2019-2020
学年重庆市沙坪坝区七年级第一学期期末数学试卷
一、选择题（共
12
小题）
.
1
．下列各数中比﹣
2
小的是（）
A
．﹣
1B
．
0C
．
1D
．﹣
3
2
．如果水位升高
0.6m
时水位变化记作
+0.6m
，那么水位下降
0.4m
时水位变化记为（）
A
．
0.4mB
．
0.6mC
．﹣
0.4mD
．﹣
0.6m
3
．列式表示“比
x
的平方的
2
倍大
3
的数”是（）
A
．（
2x
）2+3B
．
2x2+3C
．
2
（
x+3
）2D
．（
2x+3
）2
4
．如图是由
5
个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）
A
．
B
．
C
．
D
．
5
．下列叙述正确的是（）
A
．线段
AB
可表示为线段
BAB
．射线
AB
可表示为射线
BA
C
．直线可以比较长短
D
．射线可以比较长短
6
．点
A
为数轴上表示﹣
2
的点，将
A
点沿着数轴向右移动
7
个单位后，再向左移动
3
个单
位到点
B
，则点
B
表示的数为（）
A
．
2B
．
3C
．
4D
．
5
7
．如图，下列说法错误的是（）
A
．∠
1
与∠
3
是对顶角
B
．∠
3
与∠
4
是内错角
C
．∠
2
与∠
6
是同位角
D
．∠
3
与∠
5
是同旁内角
8
．按如图所示的运算程序，若输入
m
的值是
2
，则输出的结果是（）
A
．﹣
1B
．
1C
．
2D
．
3
9
．按图示的方式摆放餐桌和椅子，图
1
中共有
6
把椅子，图
2
中共有
10
把椅子，…，按此
规律，则图
7
中椅子把数是（）
A
．
28B
．
30C
．
36D
．
42
10
．如图，点
O
在直线
AB
上，
OD
平分∠
AOC
，
OE
⊥
OC
．若∠
BOC
：∠
COD
＝
4
：
3
，则
∠
DOE
度数是（）
A
．
30
°
B
．
36
°
C
．
40
°
D
．
54
°
11
．若
|m
﹣
3n
﹣
2019|
＝
1
，则（
2020
﹣
m+3n
）2的值为（）
A
．
1B
．
0C
．
1
或
2D
．
0
或
4
12
．如图，
AB
∥
CD
，
AC
⊥
BC
，
CE
⊥
AB
于点
E
．则图中与∠
1
互余的角的个数是（）
A
．
2B
．
3C
．
4D
．
6
二、填空题（共
6
小题）
.
13
．计算：﹣（﹣
3
）
+|
﹣
5|
＝．
14
．今年国庆期间，沙坪坝区旅游持续火爆，
7
天共接待海内外游客大约
1800000
人次，请
把数
1800000
科学记数法表示为．
15
．已知∠α＝
75
°，则∠α的补角的度数为．
16
．将多项式
3mn3﹣
4m2n2+2
﹣
5m3n
按
m
的降幂排列为．
17
．已知线段
AB
，延长
AB
至点
C
，使
BC
＝
AB
．若点
D
为线段
AC
的中点，点
E
为线段
AB
的中点，且
DE
＝
1cm
，则线段
AB
＝
cm
．
18
．磁器口古镇，被赞誉为“小重庆”，磁器口的陈麻花更是重庆标志性名片之一．磁器口
某门店从陈麻花生产商处采购了原味、麻辣、巧克力三种口味的麻花进行销售，其每袋
进价分别是
10
元，
12
元，
15
元，其中原味与麻辣味麻花每袋的销售利润率相同，原味
与巧克力味麻花每袋的销售利润相同．经统计，在今年元旦节当天，该门店这三种口味
的麻花销量是
2
：
3
：
2
，其销售原味与巧克力味麻花的总利润率是
40%
，且巧克力味麻
花销售额比原味麻花销售额多
1000
元，则今年元旦节当天该门店销售这三种口味的麻花
的利润共元．
三、解答题：（本大题
7
个小题，每小题
10
分，共
70
分）解答时每小题必须给出必要的演
算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的
位置上
.
19
．（
10
分）计算：
（
1
）﹣
3
﹣
2
×（﹣
5
）
+8
÷（﹣
2
）；
（
2
）
4x
﹣
3
（
2x
﹣
1
）
+5x
20
．（
10
分）如图，平面上两点
C
、
D
在直线
AB
的同侧，按下述要求画图并填空：
（
1
）画直线
AC
；
（
2
）画射线
CD
；
（
3
）过点
D
画直线
DE
∥
AC
，交直线
AB
于点
E
；
（
4
）过点
D
画直线
DF
⊥
AB
，垂足为
F
；
（
5
）点
D
到直线
AB
的距离是线段的长．
21
．（
10
分）计算：
[
﹣
18﹣（）×（﹣
18
）
]
÷
5
﹣
3
×
23
22
．（
10
分）先化简，再求值：
2ab+6
（
a2b+ab2）﹣
[3a2b
﹣
2
（
1
﹣
ab
﹣
2ab2）
]
，其中
a
为最大的负整数，
b
为最小的正整数．
23
．（
10
分）
2020
年春节将至，某灯具厂为抓住商业契机，计划每天生产某种景观灯
300
盏以便投入市场进行销售．但由于各种原因，实际每天生产景观灯数与计划每天生产景
观灯数相比有出入，如表是该灯具厂上周的生产情况（增产记为正，减产记为负）：
星期一二三四五六日
增减（单
位：盏）
+4
﹣
6
﹣
3
+10
﹣
5
+11
﹣
2
（
1
）求该灯具厂上周实际生产景观灯多少盏？
（
2
）该灯具厂实行每天计件工资制，每生产一盏景观灯可得
50
元．若超额完成任务，
则超过部分每盏另外奖励
15
元，少生产一盏扣
20
，那么该灯具厂工人上周的工资总额是
多少元？
24
．（
10
分）如图，
AB
∥
CD
，点
E
是
CD
上一点，连结
AE
．
EB
平分∠
AED
，且
DB
⊥
BE
，
AF
⊥
AC
，
AF
与
BE
交于点
M
．
（
1
）若∠
AEC
＝
100
°，求∠
1
的度数；
（
2
）若∠
2
＝∠
D
，则∠
CAE
＝∠
C
吗？请说明理由．
25
．（
10
分）若一个三位数满足个位数字与百位数字的和等于十位数字，则称这个三位数
为“友善数”；若两个“友善数”所含数字相同，只是数字所在的数位不同，则称这两
个“友善数”互为“友善数”．如：三位数
132
，百位数字是
1
，十位数字是
3
，个位数
字是
2
恰好
1+2
＝
3
，所以
132
是“友善数”，容易判断
231
与
132
是互为“友善数”．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（
1
）直接写出最小的“友善数”和最大的“友善数”；
（
2
）已知一个“友善数”（百位数字为
a
，十位数字为
b
，个位数字为
c
，且
c
≠
0
），
请用含
b
的代数表示与它的“友善数”的和．
四、解答题：（本大题
1
个小题，共
8
分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画
出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上
.
26
．（
8
分）如图
1
，
AB
∥
CD
，直线
AE
分别交
AB
、
CD
于点
A
、
E
．点
F
是直线
AE
上一
点，连结
BF
，
BP
平分∠
ABF
，
EP
平分∠
AEC
，
BP
与
EP
交于点
P
．
（
1
）若点
F
是线段
AE
上一点，且
BF
⊥
AE
，求∠
P
的度数；
（
2
）若点
F
是直线
AE
上一动点（点
F
与点
A
不重合），请直接写出∠
P
与∠
AFB
之间
的数量关系．
参考答案
一、选择题：（本大题
12
个小题，每小题
4
分，共
48
分）在每个小题的下面，都给出了代
号为
A
、
B
、
C
、
D
的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案
所对应的方框涂黑
.
1
．下列各数中比﹣
2
小的是（）
A
．﹣
1B
．
0C
．
1D
．﹣
3
【分析】先根据正数都大于
0
，负数都小于
0
，可排除
A
、
C
，再根据两个负数，绝对值
大的反而小，可得比﹣
2
小的数是﹣
3
．
解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知﹣
3
＜﹣
2
．
故选：
D
．
2
．如果水位升高
0.6m
时水位变化记作
+0.6m
，那么水位下降
0.4m
时水位变化记为（）
A
．
0.4mB
．
0.6mC
．﹣
0.4mD
．﹣
0.6m
【分析】首先根据题意，明确“正”和“负”所表示的意义，再根据题意作答即可．
解：如果水位升高
0.6m
时水位变化记作
+0.6m
，那么水位下降
0.4m
时水位变化记为﹣
0.4m
．
故选：
C
．
3
．列式表示“比
x
的平方的
2
倍大
3
的数”是（）
A
．（
2x
）2+3B
．
2x2+3C
．
2
（
x+3
）2D
．（
2x+3
）2
【分析】根据题意，列出代数式，即可解答．
解：比
x
的平方的
2
倍大
3
的数
2x2+3
．
故选：
B
．
4
．如图是由
5
个完全相同的小正方体组成的立体图形，它的俯视图是（）
A
．
B
．
C
．
D
．
【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案．
解：从上面看是四个小正方形，如图所示：
故选：
B
．
5
．下列叙述正确的是（）
A
．线段
AB
可表示为线段
BAB
．射线
AB
可表示为射线
BA
C
．直线可以比较长短
D
．射线可以比较长短
【分析】分别根据直线、射线以及线段的定义判断得出即可．
解：
A
、线段
AB
可表示为线段
BA
，此选项正确；
B
、射线
AB
的端点是
A
，射线
BA
的端点是
B
，故不是同一射线，此选项错误；
C
、直线不可以比较长短，此选项错误；
D
、射线不可以比较长短，此选项错误；
故选：
A
．
6
．点
A
为数轴上表示﹣
2
的点，将
A
点沿着数轴向右移动
7
个单位后，再向左移动
3
个单
位到点
B
，则点
B
表示的数为（）
A
．
2B
．
3C
．
4D
．
5
【分析】数轴一般来说是左减右加，依此列式计算即可得答案．
解：﹣
2+7
﹣
3
＝
2
．
故点
B
表示的数为
2
．
故选：
A
．
7
．如图，下列说法错误的是（）
A
．∠
1
与∠
3
是对顶角
B
．∠
3
与∠
4
是内错角
C
．∠
2
与∠
6
是同位角
D
．∠
3
与∠
5
是同旁内角
【分析】根据对顶角定义、内错角定义、同位角定义、同旁内角定义进行分析即可．
解：
A
、∠
1
与∠
3
是对顶角，故原题说法正确；
B
、∠
3
与∠
4
是内错角，故原题说法正确；
C
、∠
2
与∠
6
不是同位角，故原题说法错误；
D
、∠
3
与∠
5
是同旁内角，故原题说法正确；
故选：
C
．
8
．按如图所示的运算程序，若输入
m
的值是
2
，则输出的结果是（）
A
．﹣
1B
．
1C
．
2D
．
3
【分析】输入
m
＝
2
＞
0
，计算
2m
﹣
1
的值即可．
解：当
m
＝
2
时，
2m
﹣
1
＝
2
×
2
﹣
1
＝
3
，
故选：
D
．
9
．按图示的方式摆放餐桌和椅子，图
1
中共有
6
把椅子，图
2
中共有
10
把椅子，…，按此
规律，则图
7
中椅子把数是（）
A
．
28B
．
30C
．
36D
．
42
【分析】观察图形变化，得出
n
张餐桌时，椅子数为
4n+2
把（
n
为正整数），代入
n
＝
7
即可得出结论．
解：
1
张桌子可以摆放的椅子数为：
2+1
×
4
＝
6
，
2
张桌子可以摆放的椅子数为：
2+2
×
4
＝
10
，
3
张桌子可以摆放的椅子数为：
2+3
×
4
＝
14
，
…，
n
张桌子可以摆放的椅子数为：
2+4n
，
令
n
＝
7
，可得
2+4
×
7
＝
30
（把）．
故选：
B
．
10
．如图，点
O
在直线
AB
上，
OD
平分∠
AOC
，
OE
⊥
OC
．若∠
BOC
：∠
COD
＝
4
：
3
，则
∠
DOE
度数是（）
A
．
30
°
B
．
36
°
C
．
40
°
D
．
54
°
【分析】利用角平分线的定义得出∠
AOD
＝∠
COD
，根据∠
BOC
：∠
COD
＝
4
：
3
，设∠
BOC
＝
4x
°，∠
COD
＝
3x
°，根据邻补角的定义求出∠
COD
的度数，最后根据
OE
⊥
OC
，
求出∠
DOE
即可．
解：∵∠
BOC
：∠
COD
＝
4
：
3
，
∴设∠
BOC
＝
4x
°，∠
COD
＝
3x
°．
∵点
O
在直线
AB
上，
OD
平分∠
AOC
，
∴∠
AOD+
∠
COD+
∠
BOC
＝
180
°，∠
AOD
＝∠
COD
＝
3x
°，
∴
3x+3x+4x
＝
180
，
∴
10x
＝
180
，
∴
x
＝
18
．
∴∠
COD
＝
54
°．
∵
OE
⊥
OC
，
∴∠
COE
＝
90
°．
∴∠
DOE
＝
90
°﹣∠
COD
＝
90
°﹣
54
°＝
36
°．
故选：
B
．
11
．若
|m
﹣
3n
﹣
2019|
＝
1
，则（
2020
﹣
m+3n
）2的值为（）
A
．
1B
．
0C
．
1
或
2D
．
0
或
4
【分析】依据绝对值的性质，即可得到
m
﹣
3n
＝
2020
或
2018
，进而得出
m
﹣
3n
的值，再
根据平方运算，即可得到（
2020
﹣
m+3n
）2的值．
解：∵
|m
﹣
3n
﹣
2019|
＝
1
，
∴
m
﹣
3n
﹣
2019
＝±
1
，
即
m
﹣
3n
＝
2020
或
2018
，
∴
2020
﹣
m+3n
＝
2020
﹣（
m
﹣
3n
）＝
0
或
2
，
∴（
2020
﹣
m+3n
）2的值为
0
或
4
，
故选：
D
．
12
．如图，
AB
∥
CD
，
AC
⊥
BC
，
CE
⊥
AB
于点
E
．则图中与∠
1
互余的角的个数是（）
A
．
2B
．
3C
．
4D
．
6
【分析】由
AB
∥
CD
得∠
1
＝∠
2
，∠
B
＝∠
3
，根据平行线的推论得
EC
⊥
CD
，再由余角
的性质得∠
1
与∠
ACE
、∠
B
、∠
3
三个角互余，故选
B
答案．
解：如图所示：
∵
AB
∥
CD
，
∴∠
1
＝∠
2
，
又∵
EC
⊥
AB
，
∴
EC
⊥
CD
，
∴∠
2+
∠
ACE
＝
90
°，
∴∠
1+
∠
ACE
＝
90
°，
∴∠
1
与∠
ACE
互余；
又∵
AC
⊥
BC
，
∴∠
ACB
＝
90
°，
∴∠
CAB+
∠
B
＝
90
°，
又∵∠
1
＝∠
CAB
，
∴∠
1+
∠
B
＝
90
°，
∴∠
1
与∠
B
互余；
又∵
AB
∥
CD
，
∴∠
B
＝∠
3
，
∴∠
1+
∠
3
＝
90
°，
∴∠
1
与∠
3
互余，
综合所述，图中与∠
1
互余的角的个数为
3
，
故选：
B
．
二、填空题：（本大题
6
个小题，每小题
4
分，共
24
分）请将每小题的答案直接填在答题
卡中对应的横线上
.
13
．计算：﹣（﹣
3
）
+|
﹣
5|
＝
8
．
【分析】根据有理数的加法法则以及绝对值的定义计算即可．
解：﹣（﹣
3
）
+|
﹣
5|
＝
3+5
＝
8
．
故答案为：
8
．
14
．今年国庆期间，沙坪坝区旅游持续火爆，
7
天共接待海内外游客大约
1800000
人次，请
把数
1800000
科学记数法表示为
1.8
×
106．
【分析】科学记数法的表示形式为
a
×
10n的形式，其中
1
≤
|a|
＜
10
，
n
为整数．确定
n
的值时，要看把原数变成
a
时，小数点移动了多少位，
n
的绝对值与小数点移动的位数相
同．当原数绝对值≥
10
时，
n
是正数；当原数的绝对值＜
1
时，
n
是负数．
解：
1800000
＝
1.8
×
106，
故答案为：
1.8
×
106．
15
．已知∠α＝
75
°，则∠α的补角的度数为
105
°．
【分析】根据互为补角的两个角的和等于
180
°列式计算即可得解．
解：∵∠α＝
75
°，
∴∠α的补角＝
180
°﹣
75
°＝
105
°．
故答案为：
105
°．
16
．将多项式
3mn3﹣
4m2n2+2
﹣
5m3n
按
m
的降幂排列为﹣
5m3n
﹣
4m2n2+3mn3+2
．
【分析】根据字母
m
的指数按照从大到小的顺序进行排列即可．
解：按
m
的降幂排列：﹣
5m3n
﹣
4m2n2+3mn3+2
，
故答案为：﹣
5m3n
﹣
4m2n2+3mn3+2
．
17
．已知线段
AB
，延长
AB
至点
C
，使
BC
＝
AB
．若点
D
为线段
AC
的中点，点
E
为线段
AB
的中点，且
DE
＝
1cm
，则线段
AB
＝
6cm
．
【分析】设
BC
＝
x
，则
AB
＝
3x
，于是得到
AC
＝
4x
，根据线段中点的定义得到
AD
＝
AC
＝
2x
，
AE
＝
AB
＝
x
，于是得到结论．
解：设
BC
＝
x
，则
AB
＝
3x
，
∴
AC
＝
4x
，
∵点
D
为线段
AC
的中点，点
E
为线段
AB
的中点，
∴
AD
＝
AC
＝
2x
，
AE
＝
AB
＝
x
，
∴
DE
＝
AD
﹣
AE
＝
2x
﹣
x
＝
x
＝
1
，
∴
x
＝
2
，
∴
AB
＝
6cm
，
故答案为：
6
．
18
．磁器口古镇，被赞誉为“小重庆”，磁器口的陈麻花更是重庆标志性名片之一．磁器口
某门店从陈麻花生产商处采购了原味、麻辣、巧克力三种口味的麻花进行销售，其每袋
进价分别是
10
元，
12
元，
15
元，其中原味与麻辣味麻花每袋的销售利润率相同，原味
与巧克力味麻花每袋的销售利润相同．经统计，在今年元旦节当天，该门店这三种口味
的麻花销量是
2
：
3
：
2
，其销售原味与巧克力味麻花的总利润率是
40%
，且巧克力味麻
花销售额比原味麻花销售额多
1000
元，则今年元旦节当天该门店销售这三种口味的麻花
的利润共
3800
元．
【分析】设原味麻花的销售单价为
x
元，用
x
表示其它两种麻花的销售单价，再设今年
元旦节当天，该门店这三种口味的麻花销量分别是：原味
2y
袋，麻辣味
3y
袋，巧克力
味
2y
袋，根据题意列出方程组，求得
x
与
y
的值，进而再用
x
、
y
的代数式表示今年元旦
节当天该门店销售这三种口味的麻花的利润，最后代值计算．
解：设原味麻花的销售单价为
x
元，根据题意得，
麻辣味麻花销售单价为
12
（
1+
）＝
1.2x
（元），
巧克力麻花的销售单价为
15+
（
x
﹣
10
）＝
x+5
（元），
设今年元旦节当天，该门店这三种口味的麻花销量分别是：原味
2y
袋，麻辣味
3y
袋，
巧克力味
2y
袋，根据题意得，
，
解得，，
∴今年元旦节当天该门店销售这三种口味的麻花的利润为：（
x
﹣
10
）•
2y+
（
1.2x
﹣
12
）
•
3y+
（
x
﹣
10
）•
2y
＝
7.6xy
﹣
76y
＝
7.6
×
15
×
100
﹣
76
×
100
＝
3800
．
故答案为：
3800
．
三、解答题：（本大题
7
个小题，每小题
10
分，共
70
分）解答时每小题必须给出必要的演
算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的
位置上
.
19
．（
10
分）计算：
（
1
）﹣
3
﹣
2
×（﹣
5
）
+8
÷（﹣
2
）；
（
2
）
4x
﹣
3
（
2x
﹣
1
）
+5x
【分析】（
1
）先算乘除法，后算加减；同级运算，应按从左到右的顺序进行计算；
（
2
）先去括号，然后合并同类项．
解：（
1
）﹣
3
﹣
2
×（﹣
5
）
+8
÷（﹣
2
）
＝﹣
3+10
﹣
4
＝
3
；
（
2
）
4x
﹣
3
（
2x
﹣
1
）
+5x
＝
4x
﹣
6x+3+5x
＝
3x+3
．
20
．（
10
分）如图，平面上两点
C
、
D
在直线
AB
的同侧，按下述要求画图并填空：
（
1
）画直线
AC
；
（
2
）画射线
CD
；
（
3
）过点
D
画直线
DE
∥
AC
，交直线
AB
于点
E
；
（
4
）过点
D
画直线
DF
⊥
AB
，垂足为
F
；
（
5
）点
D
到直线
AB
的距离是线段
DF
的长．
【分析】根据直线，射线，平行线垂线的定义解决问题即可．
解：（
1
）直线
AC
如图所示．
（
2
）射线
CD
如图所示．
（
3
）直线
DE
如图所示．
（
4
）直线
DF
如图所示．
（
5
）线段
DF
的长是点
D
到直线
AB
的距离．
故答案为
DF
．
21
．（
10
分）计算：
[
﹣
18﹣（）×（﹣
18
）
]
÷
5
﹣
3
×
23
【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算，最后算加减运算即可求出值．
解：原式＝
[
﹣
1
﹣（
12
﹣
15+22
）
]
÷
5
﹣
3
×
8
＝（﹣
1
﹣
19
）÷
5
﹣
3
×
8
＝﹣
20
÷
5
﹣
3
×
8
＝﹣
4
﹣
24
＝﹣
28
．
22
．（
10
分）先化简，再求值：
2ab+6
（
a2b+ab2）﹣
[3a2b
﹣
2
（
1
﹣
ab
﹣
2ab2）
]
，其中
a
为最大的负整数，
b
为最小的正整数．
【分析】直接去括号进而合并同类项，再得出
a
，
b
的值代入求出答案．
解：原式＝
2ab+3a2b+6ab2﹣
3a2b+2
﹣
2ab
﹣
4ab2
＝（
2ab
﹣
2ab
）
+2+
（
3a2b
﹣
3a2b
）
+
（
6ab2﹣
4ab2）
＝
2ab2+2
，
∵
a
为最大的负整数，
b
为最小的正整数，
∴
a
＝﹣
1
，
b
＝
1
，
∴原式＝
2
×（﹣
1
）×
1+2
＝
0
．
23
．（
10
分）
2020
年春节将至，某灯具厂为抓住商业契机，计划每天生产某种景观灯
300
盏以便投入市场进行销售．但由于各种原因，实际每天生产景观灯数与计划每天生产景
观灯数相比有出入，如表是该灯具厂上周的生产情况（增产记为正，减产记为负）：
星期一二三四五六日
增减（单
位：盏）
+4
﹣
6
﹣
3
+10
﹣
5
+11
﹣
2
（
1
）求该灯具厂上周实际生产景观灯多少盏？
（
2
）该灯具厂实行每天计件工资制，每生产一盏景观灯可得
50
元．若超额完成任务，
则超过部分每盏另外奖励
15
元，少生产一盏扣
20
，那么该灯具厂工人上周的工资总额是
多少元？
【分析】（
1
）根据有理数的加法，可得答案；
（
2
）这一周的工资总额是基本工资加奖金，可得答案．
解：（
1
）
4
﹣
6
﹣
3+10
﹣
5+11
﹣
2
＝
9
（盏），
300
×
7+9
＝
2109
（盏），
答：该该灯具厂上周实际生产景观灯
2109
盏；
（
2
）根据题意，
4+10+11
＝
25
（盏），
6+3+5+2
＝
16
（盏），
2109
×
50+25
×
15
﹣
16
×
20
＝
105505
（元），
答：该灯具厂工人上周的工资总额是
105505
元．
24
．（
10
分）如图，
AB
∥
CD
，点
E
是
CD
上一点，连结
AE
．
EB
平分∠
AED
，且
DB
⊥
BE
，
AF
⊥
AC
，
AF
与
BE
交于点
M
．
（
1
）若∠
AEC
＝
100
°，求∠
1
的度数；
（
2
）若∠
2
＝∠
D
，则∠
CAE
＝∠
C
吗？请说明理由．
【分析】（
1
）根据平角的定义可求∠
AED
，再根据角平分线的定义和平行线的性质可求
∠
1
的度数；
（
2
）根据三角形内角和定理可求∠
BED
＝∠
C
，根据平行线的判定可知
AC
∥
BE
，根据
平行线的性质可得∠
CAE
＝∠
AEB
，根据角平分线的定义和等量关系即可求解．
解：（
1
）∵∠
AEC
＝
100
°，
∴∠
AED
＝
80
°，
∵
EB
平分∠
AED
，
∴∠
BED
＝
40
°，
∴∠
BED
＝
40
°，
∵
AB
∥
CD
，
∴∠
1
＝∠
BED
＝
40
°；
（
2
）∵
DB
⊥
BE
，
AF
⊥
AC
，
∴∠
EBD
＝∠
CAF
＝
90
°，
∵∠
2
＝∠
D
，
∴∠
BED
＝∠
C
，
∴
AC
∥
BE
，
∴∠
CAE
＝∠
AEB
，
∵
EB
平分∠
AED
，
∴∠
AEB
＝∠
BED
，
∴∠
CAE
＝∠
C
．
25
．（
10
分）若一个三位数满足个位数字与百位数字的和等于十位数字，则称这个三位数
为“友善数”；若两个“友善数”所含数字相同，只是数字所在的数位不同，则称这两
个“友善数”互为“友善数”．如：三位数
132
，百位数字是
1
，十位数字是
3
，个位数
字是
2
恰好
1+2
＝
3
，所以
132
是“友善数”，容易判断
231
与
132
是互为“友善数”．
根据以上阅读材料，解答下列问题：
（
1
）直接写出最小的“友善数”和最大的“友善数”；
（
2
）已知一个“友善数”（百位数字为
a
，十位数字为
b
，个位数字为
c
，且
c
≠
0
），
请用含
b
的代数表示与它的“友善数”的和．
【分析】（
1
）根据“友善数”的定义即可求解；
（
2
）根据“友善数”的定义得到＝
100a+10b+c
，它的“友善数”为
100c+10b+a
，相
加即可求解．
解：（
1
）最小的“友善数”是
110
，最大的“友善数”是
990
；
（
2
）＝
100a+10b+c
，
它的“友善数”为
100c+10b+a
，
100a+10b+c+100c+10b+a
＝
101
（
a+c
）
+20b
＝
101b+20b
＝
121b
．
故与它的“友善数”的和是
121b
．
四、解答题：（本大题
1
个小题，共
8
分）解答时必须给出必要的演算过程或推理步骤，画
出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上
.
26
．（
8
分）如图
1
，
AB
∥
CD
，直线
AE
分别交
AB
、
CD
于点
A
、
E
．点
F
是直线
AE
上一
点，连结
BF
，
BP
平分∠
ABF
，
EP
平分∠
AEC
，
BP
与
EP
交于点
P
．
（
1
）若点
F
是线段
AE
上一点，且
BF
⊥
AE
，求∠
P
的度数；
（
2
）若点
F
是直线
AE
上一动点（点
F
与点
A
不重合），请直接写出∠
P
与∠
AFB
之间
的数量关系．
【分析】（
1
）过点
P
作
PQ
∥
AB
，过点
F
作
FH
∥
AB
，由平行线的性质得∠
ABP+
∠
CEP
＝∠
BPE
，∠
ABF+
∠
CEF
＝∠
BFE
，再由垂直定义和角平分线定义求得结果；
（
2
）分三种情况：点
F
在
EA
的延长线上时，点
F
在线段
AE
上时，点
F
在
AE
的延长
线上时，分别进行探究便可．
解：（
1
）过点
P
作
PQ
∥
AB
，过点
F
作
FH
∥
AB
，
∵
AB
∥
CD
，
∴
AB
∥
CD
∥
PQ
∥
FH
，
∴∠
ABP
＝∠
BPQ
，∠
CEP
＝∠
EPQ
，∠
ABF
＝∠
BFH
，∠
CEF
＝∠
EFH
，
∴∠
ABP+
∠
CEP
＝∠
BPQ+
∠
EPQ
＝∠
BPE
，∠
ABF+
∠
CEF
＝∠
BFH+
∠
EFH
＝∠
BFE
，
∵
BF
⊥
AE
，
∴∠
ABF+
∠
CEF
＝∠
BFE
＝
90
°，
∵
BP
平分∠
ABF
，
EP
平分∠
AEC
，
∴∠
ABP+
∠
CEP
＝（∠
ABF+
∠
CEF
）＝
45
°，
∴∠
BPE
＝
45
°；
（
2
）①当点
F
在
EA
的延长线上时，∠
BPE
＝∠
AFB
，理由如下：
如备用图
1
，
过点
P
作
PQ
∥
AB
，过点
F
作
FH
∥
AB
，
∵
AB
∥
CD
，
∴
AB
∥
CD
∥
PQ
∥
FH
，
∴∠
ABP
＝∠
BPQ
，∠
CEP
＝∠
EPQ
，∠
ABF
＝∠
BFH
，∠
CEF
＝∠
EFH
，
∴∠
CEP
﹣∠
ABP
＝∠
EPQ
﹣∠
BPQ
＝∠
BPE
，∠
CEF
﹣∠
ABF
＝∠
EFH
﹣∠
BFH
＝∠
BFE
，
∵
BP
平分∠
ABF
，
EP
平分∠
AEC
，
∴∠
CEP
﹣∠
ABP
＝（∠
CEF
﹣∠
ABF
）＝∠
BFE
＝∠
AFB
，
∴∠
BPE
＝∠
AFB
；
②当点
F
在线段
AE
上（不与
A
点重合）时，∠
BPE
＝
90
°﹣∠
AFB
；理由如下：
如备用图
2
，
过点
P
作
PQ
∥
AB
，过点
F
作
FH
∥
AB
，
∵
AB
∥
CD
，
∴
AB
∥
CD
∥
PQ
∥
FH
，
∴∠
ABP
＝∠
BPQ
，∠
CEP
＝∠
EPQ
，∠
ABF
＝∠
BFH
，∠
CEF
＝∠
EFH
，
∴∠
ABP+
∠
CEP
＝∠
BPQ+
∠
EPQ
＝∠
BPE
，∠
ABF+
∠
CEF
＝∠
BFH+
∠
EFH
＝∠
BFE
，
∵
BP
平分∠
ABF
，
EP
平分∠
AEC
，
∴∠
ABP+
∠
CEP
＝（∠
ABF+
∠
CEF
），
∴∠
BPE
＝∠
BFE
∴∠
BFE
＝
180
°﹣∠
AFB
，
∴∠
BPE
＝
90
°﹣∠
AFB
；
③当点
F
在
AE
的延长线上时，∠
BPE
＝
90
°﹣∠
AFB
，理由如下：如备用图
3
，
过点
P
作
PQ
∥
AB
，过点
F
作
FH
∥
AB
，
∵
AB
∥
CD
，
∴
AB
∥
CD
∥
PQ
∥
FH
，
∴∠
ABP
＝∠
BPQ
，∠
CEP
＝∠
EPQ
，
180
°﹣∠
ABF
＝∠
BFH
，∠
AEC
＝∠
EFH
，
∴∠
CEP+
∠
ABP
＝∠
EPQ+
∠
BPQ
＝∠
BPE
，∠
BFH
﹣∠
EFH
＝
180
°﹣∠
ABF
﹣∠
AEC
＝∠
AFB
，
∵
BP
平分∠
ABF
，
EP
平分∠
AEC
，
∴∠
CEP+
∠
ABP
＝（∠
AEC+
∠
ABF
）＝（
180
°﹣∠
AFB
），
∴∠
BPE
＝
90
°﹣∠
AFB
；
综上，当
E
点在
A
点上方时，∠
BPE
＝∠
AFB
，当
E
点在
A
点下方时，∠
BPE
＝
90
°
﹣∠
AFB
．
本文发布于:2022-12-31 16:38:47，感谢您对本站的认可！
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