文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。
Iword格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。
Mathmatica4.0使用说明
Mathmatic概述..........................................................错误!未定义书签。
1、Mathmatic的特点............................................................错误!未定义书签。
2、Mathmatic运行和基本操作............................................错误!未定义书签。
初等数学.....................................................................错误!未定义书签。
1、数值计算...........................................................................错误!未定义书签。
2、数学函数和常数...............................................................错误!未定义书签。
3、符号运算...........................................................................错误!未定义书签。
微积分.........................................................................错误!未定义书签。
1、极限、微分和积分...........................................................错误!未定义书签。
2、函数的幂级数展开...........................................................错误!未定义书签。
3、微分方程...........................................................................错误!未定义书签。
线性代数.....................................................................错误!未定义书签。
1、构造矩阵...........................................................................错误!未定义书签。
2、矩阵运算...........................................................................错误!未定义书签。
数据拟合与优化.........................................................错误!未定义书签。
1、数据拟合...........................................................................错误!未定义书签。
2、数据优化...........................................................................错误!未定义书签。
绘图与声音.................................................................错误!未定义书签。
1、平面图形...........................................................................错误!未定义书签。
2、立体图形...........................................................................错误!未定义书签。
3、声音...................................................................................错误!未定义书签。
编程.............................................................................错误!未定义书签。
1、条件控制...........................................................................错误!未定义书签。
2、循环控制...........................................................................错误!未定义书签。
3、简单例子...........................................................................错误!未定义书签。
综合实例.....................................................................错误!未定义书签。
1、最速降线...........................................................................错误!未定义书签。
2、追逐线...............................................................................错误!未定义书签。
3、验证歌德巴赫猜想...........................................................错误!未定义书签。
1
Mathmatic概述
进行高等数学中的各种运算是Mathematica的主要功能．Mathematica可进行微
积分、线性代数和工程数学中的许多运算．特别是其符号运算能力，令人惊叹．现
在Mathematica已受到越来越多科技工作者的欢迎和使用。
1、Mathmatic的特点
(1)内容丰富,功能齐全Mathematica能够进行初等数学，高等数学、工程数学等
的各种数值计算和符号运算.特别是其符号运算功能,给数学公式的推导带来极
大的方便.它有很强的绘图能力,能方便的画出各种美观的曲线、曲面,甚至可以
进行动画设计.
(2)语法简练,编程效率高Mathematica的语法规则简单语句精练.和其它高级语
言(如C,Fortran语言)相比,其语法规则和表示方式更接近数学运算的思维和表达
方式.用Mathematica编程,用较少的语句,就可完成复杂的运算和公式推导等任
务.
(3)操作简单,使用方便Mathematica命令易学易记,运行也非常方便.用户既可以
和Mathematica进行交互式的“对话”,逐个执行命令.也可以进行“批处理”,
将多个命令组成的程序,一次性地交给Mathematica,完成指定的任务.
(4)和其它语言交互Mathematica和其它高级语言,如C，Fortran语言等能进行
简单的交互.可以调用C,Fortran等的输出并转化为Mathematica的表示形式,也可
以将Mathematica的输出转化为C,Fortran语言和Tex编译器(注:Tex是著名的数
学文章编辑软件,用它打印出的文章,字体漂亮、格式美观)所需的形式.甚至还可
以在C语言中嵌人Mathematica的语句.这使Mathematica编程更灵活方便增强
了Mathematica的功能.
2、Mathmatic运行和基本操作
Mathematica有各种版本(Dos版本,Windows版本,Unix版本和网络环境下的版
2
本),在此以Windows版本为例介绍其使用方法.
当安装好Mathematica后,在Windows界面中就会产生Mathematica的图标,用
鼠标双击之,就可以进入Mathematica的工作环境.此时便可以输入Mathematica
的命令了.
(1)命令的输入和运行
例如:要计算28,输入
2^8
然后同时按下Shift和Return键,或小键盘的Return键，就执行运算并得到结
果.此时屏幕显示为:
In[1]:=2^8
out[1]=256
其中In[1]:=是Mathematica自动加上的,表示第一个输入.
Out[1]=表示第一个输出.按照同样的方式,接下来可继续输入一个命令,并运
行之
….这种一问一答的方式称为“对话”,式的计算,是常用的方式.Mathematica还
提供“批处理”的运行方式,即将多个命令组成的程序,一次性地交给Mathematica
进行处理,完成指定的运算.
例如:画出曲线y=x2和直线x+y=2在区间[-4,4]的图形,并求二曲线的交点,输
入指令
Plot[{x^2,2-x},{x,-4,4}],则输出图：
再输入指令Solve[{y==x^2,x+y==2}]，则得到结果
{{y->1,x->1},{y->4,x->-2}}
(2)程序的保存和调用
若要将整个程序保存下来,并且希望下次工作时继续以前的计算，可直接进
3
行菜单操作，类似Word的操作.文件的扩展名为nb
Mathematica的数值计算可得到两种结果:精确值和近似值.
当能求出精确值时Mathematica都给出精确值,要想得到近似值,可以使用两种
方法:
一是使用小数点;二是使用Mathematica的近似函数:
N[expr]或expr//N--------expr的近似值(精度为6位)
N[expr,n]------------------n位精度的expr的近似值.
其中expr是算术表达式.
下面给出一些运算的例子.我们从中可比较不同类型的输入和输出.
In[1]：＝（8*（4＋6－2＾（5－2）））/3
Out[1]=16/3
其中,*代表乘号，＾代表乘幂运算．括号必须使用圆括号．
In[2］：＝2＾100
Out[2]＝1267650…76（共31位）
In[3］：＝2．＾100
Out[3]＝1．26765×1030
In［4］：＝2/7+1/3
Out[4]＝13/21
In[5]：＝2．/7+1/3
Out[5]＝0．619048
In[6]：＝2/7+1/3//N
Out[6]＝0．619048
In[7]：＝N[2/7+1/3，40]
Out[7]＝0．619048…9（小数点后共40位）
Mathematica还可以进行复数运算，例如：
In[8]：＝(4+3I)/(2-I)
Out[8]＝1+2I
其中I代表虚单位．
In[9]：=Sqrt[-16]
4
Out[9]＝4I
其中Sqrt是平方根函数．
在运算中，用户常常需要使用已计算出的结果．这可用下述方式实现：
％-------------前面倒数第一个输出结果
％％-----------前面倒数第二个输出结果
％n------------前面第n个输出结果Out[n]
例：
In[10]：＝％+7+2I（％代表输出9，即4I）
Out[10]＝7＋6I
In[11]：＝％*％％（％代表7＋6I，％％代表4I）
Out[11]＝－24＋28I
In[12]：＝％4+1/2（％4代表13/21）
Out[12]＝47/42
初等数学
1、数值计算
Mathematica的数值计算可得到两种结果:精确值和近似值.
当能求出精确值时Mathematica都给出精确值,要想得到近似值,可以使用两种
方法:
一是使用小数点;二是使用Mathematica的近似函数:
N[expr]或expr//N--------expr的近似值(精度为6位)
N[expr,n]------------------n位精度的expr的近似值.
其中expr是算术表达式.
下面给出一些运算的例子.我们从中可比较不同类型的输入和输出.
In[1]：＝（8*（4＋6－2＾（5－2）））/3
Out[1]=16/3
其中,*代表乘号，＾代表乘幂运算．括号必须使用圆括号．
In[2］：＝2＾100
5
Out[2]＝1267650…76（共31位）
In[3］：＝2．＾100
Out[3]＝1．26765×1030
In［4］：＝2/7+1/3
Out[4]＝13/21
In[5]：＝2．/7+1/3
Out[5]＝0．619048
In[6]：＝2/7+1/3//N
Out[6]＝0．619048
In[7]：＝N[2/7+1/3，40]
Out[7]＝0．619048…9（小数点后共40位）
Mathematica还可以进行复数运算，例如：
In[8]：＝(4+3I)/(2-I)
Out[8]＝1+2I
其中I代表虚单位．
In[9]：=Sqrt[-16]
Out[9]＝4I
其中Sqrt是平方根函数．
在运算中，用户常常需要使用已计算出的结果．这可用下述方式实现：
％-------------前面倒数第一个输出结果
％％-----------前面倒数第二个输出结果
％n------------前面第n个输出结果Out[n]
例：
In[10]：＝％+7+2I（％代表输出9，即4I）
Out[10]＝7＋6I
In[11]：＝％*％％（％代表7＋6I，％％代表4I）
Out[11]＝－24＋28I
In[12]：＝％4+1/2（％4代表13/21）
Out[12]＝47/42
6
2、数学函数和常数
Mathematica提供了大量的数学函数，给运算带来很大方便．下面列出一些常
用的函数．
函数形式功能
Sqrt[x]
平方根
Exp[x]
指数函数ex
Log[x],Log[b,x]
对数函数Lnx,Logbx
Sin[x],Cos[x],Tan[x]
三角函数
ArcSin[x],ArcCos[x],ArcTan[x]
反三角函数
Sinh[x],Cosh[x],Tanh[x]
双曲函数
n!,n!!
阶乘,双阶乘
Binomial[n,m]
组合数Cnm
Abs[x]
绝对值
Sign[x]
符号
Round[x]
四舍五入取整
Floor[x]
取不超过x的最大整
数
Mod[n,m]
n/m的余数
Random[]，Random[Integer,{m,n}]，
Random[Real,{a,b}]，
均匀分布随机数
Max[x,y,…],Min[x,y,…]最大值，最小值
Sum[ai,{i,imin,imax}],
求和
Product[ai,{i,imin,imax}]
求积
Abs[z],Arg[z]
模，辐角
Re[z],Im[z]
实部，虚部
Conjugate[z]
共轭复数
注：Mithematica提供的函数，其名称中的字母大小写是固定的（特别开头字
7
母均为大写），不得误用；函数的自变量以方括号[]括起来．
Mathemaica还提供了许多数学常数，下面列出了一些常数（均以大写字母开
头）．
Pi-------------------π;E---------------------e
I----------------------;Infinity--------------∞
函数和常数均可参与运算，下面是一些运算的例子．
In[l]：＝Pi^2
Out[1]＝π2
In[2]：＝N[Pi,11]
Out[2]＝3.35
In[3]：＝Log[E^8]
Out[3]＝8
In[4]：＝Sin[Sqrt[％1]/6]
Out[4]=1/2
用户不仅可以使用Mathemaica提供的函数和常数，还可以自定义函数和常
数．方法如下：
形式功能
f[x_]:=expr-------------定义函数f
f[x_,y_]:=expr-----------定义多变量的函数f
？f------------------------显示函数的定义
Clear[f]-----------------清除f的定义
x＝value-------------给变量x赋值
x＝．清除变量x的值
注：定义函数时，在等式左端的方括号中的变量必须跟随下到线符号“＿”；
定义的函数或变量的名称不要使用大写字母开头，以免和Mathemaica的函数
或常数混淆．
例：
In[1]：＝f[x_]:=x^5；f[x_,y_]:=Sqrt[x^2+y^2］；z＝3；
其中输入语句后的分号“；”表示不显示输出结果，定义了函数、变量以后，
8
便可以在运算中使用．
In[4]：＝f[2]
Out[4]=32
In[5]：＝f[1+b]
Out[5]=(1+b)2
In[6]：＝g[z,4]
Out[6]=5
如果忘记了已定义的函数的内容，可以使用？f查询f的定义．当函数或变量
使用完以后，最好将其清除，以免带来麻烦．
3、符号运算
Mathematica提供了大量的数学函数，给运算带来很大方便．下面列出一些常
用的函数．
符号运算即代数式的运算．它是Mathemaica的重要功能．下面简介符号运算
的主要功能．
（1）符号赋值
Mathemaica不仅可以把一个常值赋给一个符号，还可以把一个表达式赋给一
个符号．其规则如下：
x＝value--------------------将value赋给x
x＝．-----------------------清除赋给x的值
expr/.x->value-------------用value替换expr中的x
expr/.{x->xvalue,y->yvalue}----------用xvalue,yvalue分别替换expr中的x,y.
例：
In[1]：＝t＝l＋x
Out[1]＝1+x
In[2]：＝l-t^2
Out[2]＝1-(1+x)2
In[3]：＝t＝．
Out[3]＝1-(1+x)2
9
In[4]：＝l-t^2
Out[4]＝1-t2
In[5]：＝%2/.x->2
Out[5]＝-8
（2）代数式变换
Mathernatica提供了许多进行代数式变换的一些函数，下面列出常用的函数．
Expand[expr]-----------------------展开expr
ExpandAll[expr]--------------------展开expr的分子、分母
Factor[expr]-------------------------对expr进行因式分解
Together[expr]----------------------对expr进行通分
Apart［expr］---------------------将expr分解为简单分式
Cancel[expr]----------------------消去expr的分子、分母的公因式
Simplify[expr]--------------------把expr化为最少项形式
例：In[1]：＝t=(x-1)^2(2+x)/((1+x)(x-3)^2)，
In[2]：＝Expand[t]（展开分子，分母不变）
In[3]：＝ExpandAll[t]（展开分子、分母）
In[4]：=Together[％]（通分）
In[5]：＝Apart[％]（化为部分分式）
In[6]：＝Factor[%]（分解因式）
In[7]：＝Simplify[%5](将表达式化简)
除了上述常用的变换外，Mathematica还可以进行许多种类型的变换．下面再
看一些例子．
In[8]：＝Expand[2Cos[x]^3*Sin[2x]^2,Trig->True]（展开三角函数）
Out[8]：＝
In[9]：＝Factor[%,Trig->True]
Out[9]=8Cos[x]5Sin[x]2
In[10]:=ComplexExpand[Sin[x+y*I]]（展开复函数）
Out[10]：＝Cosh[y]Sin[x]+ICos[x]Sin[y]
In[11]：＝s=Expand[(x+y)^3]；
10
In[12]：＝Coefficient[s,x^2](取出s中x^2项的系数)
Out[12]=3y
In[13]：=Numerator[%1](取出%1中的分子)
Out[13]=(-1+x)2(2+x)
In[14]：=Denominator[%1](取出%1中的分母)
Out[14]=(-3+x)2(1+x)
Mathematica还允许用户自己定义变换规则，例如：
In[15]：＝mysin=Sin[2*x_]->2Sin[x]Cos[x]；
In[16]：＝Sin[2*(x+y)^2]/.mysin
Out[16]=2Cos[(x+y)2]Sin[(x+y)2]
总之Mathematica进行变换的功能是非常强的．
（3）解方程
Mathematica可以用多种方法求解符号方程．下面列出主要的解法：
Solve[equ,vars]-------------------求方程的一般解
Reduce[equ,vars]-----------------求方程的全部解
NSolve[equ,vars]----------------求方程的数值解
FindRoot[equ,{x,a}]--------------求方程在a附近的数值解
其中，equ是待求解的方程，var是未知量．
例In[1]:=Solve[a*x+b==0,x]
注：方程中，等号必须用“==”
Out[1]={{x->-b/a}}
In[2]:=Reduce[a*x+b==0,x]
Out[2]=a==0&&b==0||x==-b/a&&a!=0
使用Reduce给出了a!=0时的解和a=0,b=0时的解，（此时x为任意值）．
对四次及四次以下的代数方程，Mathematica总能给精确解．四次以上的方
程，若能分解因式，亦可给出精确解．
In[3]：=Solve[x^3+3x^2+3x+2==0，x]
Out[3]=
当求不出精确解时，Mathemaica以符号形式给出结果
11
In[4]：=x^5+5x+1＝＝0；
In[5]：=Solve[％4，x]
Out[5]=
上述方程求不出精确解，此时可求数值解．
In[6]：=NSolve[％4，x]
Out[6]=
如果要求在某点附近的数值解，使用FindRoot
In[7]：＝FindRoot[x*Sin[x]==1/2,{x,1}]
Out[7]＝{x->0.740841}
使用Solve还可以求解方程组．
1n[8]：=Solve[{x^2+y^2==1,x+y==a},{x,y}]
Out[8]＝
微积分
1、极限、微分和积分
微积分等主要运算：
12
例In[1]:=D[Sin[x^2],x]
Out[1]=2xCos[x2]
In[2]:=D[x^n,{x,3}]
Out[2]=
In[3]:=D[y^3*Log[x+y],x,y]
Out[3]=
也可以求出抽象函数的导数
In[4]:=D[x*f[x^5],x]
Out[4]=
求不定积分，对Mathematica而言易如反掌
In[5]:=Integrate[1/(x^4-1),x]
Out[5]=
可以验证
In[6]:=Simplify[D[%,x]]
13
Out[6]=
求定积分
In[7]:=Integrate[Log[x],{x,a,b}]
Out[7]=a-b-aLog[a]+bLog[b]
也可以通过File->Palettes->BasicCalculations输入
In[8]:=
Out[8]=a-b-aLog[a]+bLog[b]
In[9]:=Integrate[x*x+y*y,{x,0,1},{y,0,Sqrt[1-x*x]}]
Out[9]=
2、函数的幂级数展开
Mathematica作幂级数展开可达到任意精度。进行幂级数展开，使用下述函数：
Series[expr,{x,x0,n}]-------------expr在x=x0点的n阶幂级数展开式
Normal[ries]---------------------去掉展开式的余项
例
In[1]:=Series[Log[1+x],{x,0,5}]
Out[1]=
In[2:=Normal[%]
Out[2]=
抽象函数展开
In[3]:=Series[f[x],{x,0,4}]
Out[3]=
3、微分方程
求解微分方程与代数方程类似,导数用单引号表示
DSolve[equ,y[x],x]----------------------解y[x]的微分方程
14
DSolve[equ,{x[t],y[t]},t]---------------解自变量为t的微分方程组
例
In[1]:=DSolve[y’[x]==a*y[x],y[x],x]
Out[1]=
如给出初始条件，就明确了待定常数
In[2]:=DSolve[{y’[x]==a*y[x],y[0]==2},y[x],x]
Out[2]=
In[3]:=DSolve[{y”[x]+y[x]==1,y[0]==2,y’[0]==5},y[x],x]
Out[3]=
In[4]:=DSolve[{y’[t]==x[t],x’[t]==y[t],x[0]==1,y[0]==2},{x[t],y[t]},t]
Out[4]=
线性代数
1、构造矩阵
{{a11,…,a1n},{a21,…,a2n},…,{am1,…,amn}}---------构造m×n矩阵
Table[f[i,j],{i,m},{j,n}]--------------------------------构造m×n矩阵
Array[f,{m,n}]---------------------以f[i,j]为元素，构造m×n矩阵
DiagonalMatrix[{a1,a2,…,an}]---------------------构造n阶对角矩阵
IdentityMatrix[n]-----------------------------------构造n阶单位矩阵
Table[If[i>=j,f[i,j],0],{i,m},{j,n}]-------------------构造下三角矩阵
m[[i,j]]---------------------------------------------取矩阵m的元素m(i,j)
m[[i]]---------------------------------------------取矩阵m的第i行
Transpo[m][[k]]------------------------------取矩阵m的第k行
例In[1]:={{a,b},{c,d}}
Out[1]={{a,b},{c,d}}
如果希望得到矩阵形式，可使用函数MatrixForm
In[2]:=MatrixForm[%]
15
Out[2]=//MatrixForm=
In[3]:=Table[3*(i-1)+j,{i,3},{j,3}]
Out[3]={{1,2,3},{4,5,6},{7,8,9}}
In[4]:=MatrixForm[DiagonalMatrix[{a,b,c}]]
Out[4]=//MatrixForm=
In[5]:=p=Array[a,{2,3}]
Out[5]=
取出第2行
In[6]:=p[[2]]
Out[6]={a[2,1],a[2,2],a[2,3]}
取出第3列
In[7]:=Transpo[p][[3]]
Out[7]={a[1,3],a[2,3]}
2、矩阵运算
Mathematica可进行矩阵的各种运算,如矩阵求逆、矩阵的转置、矩阵与向量的
乘法等.下面列出主要的运算.记k为常数,u,v为向量,A,B为矩阵
k*A------------------------常数乘矩阵
k+u-----------------------向量u的每一个元素加上k
u+v----------------------向量的对应元素相加
u.v-----------------------向量的内积
u*v-----------------------向量的对应元素相乘
A.u---------------------矩阵乘向量
u.A-----------------------向量乘矩阵
A.B--------------------------矩阵乘矩阵
Transpo[A]-----------------求矩阵A的转置阵
Inver[A]--------------------求矩阵A的逆矩阵
Det[A]-------------------------求矩阵A的行列式
16
Eigenvalues[A]-----------------求数字阵A的特征值
Eigentvectors[A]---------------求数字阵A的特征向量
LinearSolve[A,v]---------------求解线性方程组Ax=v
Chop[%n]-------------------舍去第n个输出中无实际意义小量
矩阵可以左乘以向量或右乘以向量,Mathematica也不区分“行”,或“列”向量,自
动进行可能的运算.
例:
In[1]:=A={{a,b},{c,d}};v={x,y};
In[2]:=A.v(A左乘以v)
Out[2]={ax+by,cx+dy}
In[3]:=v.A(A右乘以v)
Out[3]={ax+cy,bx+dy}
In[4]:=Inver[A]
Out[4]=
如果矩阵的元素是近似数，则求出的逆矩阵也是近似的。
In[5]:=B={{1.2,5.7},{4.2,5.6}};Inver[B]
Out[5]=
In[6]:=%.B
Out[6]=
结果与单位矩阵有微小误差，用函数Chop消去无实际意义小量
In[7]:=Chop[%]
Out[7]={{1.,0},{0,1.}}
前面已介绍了用Solve解线性方程组，但对于矩阵形式Ax=v的线性方程组，
用
LinearSolve[A,v]更方便.
In[8]:=M={{2,1},{1,4}};LinearSolve[M,{a,b}]
Out[8]=
17
数据拟合与优化
1、数据拟合
Fit[data,funs,vars]--------用变量为vars,函数为funs，按最小二乘法拟合一组数
据data
InterpolatingPolynomial[{{x1,f1},{x2,f2},…,},x]-----------------多项式插值
例
In[1]:=d1=Table[Exp[-x/2.],{x,8}](生成一个数据表)
Out[1]=
In[2]:=Fit[d1,{1,x,x^2,x^3},x](用三次多项式拟合)
Out[2]=
In[3]:=Fit[d1,{Sin[x],Exp[-x/2]},x]（用三角函数与指数函数拟合）
Out[3]=
In[4]:=Chop[%]
Out[4]=
In[5]:=d2=Flatten[Table[{x,y,1-2x+x*y+y^2},{x,2,5},{y,10,15}],1](生成一个二
元数据表，即一串三维点)
Out[5]=
In[6]:=Fit[d2,{1,x,y,x*y,y^2},{x,y}]（二元函数拟合）
Out[6]=
In[7]:=Chop[%]
Out[7]=
In[8]:=d5={{0,2.5},{0.5,2.1},{1.,2.8},{1.5,3.2}};InterpolatingPolynomial[d5,x]
18
Out[8]=
2、数据优化
FindMinimum[f,{x,x0}]----------------------------从x=x0始，求一元函数f的局部
极小值
FindMinimum[f,{x,{x0,x1}}-----------------------从x0,x1始，求一元函数f的局
部极小值
FindMinimum[f,{x,x0},{y,y0},…]----从点（x0，y0,…）始，求多元函数f的
局部极小值
ConstrainedMin[f,{inequalities},{x,y,…}]，求线性不等式约束下的f最小值,假
定变量非负
ConstrainedMax[f,{inequalities},{x,y,…}]，求线性不等式约束下的f最大值,假
定变量非负
LinearProgramming[c,A,b]-------------求解线性规划min{cx|Ax>=b,x>=0}
例
In[1]:=FindMinimum[x^4+3x^2*y+5y^2+x+y,{x,0.1},{y,0.2}]
Out[1]=
In[2]:=ConstrainedMax[17x-20y+18z,{x-y+z<=15,x<5,x+y<10},{x,y,z}]
Out[2]=
In[3]:=
Out[3]={6,4}
绘图与声音
1、平面图形
Plot[f,{x,xmin,xmax}]------------------画一元函数在范围[xmin,xmax]的图形
19
Plot[{f,g,…}{x,xmin,xmax}]------------画多个一元函数在范围[xmin,xmax]的图
形
ListPlot[{y1,y2,y3,…}]------------画数据表{y1,y2,y3,…}的散点图，自变量为1，
2，3…
ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},…}]----------------画数据表{{x1,y1},{x2,y2},…}的散
点图
ParametricPlot[{fx,fy},{t,min,max}]--------------------------画参数方程的图
ParametricPlot[{{fx,fy},{gx,gy}},{t,min,max}]-------------画多个参数方程的图
Show[p1,p2,p3]-----------------------把图形p1,p2,p3重叠在一起
ContourPlot[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]---------------画f(x,y)的等高线
图
ListContourPlot[array]---------------------------------画三元数组的等高线图
例
In[1]:=
ListPlot[{{2,5},{5,8},{7,8},{9,7}},PlotStyle?{PointSize[0.04],RGBColor[0,0,1]}]
In[2]:=p1=Plot[{Sin[2x],Cos[3x]},{x,0,Pi},PlotStyle?RGBColor[1,0,0]]
In[3]:=p2=ParametricPlot[{Cos[t]^3,Sin[t]^3},{t,0,2Pi}]
In[4]:=Show[p1,p2]
20
In[5]:=ListContourPlot[{{22,33,55},{32,42,23},{34,44,52},{43,52,45}}]
2、立体图形
ListPlot3D[Array]-------------------------------画三元数组散点图
Plot3D[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]----------画二元函数曲面图
ParametricPlot3D[{fx,fy,fz},{t,min,max}]----------画参数方程表示的空间曲线
ParametricPlot3D[{fx,fy,fz},{t,t1,t2},{u,u1,u2}]---画参数方程表示的曲面图
例In[1]:=da={{3,4,2},{5,6,8},{7,9,4}};ListPlot3D[da]
In[2]:=Plot3D[Exp[-(x^2+y^2)],{x,-2,2},{y,-2,2},Axes->Fal,Boxed->Fal]
In[3]:=Plot3D[x^2-y^2,{x,-3,3},{y,-3,3},Axes->Fal]
21
In[4]:=ParametricPlot3D[{Sin[t],Cos[t],t/8},{t,0,15},Axes->Fal]
In[5]:=ParametricPlot3D[{Cos[t](3+Cos[u]),Sin[t](3+Cos[u]),Sin[u]},{t,0,2Pi},{u
,0,2Pi}]
In[6]:=ParametricPlot3D[{10Sin[t]Cos[u],10Sin[t]Sin[u],10Cos[t]},{t,0,Pi},{u,0,2
Pi}]
3、声音
Play[f,{t,min,max}]----------------------根据函数f的值来播放声音
In[1]:=Play[Sin[700t+250t*Sin[15t]],{t,0,3}]
编程
1、条件控制
(1)If[cond,then,el]-----如果cond成立，则执行then,否则执行el
(2)Which[cond1,valu1,cond2,valu2,…]-----如果condi成立，则执行valuei
(3)Switch[expr,form1,value1,form2,value2,…]----比较expr与每个formi,给出
第一个匹配的value
22
例定义一个分段函数
In[1]:=f[x_]:=If[x>=0&&x<=1,5x,If[x>=1&&x<=3,9-2x,3]];Plot[f[x],{x,0,10}]
定义函数r(x)为x除3,余0时值为a,余1时值为b,余2时值为c.
In[2]:=r[x_]:=Switch[Mod[x,3],0,a,1,b,2,c]
2、循环控制
(1)For[start,test,incr,body]----以start为初值，重复执行body和incr，直到test
不成立
(2)Do[expr,{n}]----执行n次expr
(3)Do[expr,{n,min,max,d}]----n从min到max,步长为d,执行expr
(4)While[cond,body]---------若cond成立，则执行body，直到cond不成立
例In[1]:=t=x;Do[t=1/(1+k*t),{k,2,6,2}];t
Out[1]=
In[2]:=n=15;While[Floor[n/2]>0,n=Floor[n/2];Print[n]]
7
3
1
3、简单例子
(1)旋转曲面
f[x_]=Cos[x]+1;
For[i=1,i<=10,i++,
23
p[i]=ParametricPlot3D[{f[t]Cos[s],f[t]Sin[s],t},{t,-Pi,Pi},{s,0,
2Pi*i/10},PlotRange->{{-2,2},{-2,2},{-3,3}}]]
(2)柱面
y=Cos[x];g1=ParametricPlot3D[{x,y,z},{z,-0.01,0},{x,-Pi,Pi}]
For[i=1,i<=10,i++,
g2=ParametricPlot3D[{x,y,z},{z,0,5},{x,-Pi,-Pi+2Pi*i/10},
PlotRange->{{-Pi,Pi},{-1,1},{0,5}},
DisplayFunction->Identity];
Show[g1,g2,DisplayFunction->$DisplayFunction,Boxed->Fal,
Axes->None]]
(3)螺旋线
rr=MovieParametricPlot[{sCos[2Pis+t],sSin[2Pis+t]},{s,0,
4},{t,0,2Pi},Frames->10,Axes->Fal,AspectRatio->Automatic,
PlotRange->{{-4,4},{-4,4}}];SpinShow[rr,Frames->10,
SpinRange->{0Degree,180Degree}]
(4)二分法
f[x_]=Sin[x]-x+1;aa=0.;bb=10.;eps=0.01;
g1=Plot[f[x],{x,aa,bb},DisplayFunction->Identity];
For[i=1,i<=10,i++,cc=(aa+bb)/2;
g4=Graphics[{RGBColor[1,0,1],PointSize[0.02],Point[{aa,0}]}];
g5=Graphics[{RGBColor[1,0,1],PointSize[0.02],Point[{bb,0}]}];
g2=Graphics[{RGBColor[1,0,0],PointSize[0.02],Point[{cc,0}]}];
g3=Graphics[{RGBColor[1,0,0],PointSize[0.02],Point[{cc,f[cc]}]}];
Show[g1,g2,g3,g4,g5,DisplayFunction->$DisplayFunction,
PlotRange->{{0,10},{f[0],f[10]}}];
If[f[cc]*f[aa]<0,bb=cc,aa=cc]]
(5)正态分布
mu=0;
normalf[x_]=Exp[-0.5((x-mu)/sigma)^2]/(Sqrt[2Pi]sigma);
For[k=0,k<=10,k++,sigma=1+0.2k;
24
Plot[normalf[x],{x,mu-3sigma,mu+3sigma},
PlotRange->{{-5,5},{0,0.4}}]]
综合实例
1、最速降线
一个在点O(0,0)静止的质点在重力作用下，该沿什么轨迹曲线C无摩擦地从
点O(0,0)滑到点B(1,1),才能使所花时间T最短？(见下图)
由于质点在下降时所增加的动能应等于所减少的势能，故质点在点A(x,y)处
的速度v满足.其中，m为质点的质量。从而，且利用微积
分的微元法可知T可由曲线积分求得：
理论上推断，曲线C为摆线时T的值最小[1]，假如我们对此结论不太确信，
则不妨对曲线C分别为摆线、直线、圆弧和抛物线的各种不同情况计算一下T
的值并加以比较。
（1）C为摆线。先让我们来考察当C为摆线时T的值。过点O与点B的摆
线参数方程为
其中，t=0与t=t0=2.412088分别对应点O与点B，
25
用Mathematica软件求解，输入
输出T=0.583203.
（2）C为直线。我们总觉得，空间两点用直线连接时其路程最短，从而质点
运动时间好象也应该是最短的。让我们来算一下此时的T值。过点O与点B的
直线方程为x=y(0≤y≤1)，
可见，的确是质点从点O到点B沿直线运动不如沿摆线运动快，T值增加了
9.55%，还不算小呢。
（3）C为圆弧。再让我们来考察当C为圆弧时T的值。此时过点O与点B
的圆弧方程为
其中，(a,b)为圆心坐标，r为半径且r≥1。因为圆心必在直线段OB的垂直平
分线上，故推得a+b=1,进而得
此时T是r的函数，显然r越大，C越接近直线。具体的曲线形状如何，可
以通过作图观察。在Mathematica软件中输入：
b=(1-Sqrt[-1+2r*r])/2;;Plot[
T,{r,1,3}];
可得下图,从图可见，T的最小值点在r=1.3附近。
26
再输入：FindMinimum[T,{r,1.3}]，
得输出：{0.58512,{r->1.33136}}
这说明当曲线C为半径r=1.33136的圆弧时，质点从点O到点B的下降时间
达到最小值0.58512，比C为直线时要快，但不如C为摆线时快。
（4）C为抛物线。再让我们来考察当C为抛物线时T的值。此时过点O与
点B的抛物线方程为x=ay2+(1-a)y，其中，参数a(0≤a≤1)影响抛物线的弯曲程
度。
此时T是a的函数，显然a=0时，C为直线。我们可以作图观察T与a的关
系。
在Mathematica软件中输入：;
Plot[T,{a,0,1}]
可得下图，可见T的最小值点在a=0.9附近。
再输入：FindMinimum[T,{a,0.9}]，
得输出：{0.583778,{a->0.913034}}
这说明当曲线C为a=0.913034的抛物线时，质点从点O到点B的下降时间T
达最小值0.583778，比C为圆弧时要快，但不如C为摆线时快。但也已经十分
接近，只是增加了0.1%.
27
以上从多个侧面验证了几种曲线都不如摆线的T值小，
这使我们更加确信理论推导的结论。
2、追逐线
一个追逐问题:如下图所示,正方形ABCD的四个顶点各有一人,分别是甲乙丙
丁。在某一时刻(设为t0=0),四人同时出发以匀速v走向顺时针方向的下一个人。
如果他们始终保持对准目标,则最终将按螺旋状曲线汇合于中心点O.请求出这
种情况下每个人的行进轨迹.
解建立平面直角坐标系,取时间间隔为Δt,采样并计算每个人在每一时刻t的
下一时刻t+Δt的位置(坐标)。设甲追逐乙,t时刻甲的坐标为(x1,y1),乙的坐标为
(x2,y2)。容易计算出甲在t+Δt的坐标为:
其中
问题的算法设计：
(1)赋初值：终止时间t,采样间隔Δt,行进速度v,及各点起始位置;
(2)确定循环次数n;
(3)对i=1,2,3,...,n循环计算:对j=13,3,4（对应四个人）循环计算:
当j+1=5时，改为1.
28
(4)分别将四人在各时刻对应的点连成折线，并画在同一图中即得四人的行
进轨迹.
t=10;dt=0.02;v=1;n=t/dt;robit={{{0,10}},{{10,10}},{{10,0}},{{0,
0}}};
For[i=1,i<=n,i++,
For[j=1,j<=4,j++,xx1=robit[[j,i,1]];yy1=robit[[j,i,2]];
If[j!=4,xx2=robit[[j+1,i,1]];yy2=robit[[j+1,i,2]],
xx2=robit[[1,i,1]];yy2=robit[[1,i,2]]];
dd=Sqrt[(xx2-xx1)^2+(yy2-yy1)^2]//N;
xx1=xx1+v*dt*(xx2-xx1)/dd;yy1=yy1+v*dt*(yy2-yy1)/dd;
robit[[j]]=Append[robit[[j]],{xx1,yy1}]]];
g1=ListPlot[robit[[1]],PlotJoined->True,DisplayFunction->Identity];
g2=ListPlot[robit[[2]],PlotJoined->True,DisplayFunction->Identity];
g3=ListPlot[robit[[3]],PlotJoined->True,DisplayFunction->Identity];
g4=ListPlot[robit[[4]],PlotJoined->True,DisplayFunction->Identity];
g5=ListPlot[{{0,10},{10,10},{10,0},{0,0}},PlotJoined->True,
DisplayFunction->Identity];
Show[{g1,g2,g3,g4,g5},DisplayFunction->$DisplayFunction]
3、验证歌德巴赫猜想
歌德巴克猜想：任何一个大于2的偶数都能分解为两个素数之和
BeginPackage["exp1`"]
Gedebahe::usage="Testtheguess"
Begin["`Private`"]
Gedebahe[n_]:=Module[{i,j},
If[EvenQ[n]&&n>=4,
For[i=1,!PrimeQ[n-Prime[i]],i++,];
j=n-Prime[i];
Print[StringForm["``=``+``",n,Prime[i],j]],
29
Message[Gedebahe::argerr]
]];
Gedebahe::argerr="argerror,argmustbeEvenandgreaterthan4"
End[]
EndPackage[]
本文发布于:2022-12-31 10:20:37，感谢您对本站的认可！
本文链接：http://www.wtabcd.cn/fanwen/fan/90/64845.html
版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系，我们将在24小时内删除。
| 留言与评论（共有 0 条评论） |
