兼收并蓄

兼容并包兼收并蓄--三角函数的两种定义方法浅析

发表时间：2010-11-25T16:55:06.923Z来源：《素质教育(教师教育)》2010年第11期供稿作者：弭金瑞

[导读]通过以上几点的分析，可以看出三角函数的两种等价定义方法有着各自的优点。

"单位圆定义法"与"终边定义法"本质上是一致的，采用哪一种定义方法是一个取舍问题，没有对错之分．三角函数的两种定义方法都是

可行的，我们没必要非要分出孰优孰劣，我们大可以采取"兼容并包兼收并蓄"的态度来提高对三角函数定义及三角函数的认识。从映射的

角度来开展三角函数定义的教学，可以有效培养学生的逻辑思维能力。在具体的教学实践中它可以很好的帮助学生解决已知一个角的中边

上的一点的坐标来求这个角的的三角函数值的问题，和理解参数方程。从这一点来看，利用角的终边上任意一点的坐标出发来定义三角函

数更好一些。为什么要学习利用单位圆来定义三角函数？用单位圆上点的坐标定义任意角的三角函数有许多优点，可以使抽象的问题变得

直观，使学生能够深入浅出地理解三角函数的一些性质，主要体现以下方面。

１、简单、清楚，突出三角函数最重要的性质──周期性．采用"单位圆定义法"，对于任意角?，它的终边与单位圆交点P(x，y)唯一确

定，这样，正弦、余弦函数中自变量与函数值之间的对应关系，即角（弧度）对应于点P的纵坐标y──正弦；角（弧度）对应于点P的横

坐标x──余弦。可以得到非常清楚、明确的表示，而且这种表示也是简单的。另外，"x=cos?，y=sin?是单位圆的自然的动态（解析）描

述，由此可以想到，正弦、余弦函数的基本性质就是圆的几何性质（主要是对称性）的解析表述"，其中，单位圆上点的坐标随着角?每隔

2π（圆周长）而重复出现（点绕圆周一圈而回到原来的位置），非常直观地显示了这两个函数的周期性。

"终边定义法"需要经过"取点──求距离──求比值"等步骤，对应关系不够简洁；"比值"作为三角函数值，其意义（几何含义）不够清

晰；"从角的集合到比值的集合"的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的"数集到数集"的对应关系不一致，而且"比值"需要通过运算才能

得到，任意一个角所对应的比值的唯一性（即与点的选取无关）也需要证明；"比值"的周期性变化规律也需要经过推理才能得到．以往的教

学实践表明，许多学生在结束了三角函数的学习后还对三角函数的对应关系不甚了了，与"终边定义法"的这些问题不无关系。

２、有利于构建任意角的三角函数的知识结构。"单位圆定义法"以单位圆为载体，自变量?与函数值x，y的意义非常直观而具体，单位

圆中的三角函数线与定义有了直接联系，从而使我们能方便地采用数形结合的思想讨论三角函数的定义域、值域、函数值符号的变化规

律、同角三角函数的基本关系式、诱导公式、周期性、单调性、最大值、最小值等。

在学习弧度制时，学生对引进弧度制的必要性较难理解。"单位圆定义法"可以启发学生反思：采用弧度制度量角，就是用单位圆的半

径来度量角，这时角度和半径长度的单位一致，这样，三角函数就是以实数（弧度数）为自变量，以单位圆上点的坐标（也是实数）为函

数值的函数，这就与函数的一般定义一致了。另外，我们还可以这样来理解三角函数中自变量与函数值之间的对应关系：把实数轴想象为

一条柔软的细线，原点固定在单位点A（1，0），数轴的正半轴逆时针缠绕在单位圆上，负半轴顺时针缠绕在单位圆上，那么数轴上的任

意一个实数（点）被缠绕到单位圆上的点P(cos，sin)。

３、符合三角函数的发展历史。三角函数发展史表明，任意角的三角函数是因研究圆周运动的需要而产生的，数学史上，三角函数曾

经被称为"圆函数"。所以，采用"单位圆定义法"能更真实地反映三角函数的发展进程。

早在古希腊时代，人们就知道"相似三角形的对应边成比例"，这是三角函数的根源,也是其本质所在,所以三角函数起源于几何中的边角

关系。三角函数的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为

整个实数域。到了近代,人们将三角函数作为一般的函数来研究它们的代数性质。现代数学把它们描述成无穷无穷级数或微分方程的解，将

其定义扩展到复数系。映射也是贯穿高中数学的一条主线，是人们思考问题时一种非常重要的对应关系。

４、有利于后续学习。前已述及，"单位圆定义法"使三角函数反映的数形关系更直接，为后面讨论三角函数的性质和图像奠定了很好

的直观基础。不仅如此，这一定义还能为"两角和与差的三角函数"的学习带来方便，因为和（差）角公式实际上是"圆的旋转对称性"的解析

表述，和（差）化积公式也是圆的反射对称性的解析表述。另外，这一定义中角的度量直接采用了弧度制，能为微积分的学习带来方便。

例如，重要极限几乎就是定义的一个"推论"。

"单位圆定义法"与"终边定义法"都能很好的体现三角函数值在各象限的符号，诱导公式的研究实质上是通过直角坐标系中点的对称性来

进行的，而对三角函数的性质的研究最好还是利用三角函数的图像来进行，它体现了研究函数性质的一般程序方法，同时能使学生回顾复

习研究函数的性质的方法，加深对它的理解。这才是性质教学的根本。在教学中，我们要重视单位圆的直观，又不忽视比值定义的意义，

注重函数图像在研究函数性质中的作用--代数问题用几何方法来解决，是我们需要掌握的一种重要方法--数形结合。硬要用单位圆来研究一

些有函数的图像就可以直观的体现出来的性质，是不妥的。

通过以上几点的分析，可以看出三角函数的两种等价定义方法有着各自的优点。我们只有努力探索、虚心求教；才能兼容并包，兼收

并蓄；以成其大。在教学中我们应不断总结改进，避难就易，提高我们驾驭课堂、驾驭教材的能力。

作者单位：山东省邹平县长山中学