分式

分式运算的技巧

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-----————

;

+--------------

【精练】计算：工_1忑十1工'十1异十1

【分析】本题中有四个分式相加减，如果采用直接通分化成同分母的分式相加减，公分母

比较复杂，其运算难度较大•不过我们注意到若把前两个分式相加，其结果却是非常简单的.

因此我们可以采用逐项相加的办法.

1_1_24_______24

【解】H十1F十1十十1=F—1x2-hl｛十1

44

=/-1++1

=7^1

【知识大串联】

1•分式的有关概念

A

设A、B表示两个整式•如果B中含有字母，式子万就叫做分式•注意分母B的值不能

为零，否则分式没有意义

分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公因式，要进行约分化简

2、分式的基本性质

占百冥M'ED-rM（M为不等于零的整式）

3.分式的运算

（分式的运算法则与分数的运算法则类似）•

acaf

—•—=•

已十&_M±beQcadad.〔总〉屯二/

--'亠‘（异分母相加，先通分）；「-

4•零指数卅=13羊°）

5•负整数指数宀士心沖正整数）

=a^（a^01

（a^y=cm,

注意正整数幕的运算性质（咖”皿尬

可以推广到整数指数幕，也就是上述等式中的mn可以是O或负整数.

分式是初中代数的重点内容之一，其运算综合性强，技巧性大，如果方法选

取不当，不仅使解题过程复杂化，而且出错率高.下面通过例子来说明分式运算

中的种种策略，供同学们学习参考.

1.顺次相加法

114严

例1：计算：兀一1H+1工'+1工十1

【分析】本题的解法与例1完全一样•

t12x4x22x4^3

【解】=「

护-1

2.整体通分法

--------—df—1

【例2】计算:—

【分析】本题是一个分式与整式的加减运算•如能把（-a-1）看作一个整体，并提取后在

通分会使运算更加简便•通常我们把整式看作分母是1的分式•

口HiZ-%、

---一应一1----一也斗1）

【解】-』一_=-<一-=-、一_一、一1

3.化简后通分

分析：直接通分，极其繁琐，不过，各个分式并非最简分式，有化简的余地,显然，

化简后再通分计算会方便许多.

4.巧用拆项法

分析：本题的10个分式相加，无法通分，而式子的特点是：每个分式的分母都是两个

111

连续整数的积（若a是整数），联想到乳白+1）边金+1，这样可抵消一些项.

解：原式=3戏+1丿匕+1a+2

11

_____

=a盘十10

&0十DO—1)一@7—1)1

例

4

计算：二J■

十…十（口+7）@+10〕

耳+10一也10

5•分组运算法

例5:计算：天+応工+2去+1兀亠3兀+2x--4x--3

分析：本题项数较多，分母不相同.因此，在进行加减时，可考虑分组.分组的原则是使各

组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系，这样才能使运算简便•

1111

——:-+:-------一——

：

---———

=

-------

解：-;....1.............■I:j;-:

=命+l)(z+2)(x+1)'(乂+3)

=北0+1)匕+2)(*+习

【错题警示】

、错用分式的基本性质

"A

错解：原式-J

分析：分式的基本性质是“分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的

=H(X+1)(H+1)〔X十2)

1

~1)J0+1)0十？)

,

+2

-

r+，+3-(.-1)

=需0+1)缶+耳(A+1)'(X43)

1

「分式的值不变”，而此题分子乘以3,分母乘以2,违反了分式的基本性质.

正解：原式

、错在颠倒运算顺序

例2计算

=——(1_&)=1

:原式--分析：乘除是同一级运算，除在前应先做除，上述错解颠倒了运算顺序，致

使结果出现错误.

11lp_1

正解：原式1_°3~a3~a（4的

三、错在约分

Z-1

例1当兀为何值时，分式只-办+戈有意义?

_x-1_1

［错解］原式a-ua-刃x-2.

由用一2峯0得齐芒2.

卞-1

.•.用早2时，分式工‘—％十2有意义.

［解析］上述解法错在约分这一步，由于约去了分子、分母的公因式

未知数的取值范围，而导致错误.

［正解］由/-张42鼻0得"1且工罕2.

x-1

•••当XHI且兀工2,分式x2-3x十2有意义.

四、错在以偏概全

］

1_丄

例2疋为何值时，分式乂十1有意义？

［错解］当"I",得"T.

•••当"T，原分式有意义.

—!—i-^L

［解析］上述解法中只考虑工十1的分母，没有注意整个分母小的

错误.

［正解］齐+1"，得wT，

:-1，扩大了

犯了以偏概全

1-——芒0

由，得応厂.

•••当•;=且.m-1时，原分式有意义.

五、错在计算去分母

—1=-----

例3计算

［错解］原式—7'11■"

=盘工_位2二一:1.

［解析］上述解法把分式通分与解方程混淆了，分式计算是等值代换，不能去分母,

.（心一1）（&斗1）/

［正解］原式一、1-s-'

口十1d十1.

六、错在只考虑分子没有顾及分母

畫一2

例4当*为何值时，分式■■■'的值为零.

［错解］由卜卜2二0,得*艺.

•••当葢=2或乳=-2时，原分式的值为零.

［解析］当时，分式的分母，分式无意义，谈不上有值存在，出错的原因是忽视了分

母不能为零的条件.

［正解］由由k卜“°，得2埜.

由亡+工-6学U，得x隹-3且怎工2.

.••当A=-2时，原分式的值为零.

七、错在“且”与“或”的用法

］

例7疋为何值时，分式『-~2有意义

错解：要使分式有意义，卞须满足才-m，即（x-i）（x^2）H°.

由A-1^0得卞莖1，或由x+2書0得启H—2.

■■-当x=l或心-2时原分式有意义.

分析：上述解法由（「叽丫-2〕凯得托-1"或齐+2"是错误的.因为与+八中的一个式子

成立并不能保证（“l>d+2）H°一定成立，只有X亠0与+八同时成立，才能保证（x-l）

（r-2）^0一定成立.

故本题的正确答案是I且盅2.

八、错在忽视特殊情况

2m

-------二寸_觀

例8解关于X的方程K-1.

错解：方程两边同时乘以"1,得（iy）=2枫，即（3-^>=3+桝.

3+^2

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当锲峯弓时，m_啟，

当忍二3时，原方程无解.

°―

„,a—-3

p

X

分析：当澀=0时，原方程变为归取任何值都不能满足这个方程，错解只注

意了对E二3的讨论，而忽视了廉二0的特殊情况的讨论.

正解：方程两边同时乘以乳-1，得卩_吩_1)=2肥，即(3-呦工=3+肮

3+啊

兀=___

当朋=0且朋丰孑时，3-強，当朋=0或^=3时，原方程无解.