的数。”它只能表示两

数之间的倍数关系，不能表示某一具体数量。如：可以说1米是5米的20%，不可以说“一

段绳子长为20%米。”因此，百分数后面不能带单位名称。分数是“把单位‘1’平均分成

若干份，表示这样一份或几份的数”。分数还可以表示两数之间的倍数关系.2．应用范围不

同。百分数在生产、工作和生活中，常用于调查、统计、分析与比较。而分数常常是在测量、

计算中，得不到整数结果时使用。3．书写形式不同。百分数通常不写成分数形式，而

采用百分号“%”来表示。如：百分之四十五，写作：45%；百分数的分母固定为100，因

此，不论百分数的分子、分母之间有多少个公约数，都不约分；百分数的分子可以是自然数，

也可以是小数。而分数的分子只能是自然数，它的表示形式有：真分数、假分数、带分数，

计算结果不是最简分数的一般要通过约分化成最简分数，是假分数的要化成带分数。任何一

个百分数都可以写成分母是100的分数，而分母是100的分数并不都具有百分数的意义.

4.百分数不能带单位名称；当分数表示具体数时可带单位名称。

编辑本段用处

百分数一般有三种情况：①100%以上，如：增长率、增产率等。②100%

以下，如：发芽率、成长率等。③刚好100%，如：正确率，合格率等。

编辑本段百分数的意义

百分数只可以表示分率，而不能表示具体量,所以不能带单位。百分比虽以

100为分母，但分子可以大于100，如200%即代表原本数字的2倍。举例如一间公司去年

纯利100万元，今年的纯利为120万元，则可以表示成“今年的纯利比去年增加20%”，亦

可写成“今年的纯利是去年的120%”，但这种写法较少使用。百分比有时可能造成误会，

不少人认为一个百分比的上升会被相同下降的百分比所抵消，例如从100增加50%，等于

100+50，即150。而从150下降50%则是150-75，等于75。最终结果是小于原本的数字100。

百分数的分子还可以是小数。百分数概念的形成应以学生实际生活中的事例或工农业

生产中的事例引入．例如，一年级有学生100人，其中女同学有47人，女同学即占全年级

人数的百分之四十七，写作47%．又如，二年级有学生200人，其中女同学有100人，女

同学即占全年级人数的百分之五十．在这两个例子中，两个年级的人数都是“标准量”，而

女同学的人数为“比较量”．在百分数应用题的教学中要抓住比较量÷标准量=百分率（百

分数）这一数量关系式进行分析．

编辑本段日常应用

每天在电视里的天气预报节目中，都会报出当天晚上和明天白天的天气状况、降水

概率等，提示大家提前做好准备，就像今天的夜晚的降水概率是20%，明天白天有五~六级

大风，降水概率是10%，早晚应增加衣服。20%、10%让人一目了然，既清楚又简练。随

着现在科技的飞速发展，现在每个中龄人都配备手机，款式多种多样。伦敦大学皇家学院心

理学家格伦.威尔森研究证明：老是低着头看短信，会导致工作效率低下，工作人员的大脑

反应能力也会减慢，经常看短信的人智商会下降10%，以百分数的形式再次证明了手机虽

为人们提供了方便，但对人体健康却十分有害。我国是世界上最大的节能灯生产国，

但产品80%出口，国内使用量严重偏低。针对2001年普通高校应届本、专科生，已

签约应届大学生中47.1%的人签约月薪在1500元以下。一项网络调查显示，有85.63%

的网民，近几年一直没读过名著。此外，8.98%的网民近十年没读过名著，还有6.75%的网

民表示从来就没读过名著。药水比例时也会碰到百分数，比如10%。

编辑本段扩展

表示一个数是另一个数的千分之几的数，叫做千分数，千分数也叫千分率。与百分

数一样，千分数也有千分号。（即‟）,千分数与百分数差不多，只是千分数表示一个数是另

一个数的一千分之一，百分数表示一个数是另一个数的一百分之一。

编辑本段统计术语：百分数和百分点

百分数是用一百做分母的分数，在数学中用“%”来表示，在文章中一般都写作“百

分之多少”。百分数与倍数不同，它既可以表示数量的增加，也可以表示数量的减少。运用

百分数时，也要注意概念的精确。如“比过去增长20%”,即过去为100，现在是“120%”;

“比过去降低20%”，即过去是100，现在是“80”；“降低到原来的20%”，即原来是100，

现在是“20”。运用百分数时,还要注意有些数最多只能达到100%,如产品合格率，种子发芽

率等；有些百分数只能小于100%，如粮食出粉率等；有些百分数却可以超过100%，如产

品产量计划完成情况等。“占”、“超”、“为”、“增”的用法，“占计划百分之几”指完

成计划的百分之几；“超计划的百分之几”，就应该扣除原来的基数(－100%)；“为去年的百

分之几”就是等于或相当于去年的百分之几；“比去年增长百分之几”应扣掉原有的基数（－

100%）。百分点是指不同时期以百分数形式表示的相对指标（如：速度、指数、构成

等）的变动幅度。例如：我国国内生产总值中，第一产业占的比重由1992年的20.8%下降

到1993年的18.2%。从上述资料中，我们可以说：国内生产总值中，第一产业占的比

重，1993年比1992年下降2.6个百分点（18.2－21.8=－2.6）；但不能说下降2.6%。

百分数的由来

200多年前，瑞士数学家欧拉，在《通用算术》一书中说，要想把7米长的一根绳

子分成三等份是不可能的，因为找不到一个合适的数来表示它．如果我们把它分成三等份，

每份是米．像就是一种新的数，我们把它叫做分数．而后，人们在分数的基础上又以100

做基数，发明了百分数。

“百分数”和“百分点”

百分数是用一百做分母的分数，在数学中用“%”来表示，在文章中一般都写作“百

分之多少”。百分数与倍数不同，它既可以表示数量的增加，也可以表示数量的减少。运用

百分数时，也要注意概念的精确。如“比过去增长20%”，即过去为100，现在是“120”;

“比过去降低20%”，即过去是100，现在是“80”；“降低到原来的20%”，即原来是100，

现在是“20”。运用百分数时，还要注意有些数最多只能达到100%，如产品合格率，种子

发芽率等；有些百分数只能小于100%，如粮食出粉率等；有些百分数却可以超过100%，

如产品产量计划完成情况等。“占”、“超”、“为”、“增”的用法，“占计划百分之几”

指完成计划的百分之几；“超计划的百分之几”，就应该扣除原来的基数(－100%)；“为去年

的百分之几”就是等于或相当于去年的百分之几；“比去年增长百分之几”应扣掉原有的基

数（－100%）。百分点是指不同时期以百分数形式表示的相对指标（如：速度、指数、

构成等）的变动幅度。例如：我国国内生产总值中，第一产业占的比重由1992年的21.8%

下降到1993年的18.2%。从上述资料中，我们可以说：国内生产总值中，第一产业占的

比重，1993年比1992年下降3.6个百分点（18.2－21.8=－3.6）；但不能说下降3.6%

在数学里，半整数是指有着下列形式的数：n+1/2,其中n为整数。例

如：4又1/2,7/2,−13/2,8.5等都是半整数。要注意整数的一半不一定总是半整数：偶

数的一半便是一个整数，而非半整数。半整数恰好都是奇数一半之数。所有半整数所

组成之集合通常标记成Z+1/2。（Z表示整数）[1]分解质因数：2010=2×3×5×67约数：1、

2、3、5、6、10、15、30、67、134、201、335、402、670、1005、2010

自然数求和公式

大家都知道1+2+3+...+100=5050这便是1到100的自然数之和。一般的自然

数求和，我们可以用下面的公式:#1Sn=n*(n+1)/2#2Smn=((n-m+1)/2)(m+n)

公式推导过程

1.1到n的自然数之和:Sn=n*(n+1)/2S(n)=1+2+3+...+n=n*(n+1)/2

这个公式的推导十分简单，把Sn写两遍(第二遍逆序排列)S(n)=1+2+3+...+n

S(n)=n+n-1+...+2+1两个式子相加，就得到2S(n)=(n+1)+(n+1)+...+(n+

1)，一共是n组(n+1)所以S(n)=n*(n+1)/22.m到n的自然数之和(m

Smn=((n-m+1)/2)(m+n)Smn=[(n-m+1)(m+n)]/2公式2推导过程与1类似，不再赘述

也可以使用S(n)-S(m-1)来求和，计算结果都是相同的例：求4+5+6+7+8这

里m=4，n=8代入公式2S=(8-4+1)(8+4)/2=30也可以S(8)-S(3)

=36-6=30公式2看起来比较繁琐，实际上仔细分析一下，就能发现使用的诀窍。

1）如果这一组数的个数是奇数，中间那个数就是两端点和的一半，所求的和就是中间数乘

以数字的个数。仍以4+5+6+7+8为例，一共5个数字，中间的数字是6(容易看出6=

(4+8)/2)，所求的和就是6乘以5，为30。2）如果数字的个数是偶数，仍然可以使

用中间数字乘以数字个数的办法来计算和。只不过中间数字不是整数了。以4+5+6+7为

例，4个数字，中间数字介于5和6之间，为5.5，因此和为5.5*4=22

扩展公式

1.从1加到n再从n加到1的和

也就是如下形式的求和1+2+...+n-1+n+n-1+...+2+1=n*n这

个和十分好记，就是中间数字的平方例如1+2+3+4+3+2+1=4*4=16

2.前若干个奇数的和

1+3+5+7+9+...如果数字总共有奇数个，那么和就是中间数字的平方。

例如1+3+5+7+9=5*5=25如果偶数个数字，仍然是中间数字的平方，只是

此时"中间数字“是最中间两个奇数中间的偶数而已。例如1+3+5+7=4*4=16

a1+an对数

n为偶数时,n/2对

n为奇数时,(n-1)/2对，中间一个数字为单a((n+1)/2)

2

a3+a7+a11+......+a99

(99-3)/4+1=25项

12对，第13项A(4*13-1)=A(51)为单

简单的

看a3,和a7共两项，（7-3)/4+1=2,只有一对

看a3,a7,a11共三项,(11-3)/4+1=3，有一对，中间单a3

通式

an,a(n+d),a(n+2d),......a(m)

项数为

(m-n)/d+1

数学的应用

有理数可分为整数和分数也可分为三种，一；正有理数，二；0，三；负有理数。

除了无限不循环小数以外的实数统称有理数。英文：rationalnumber读音：yǒulǐshù整数和

分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n（m，n都是整数，且n≠0）的形

式。任何一个有理数都可以在数轴上表示。其中包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表

示为有限小数或无限循环小数。这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。

数学上，有理数是一个整数a和一个非零整数b的比(ratio)，通常写作a/b，故又称作分

数。希腊文称为λογο，原意为“成比例的数”(rationalnumber)，但中文翻译不恰当，

逐渐变成“有道理的数”。无限不循环小数称之为无理数（例如：圆周率π）有理数和无理

数统称为实数。所有有理数的集合表示为Q。以下都是有理数：

1)整数包含了：正整数、0、负整数统称为整数。(2）分数包含了：正分数、负

分数统称为分数。（3）小数包含了:有限小数、无限循环小数。而且分数也统称小数，

因为分小互化。如3，-98.11，5.72727272„„，7/22都是有理数。全体有理数构成一

个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。有

理数集是实数集的子集，即Q?R。相关的内容见数系的扩张。有理数集是一个域，即在其

中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c等都

表示任意的有理数）：①加法的交换律a+b=b+a；②加法的结合律a+(b+c)=(a+b)+c；③存

在数0，使0+a=a+0=a；④乘法的交换律ab=ba；⑤乘法的结合律a(bc)=(ab)c；⑥乘法的分

配律a(b+c)=ab+ac。0a=0文字解释：一个数乘0还等于0。此外，有理数是一个序域，即

在其上存在一个次序关系≤。0的绝对值还是0.有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a

和b，a≥0，b>0，必可找到一个自然数n，使nb>a。由此不难推知，不存在最大的有理数。

值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有

道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是（rational

number），而（rational）通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日

语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文

词根为（ratio），就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这

个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，而“无理数”就是不能精确表示为两

个整数之比的数，而并非没有道理（无理数就是无限不循环小数，π也是其中一个无理数）。

运算

有理数加减混合运算有理数的巧算1.有理数加减统一成加法的意义：对于

加减混合运算中的减法，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合

运算统一为加法运算，统一后的算式是几个正数或负数的和的形式，我们把这样的式子叫做

代数和。2.有理数加减混合运算的方法和步骤：（1）运用减法法则将有理数混

合运算中的减法转化为加法。（2）运用加法法则，加法交换律，加法结合律简便运算。

一般情况下，有理数是这样分类的：整数、分数；正数、负数和零；负有理数，正有

理数。初中数学书中介绍的用计算器做有理数运算整数和分数统称有理数，有理数可以用

a/b的形式表达，其中a、b都是整数，且互质。我们日常经常使用有理数的。比如多少钱，

多少斤等。凡是不能用a/b形式表达的实数就是无理数，又叫无限不循环小数。在

有理数中，不是无限不循环小数的小数就是分数。

半分数

古埃及人约于公元前17世纪初已使用分数，中国《九章算术》中也载有分数的各

种运算。分数的使用是由于除法运算的需要。除法运算可以看作求解方程px=q（p≠0），如

果p，q是整数，则方程不一定有整数解。为了使它恒有解，就必须把整数系扩大成为有理

系。关于有理数系的严格理论，可用如下方法建立。在Z×（Z-{0}）即整数有序对（但

第二元不等于零）的集上定义的如下等价关系：设p1，p2Z，q1，q2Z-{0}，如果p1q2=p2q1。

则称（p1，q2）～（p2，q1）。Z×（Z-{0}）关于这个等价关系的等价类，称为有理数。（p，

q）所在的有理数，记为。一切有理数所成之集记为Q。令整数p对应一于，即（p，1）所

在的等价类，就把整数集嵌入到有理数的集中。因此，有理数系可说是由整数系扩大后的数

系。有理数集合是一个数域。任何数域必然包含有理数域。即有理数集合是最小的数

域。有理数是实数的紧密子集：每个实数都有任意接近的有理数。一个相关的性质是，

仅有理数可化为有限连分数。依照它们的序列，有理数具有一个序拓扑。有理数是实

数的（稠密）子集，因此它同时具有一个子空间拓扑。采用度量，有理数构成一个度量空间，

这是上的第三个拓扑。幸运的是，所有三个拓扑一致并将有理数转化到一个拓扑域。有理数

是非局部紧致空间的一个重要的实例。这个空间也是完全不连通的。有理数不构成完备的度

量空间；实数是的完备集。

(5)+(+1)=(+6)

(-6)+(-1)=(-7)

(+7)+(-6)=(+1)

天方夜谭数

构成

142857143和1001，特指142857143。

血亲

71/7=0.7„„

性质

取142857143和任意九位自然数相乘，答案与此九位自然数连续写两遍以后除以7例相同：

142857143*123456789=3456789/7原因是142857143*7=1000000001

历史事件

有一次速算比赛，一口算者利用这个特性用142857143迎战任何九位数和计算工

具，但是被在场的数学家、科学家、魔术师马丁·加德纳揭穿。

柏拉图考一位富翁的难题的解：“用三个9能组成的最大的数是几？”

柏拉图数

构成

99/9，999，99^9，9^99，（9^9）^9，9^9^9„„即三个9所构成的数，特指9^9^9。

编辑本段由来

是柏拉图考一位富翁的难题的解：“用三个9能组成的最大的数是几？”

编辑本段大小比较

11<999999<99^999^9<(99^3)^9=9^27<(9^9)^9=9^81<9^99因为

99<9^9所以9^99<9^9^9事实上，9^9^9是大约370，000，000位的天文数字。

卡普列加数观察下面等式：30+25=55，55^2=3025人们把具有这种特征

的数叫做卡普列加数，即：对n位自然数N，将N'切分为两半，右边n位为一个数，左边

其余各位为另一个数，如果这两个数之和恰好等于N那么称N和N'为一对卡普列加数，其

中N为卡普列加底数，N'为卡普列加平方数。相传，关于这类数还有一个故事：数学

家卡普列加坐在行驶在从莫斯科到海参崴的西伯利亚的铁路上，连续的暴雨使得前方发生坍

塌，长长的列车被迫停车等候排除险情。几个小时过去了，太阳已经偏西，焦急的等候使得

列车上的乘客心情十分焦躁，数学家卡普列加也正好在这趟列车上，闷热的天气驱使他走下

列车，百无聊赖得去散步，忽然，他看见一块铁路里程碑，木制的牌子被暴风雨劈裂，上面

的里程数3025恰好从中间分开，作为数学家的卡普列加马上发现这个数的与众不同之处，

于是一路上细心研究，收获颇丰。标注：在四位数组成的卡普列加数里面，只有

45²=2025，99²=9801和55²=3025。所有形如999„999²（n

个9，n∈［1，+∞））的自然数都是卡普列加数。

分解质因数

分解质因数每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数

的因数，叫做这个合数的分解质因数。分解质因数只针对

合数。

任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫

做这个合数的分解质因数。分解质因数只针对合数。

一个合数用几个质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。例如：

12=2x2x3

举个简单例子，12的分解质因数可以有以下几种：12=2x2x3=4x3=1x12=2x6，其中

1，2，3，4，6，12都可以说是12的因数，即相乘的几个数等于一个自然数，那么这几个

数就是这个自然数的因数。2，3，4中，2和3是质数，就是质因数，4不是质数。那么什

么是质数呢？就是不能再拆分为除了1和它本身之外的因数的数，如2，3，5，7，11，13，

17，19，23，29等等，质数没有什么特定的规律，不存在最大的质数。求一个数分解

质因数，要从最小的质数除起，一直除到结果为质数为止。分解质因数的算式的叫短除法，

和除法的性质差不多，还可以用来求多个个数的公因式：如242┖24（是短除法

的符号）2┖122┖63——3是质数，结束得出24=2×2×2×3=2^3×

3（m^n=m的n次方）再如1053┖1055┖35----7——7是质数，结束

得出105=3×5×7证明，不存在最大的质数：使用反证法：假设存在最大

的质数为N，则所有的质数序列为：N1，N2，N3„[1]„N设M=（N1×N2×N3×N4

ׄ„N）+1，可以证明M不能被任何质数整除，得出M是也是一个质数。而

M>N，与假设矛盾，故可证明不存在[2]最大的质数

雄黄酒数

构成

1667，16667，166667„„

血亲

3，5001，50001，500001„„

名字由来

白娘子喝下雄黄酒，露出了尾巴。

性质

如果让对方使用任何一个n（三位内）自然数乘以1667，告诉你这个积的末n位尾

巴，可以立刻告诉对方原数。只要把答案乘以3可以了，因为1667*3=5001，很容易

知道原数。比如说369*1667=615123，只要将末三位123乘以3就是369。适当

增加1667中的6，可以使可玩性增加。