凹怎么读

第２８卷第２期

２０１０年６月

广西师范大学学报：自然科学版

Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｇｕａｎｇｘｉ Ｎｏｒｍａｌ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ：Ｎａｔｕｒａｌ Ｓｃｉｅｎｃｅ Ｅｄｉｔｉｏｎ

Ｖｏ１．２８ Ｎｏ．２

Ｊｕｎ．２０１０

凹函数的一种等价性定义与判定定理

张武军，魏保军

（信息工程大学理学院，河南郑州４５０００２）

摘要：针对凹函数一种定义上的不足，给出了与严格凹函数定义等价的一个新定义；根据凹函数成立的一个

充要条件，得到了一个较弱的判断函数凹凸性的充分条件。

关键词：凹函数；左右导数；判定定理

中图分类号：０１７２ 文献标识码：Ａ 文章编号：１００１—６６００（２０１０）０２—００２７—０３

凹凸函数是一类重要的函数，但在不同的书上其定义有所差异，常见的有３种定义［１。。］

定义１ 任取ｚ１、ｚ２∈Ｉ，ｚ１≠ｚ２，及ｔ∈（Ｏ，１），恒有ｆ（ｔｘ１＋（１－－ｔ）ｘｚ）＜ｔｆ（ｚ１）＋（１－－ｔ）ｆ（ｘ２），则称

，（ ）在区间ｊ上是凹函数（有些书称为严格凹函数）。

定义２［。］厂（ｚ）在区间 上连续， 内可导，在 内任取一点ｚ。，曲线 ：厂（ｚ）在（ｚ。，ｆ（ｘｏ））的切线位

于曲线的下方，则称 ）在区间 上是凹函数。

可以证明定义２与定义１及文献［２］中凹函数定义不等价。作为一类函数的定义，应满足各种形式的

定义彼此等价，为此，我们试图给出一种与定义１等价的由第二种形式定义的凹函数。

１ 凹函数两种定义的等价性

引理１ 若函数，（ ）在区间［ｎ，６］上连续，在（ａ，６）内存在右导数且厂＋（ｚ）＞０（或存在左导数且

（ｚ）＞０），则Ｊｆ（ｚ）在 ， 上单调递增。

证明 任取ｃ、ｄ∈（口，６），设ｃ＜ｄ，由有限覆盖定理可知：存在［ｆ， ］的一个有限开覆盖Ｉ－１＝｛（ ， ＋

）， 一０，１，…， ）满足：ｚ∈（ ，．２７ｆ＋３ｉ）时，厂（ｚ）＞厂（ｚ ），其中ｃ＝ｚ１＜…＜ ≤ 。从而得：厂（ｆ）＜厂（ ）。当

￣￣－－ａ或ｄ＝ｂ时，由连续性同样可证厂（ｆ）＜ （ ），故厂（ｚ）在 ，６］上单调递增。

引理２函数厂 ）是区间 上的凹函数的充要条件是：， ）在区间 上连续，对 内任意，７Ｃ，厂＋ ）、

（ ）均存在且单调递增。

证明必要性略Ｌ４］。

充分性任取 、 ＥＩ，且 ＜ 。，令Ｆ（ ）一厂（ｚ）一ｆ（ｘ１）一 兰 （ｚ—ｚ ），由引理１可知： Ｚ ｌ

必有Ｆ『＋（ｚ ）＜Ｏ，Ｆ＇－（ｚ。）＞０。定义ａ－－ｓｕｐ｛ｚｌＦＩ＋（ｚ）≤０，．２７∈ ， ｚ］），可以证明当 ∈（ｚ。，ａ３或 ∈［口，

Ｘ２）时，Ｆ（ ）＜Ｏ。从而对Ｖ ∈（０，１），恒有Ｆ（ｔｘ１＋（１－－ｔ）ｘ２）＜Ｏ，所以

ｆ（ｔｘ１＋（１－－ｔ）ｘ２）＜ｔｆ（ １）＋（１一ｆ）厂（ｚ２），

故 （ ）是区间 上的凹函数。

引理３［５］若，（ｚ）是区间 上的凹函数，则厂（ｚ）在 内几乎处处可导。

根据引理３，我们给出与凹函数的定义１等价的定义３。

定义３厂（ｚ）在区间 上连续，任取区间ＪＣＩ，对应于 的曲线 一，（ｚ）上，总存在不垂直于ｚ轴的

切线，且切线位于曲线的下方，则称厂（ｚ）在区间 上是凹函数。

收稿日期：２００９—１２—１５

基金项目：国家自然科学基金资助项目（１０９６１００６）

通讯联系人：张武军（１９６５一），男，山东宁阳人，信息工程大学副教授。Ｅ—ｍａｉｌ：ｚｗｊｗｓｍ＠ｙｅａｈ．ｎｅｔ

２８ 广西师范大学学报：自然科学版 第２８卷

定理１区间 上的凹（凸）函数的定义１、３等价。 、

证明若ｆ（ｓｃ）是由定义１确定的区间 上的凹函数，则由引理３可知：任取区间ＪＣＩ，函数 一厂 ）

在区间Ｌ厂内总存在可导点 ｏ，故曲线 一厂（ ）上总存在不垂直．２７轴的切线，其方程为： ＝尸（ 。）（ｚ一．２７０）

＋，（ ｏ）。任取，２７∈ ，不妨设 ＞ 。。任取ｚ ∈（ 。，Ｊｃ），由定义１，可得：

，、 、

ｆ（ｓｃ１）－ｆ（ｘ０） 厂（ ）－－ｆ（ｘ０）（ 尸（

。）一 ＳＣｏ）一ｌｉｍ—— —— ＜ —— 。

１’ ０十 ｚ１一ｚ０ ｚ—Ｚ０

故，（ ）＞ （ ｏ）（ —ｚ。）＋，（ 。），即切线位于曲线的下方。另外，由引理２可知ｆ（ｓｃ）在 上连续，所

以根据定义３，厂（ｚ）是区间 上的凹函数。

若厂（ ）是由定义３确定的区间 上的凹函数，任取，２７ 、２１７。∈Ｉ，不妨设．２７ ＜ ，对于（ｚ ， 。）内，（ｚ）的

任一可导点ｚ。，根据定义３可得：

ｆ（ｘ。）＝ｆ（ｔｘｌ＋（１－－ｔ） ２）＜ｔｆ（ｓｃ１）＋（１－－ｔ）ｆ（ｘｚ），其中ｆ一 ∈（０，１）。 （１）

２— １

若厂（ｚ）在ｚ。点不可导，必存在ａｌ∈（，２７０￣ＥＣ２），使得，（ ）在ａｌ点可导。同理在区间（ＳＣｏ，ｘｏ￣ ａｌ

）内存在可导

点ａ２，依此类推可知：存在ａ ∈（ １， ２），满足：１），（ ）在ｎ ∈（ｚ１， ２）可导；２）ｌｉｍａ 一ｚ０。

由式（１）知：，（口 ）＝厂（￡ １＋（１－－ｔ ）ｚ２）＜ ｆ（ｘ１）＋（１－－ｔ ）厂（ｚ２），其中 ＝ 。

因为ｆ（ｓｃ）在区间 上连续，对上式两边求极限，得：

ｆ（ｘ０）＝ｆ（ｔｓｃ１＋（１－－ｔ）ｘ２）≤ （ １）＋（１－－ｔ）ｆ（ｓｃ２），其中￡一１ｉｍ 一 。 （２）

定义函数Ｆ（ ）一厂（ｚ）一ｆ（ｘ１）一 （ — ），￣Ｆ（ｘ１）：Ｆ（ 。）一０。对于上述点 。，存在

∈（ｚ。，ｚ ），其中，（ ）在 可导。根据式（１）、（２）可得：

Ｆ（ｘｏ）≤ｆ。Ｆ（ｘ１）＋（１一 。）Ｆ（ ）＜（１一ｆ。）（ （ｚ１）＋（１一ｔ）Ｆ（ｘｚ））一０，其中ｔｏ－－ ， 一兰 。

Ｚ１ ｚ２一 １

从而可得：ｆ（ｔｘ ＋（１－－ｔ）ｘ。）一厂（ 。）＜ （ｚ ）＋（１－－ｔ）ｆ（ｘ：），故根据定义１，厂（ ）也是凹函数。

２判断凹函数的充分条件

般来说，根据定义判断函数的凹凸性比较困难，故人们通常利用二阶导函数的符号判断函数的凹、

凸性，但这一判断方法条件较强，限制了其适用范围，为此我们给出以下改进的判断定理。

定理２若ｆ（ｓｃ）在区间 上连续， 内具有连续的导函数，且至多除ａ ∈Ｉ，，ｚ一１，２，…外，尸 ）＞Ｏ，

则，（ｚ）是区间 上的凹函数。

证明 根据引理２，只需证明 （ｚ）在 内单调递增。否则，至少存在ｚ 、ｚ。∈Ｉ， ＜ 。，满足：厂 ）＞

尸（ｚ。）。记ａ—ｓｕｐ｛ Ｉ （ ）一 （ｚ ）， ∈ ， 。］），由 （ｚ）的连续性，易证必有：尸（口）一尸（ ）且当 ∈

（ａ，ｘｚ－１Ｂ￣（Ｘｌ≤ｎ＜ｓｃｚ）， （ｚ）＜尸（口）。若口 ｛口 ），则， （ｎ）一ｌｉ罂 兰 ≤ｏ，矛盾。

若ａ∈（ａ ｝，对于ｃ∈（ （ｚ。），厂（ｎ））且Ｃ ｛ （口 ）），由介值定理知：存在ｂＥ（口， ）使得尸（６）＝ｃ，记

ａ＝ｓｕｐ｛ｚ ｌ尸（ｚ）一尸（６），ｚ∈Ｅｂ，ｚ。］｝，同样可证 （ ）≤Ｏ，矛盾。所以ｆ（ｓｃ）是区间 上的凹函数。

根据引理２，若厂（ ）是区间 上的凹函数，厂士（ ）单调递增，厂士（ ）在每点的左右极限都存在，考虑到

（ ）应该几乎处处可导，我们还可以得到更弱条件下的判定定理。

定理３若，（ ）在区间 上连续，其导函数满足：①对于 的任意有限子区间（口，６），尸（ ）在（口，６）内

只有有限个第一类间断点ｂ ，且 （６ ）＜ （ ），ｉ＝１，２，…， ；②至多除ａ ∈Ｉ， 一１，２，…外，尸 ）＞Ｏ，

则，（ｚ）是区间 上的凹函数。

第２期 张武军等：凹函数的一种等价性定义与判定定理 ２９

证明 根据引理２，只需证明 （ｚ）在 上单调递增。任取ｚ 、ｚ。∈ ，Ｘ ＜ｚｚ，若尸（ ）在 ，Ｘｚ］内只

有一个第一类间断点ｂ，则有厂＿（６）一尸（６—０）， （６）一 （６＋Ｏ）。定义厂＋（６）一厂（６）一厂（６一Ｏ），由定理

２的证明可知厂＋（ ）一尸（ｚ）在 ，６］上单调递增；同理可证 （ ）在［６， 。］上也单调递增。从而可得：

厂＋（ １）＜厂＋（ｚ２）。

若 （ｚ）在 ，ｚ。］内有有限个第一类间断点ｂ ，类似的可证明结论也成立。

同理可证 （ ）在区间Ｊ上也单调递增，因此，（ ）是区间 上的凹函数。

推论若厂（ ）在区间 上连续，其导函数满足：①对于 的任意有限子区间（口，６）， （ｚ）在（ｎ，６）内

只有有限个第一类间断点ｂ （ 一１，２，…，ｍ），且至少存在 ，满足ｊ （ ）＞ （ ）；②至多除ａ ∈Ｉ，，ｌ＝１，

２，…外， （ｚ）＞０，则厂（ｚ）不是区间 上的凹函数。

根据定理３的证明可得， （ｚ）在 的某个子区间上非单调递增，故，（ｚ）不是区间 上的凹函数。

根据上述定理及推论，可判断厂（ ）＝Ｉ ｇ（ｔ）ｄｔ在区间（ｏ，１）内是凹函数，其中

）＝

．

ｘ －４－ｘ ｓｉｎ

在 一 内不是凹

参考文献：

［１３李成章，黄玉民．数学分析［Ｍ］．北京：科学技术出版社，２００４．

［２］同济大学应用数学系．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００７．

［３］华东师范大学数学系．数学分析［Ｍ］．上海：高等教育出版社，１９８０．

［４］孙本旺，江浩．数学分析中的典型例题和解题方法［Ｍ］．长沙：湖南科学技术出版社，１９８１．

［５］周民强．实变函数论［Ｍ］．北京：北京大学出版社，２００４．

Ｅｑｕｉｖａｌｅｎｃｅ Ｄｅｆｉｎｉｔｉｏｎ ａｎｄ Ｃｒｉｔｅｒｉａ ｏｎ Ｃｏｎｃａｖｅ Ｆｕｎｃｔｉｏｎ

ＺＨＡＮＧ Ｗｕ－ｊｕｎ，ＷＥＩ Ｂａｏ－ｊｕｎ

（Ｓｃｈｏｏｌ ｏｆ Ｓｃｉｅｎｃｅｓ，Ｉｎｆｏｒｍａｔｉｏｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｚｈｅｎｇｚｈｏｕ Ｈｅｎａｎ ４５０００２，Ｃｈｉｎａ）

Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ ｔｈｉｓ ｐａｐｅｒ，ｄｅｆｉｎｔｔｉｏｎ ３ ｅｑｕｉｖａｌｅｎｔ ｔｏ １ ｗａｓ ｇｉｖｅｎ ｔｏ ｔｈｅ ｌａｃｋ ｏｆ ｔｈｅ ｄｅｆｉｎｅｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｏｎｃａｖｅ

ｆｕｎｃｔｉｏｎ；Ａｃｃｏｒｄｉｎｇ ｔｏ ｔｈｅ ｎｅｃｅｓｓａｒｙ ａｎｄ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉｔｉｏｎ ｏｆ Ｃｏｎｃａｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ，ｗｅａｋ ｓｕｆｆｉｃｉｅｎｔ ｃｏｎｄｉ—

ｔｉｏｎｓ ａｒｅ ｇｉｖｅｎ ｆｏｒ ｊｕｄｇｉｎｇ ｔｈｅ Ｃｏｎｖｅｘ－ｃｏｎｃａｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ．

Ｋｅｙ ｗｏｒｄｓ：ｃｏｎｃａｖｅ ｆｕｎｃｔｉｏｎ ｄｅｆｔ ａｎｄ ｒｉｇｈｔ ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅ；ｃｒｉｔｅｒｉｏｎ ｔｈｅｏｒｅｍ

（责任编辑李小玲）