弯曲刚度

第八章平面弯曲梁的强度与刚度计算

§8-1纯弯曲时横截面的正应力

一．纯弯曲试验：

纯弯曲：内力只有弯矩，而无剪力的弯曲变形。

剪切弯曲：既有弯矩，又有剪力的弯曲变形。

为了研究梁横截面上的正应力分布规律，取一矩形截面等

直梁，在表面画些平行于梁轴线的纵线和垂直干梁轴线的横

线。在梁的两端施加一对位于梁纵向对称面内的力偶，梁则发

生弯曲。梁发生弯曲变形后，我们可以观察到以下现象：

①横向线仍是直线且仍与梁的轴线正交，只是相互倾斜了一个

角度；

②纵向线（包括轴线）都变成了弧线；

③梁横截面的宽度发生了微小变形，在压缩区变宽了些，在拉

伸区则变窄了些。

根据上述现象，可对梁的变形提出如下假设：

①平面假设：梁弯曲变形时，其横截面仍保持平面，且绕某轴

转过了一个微小的角度。

②单向受力假设：设梁由无数纵向纤维组成，则这些纤维处于

单向受拉或单向受压状态。

可以看出，梁下部的纵向纤维受拉伸长，上部的纵向纤维

受压缩短，其间必有一层纤维既不伸长也木缩短，这层纤维称

为中性层。中性层和横截面的交线称为中性轴，即图中的Z

轴。梁的横截面绕Z轴转动一个微小角度。

二．梁横截面上的正应力分布：

图中梁的两个横截面之间距离为dx，变形后中性层纤维

长度仍为dx且dx=ρdθ。距中性层为y的某一纵向纤维的线

应变ε为：

对于一个确定的截面来说，其曲率半径ρ是个常数，因此

上式说明同一截面处任一点纵向纤维的线应变与该点到中性

层的距离成正比。

由单向受力假设，当正应力不超过材料的比例极限时，将

虎克定律代入上式，得：

由上式可知，横截面上任一点的弯曲正应力与该点到中性

轴的距离成正比，即正应力沿截面高度呈线性变化，在中性轴

处，y=0，所以正应力也为零。

三．梁的正应力计算：

在梁的横截面上任取一微面积dA，作用在这微面积上的

微内力为σdA，在整个横截面上有许多这样的微内力。微面

积上的微内力σdA对z轴之矩的总和，组成了截面上的弯矩

则

式中

称为横截面对中性轴的惯性矩，是截面图形的几何性质，仅与

截面形状和尺寸有关。

上式是梁纯弯曲时横截面上任一点的正应力计算公式。应

用时M及y均可用绝对值代入，至于所求点的正应力是拉应力

还是压应力，可根据梁的变形情况，由纤维的伸缩来确定，即

以中性轴为界，梁变形后靠凸的一侧受拉应力，靠凹的一侧受

压应力。也可根据弯矩的正负来判断，当弯矩为正时，中性轴

以下部分受拉应力，以上部分受压应力，弯矩为负时，则相反。

横截面上最大正应力发生在距中性轴最远的各点处。即

令

则

WZ称为抗弯截面模量，也是衡量截面抗弯强度的一个几何量，

其值与横截面的形状和尺寸有关。

弯曲正应力计算公式是梁在纯弯曲的情况下导出来的。对

于一般的梁来说，横截面上除弯矩外还有剪力存在，这样的弯

曲称为剪切弯曲。在剪切弯曲时，横截面将发生翘曲，平截面

假设不再成立。但较精确的分析证明，对于跨度l与截面高度

h之比l/h>5的梁，计算其正应力所得结果误差很小。在工程

上常用的梁，其跨高比远大于5，因此，计算式可足够精确地

推广应用于剪切弯曲的情况。

§8-2常用截面二次矩平行移轴公式

一、常用截面二次矩：

1、矩形截面：

2、圆形截面与圆环形截面：

①圆形截面：IZ＝Πd4/64

WZ＝Πd3/32

②圆环形截面：IZ＝Π（D4－d4）/64

WZ＝Πd3{1-(d/D)4}/32



A

Z

dAyI2



A

y

dAzI2

3、型钢的截面：查表，见附录。

二．组合截面二次矩平行移轴公式：

计算弯曲正应力时需要截面对中性轴的惯性矩，截面的中

性轴又是截面的形心主轴。在截面上任一点K，取邻域dA，K

点到z轴、y轴的距离分别为y、z，定义y2dA、z2dA为微元对

z轴、y轴的惯性矩，分别记作：

dIz=y2dAdIy=z2dA

上式对整个截面积分，得截面对z轴、y轴的惯性矩：

图所示的截面形心为C，面积为A，zc轴、yc轴通过截面

形心C，现有不通过形心的z轴、y轴分别与zc轴、yc轴平行，

两轴之间的距离分别为a、b，截面对z轴、zc轴以及对y轴、

yc轴的惯性矩有以下关系：

IZ=IZc+a2A

IY=IYc+b2A

上式称为惯性矩的平行移轴公式，即截面对任一轴z的惯

性矩等于该截面对过形心而平行于z轴的zc轴的惯性矩加上

两轴之间的距离的平方与截面面积的乘积

见教材P146例题8.1。

ZZ

I

yM

I

yM

1max

max

2max

max

,









§8-3弯曲正应力强度计算

为保证梁安全地工作，危险点处的正应力必须小于梁的弯

曲许用应力[σ]，这是梁的正应力强度条件。对于塑性材料，

其抗拉和抗压强度相同，宜选用中性轴为截面对称轴的梁，其

正应力强度条件为：

对于脆性材料，其抗拉和抗压强度不同，宜选用中性轴不

是截面对称轴梁，并分别对抗拉和抗压应力建立强度条件：

对于中性轴不是截面的对称梁，其最大拉应力值与最大压

应力值不相等。如图所示的T形截面梁，最大拉应力和最大压

应力分别为：

强度条件可解决三类强度计算问题：

①强度校核：验算梁的强度是否满足强度条件，判断梁在工

作时是否安全。



Z

W

M

max

max







max







max

②截面设计：根据梁的最大载荷和材料的许用应力，确定梁

截面的尺寸和形状，或选用合适的标准型钢。

③确定许用载荷：根据梁截面的形状和尺寸及许用应力，确

定梁可承受的最大弯矩，再由弯矩和载荷的关系确定梁的许用

载荷。

注：对于非对称截面，需按公式

分别计算三类问题。

【例】图示T形截面铸铁外伸梁，其许用拉应力[σ]＝30MPa，

许用压应力[σ]＝60MPa，截面尺寸如图。截面对形心轴z的

惯性矩Iz＝763mm4，且y1=52cm。试校核梁的强度。

解：

1、求支座反力：FA=2.5kNFB=10.5kN

画出弯矩图，最大正弯矩在C点，最大负弯矩在B点，即C

点为上压下拉，而B点为上拉下压。

2、求出B截面最大应力：

最大拉应力（上边缘）

最大压应（下边缘）

3、求出C截面最大应力：

最大拉应力（下边缘）

最大压应力（上边缘）

最大拉应力在C点且σCmax=28.83MPa<[σ]＋=30MPa

最大压应力在B点且σBmax=46.13MPa<[σ]－＝60MPa

故梁强度足够。

见教材P147例题8.2/8.3/8.4。

师生小结：

1、纯弯曲的定义及应用；

2、梁的弯曲强度计算；

3、应用。

§8-5梁的弯曲变形概述

梁在外载荷作用下将产生变形，梁不但要满足强度条件，

还要满足刚度条件，即要求梁在工作时的变形不能超过一定的

范围，否则就会影响梁的正常工作。

一、挠曲线方程：

悬臂梁在纵向对称面内的外力P的作用下将发生平面弯

曲，变形后梁的轴线将变为一条光滑的平面曲线，称为梁的挠

曲轴线，也称弹性曲线、挠曲线。

y=f(X)→梁的绕曲线方程。

二、挠度和转角：

梁上任一截面C，变形后其形心在C/处，C截面的形心产

生线位移CC/。CC/既有水平分量，也有垂直分量，而水平分量

很小，只讨论垂直分量C/C//。截面形心位移的垂直分量称该截

面的挠度，用y表示。

C截面不但产生线位移，还产生了角位移，横截面绕中性

轴转动产生了角位移，此角位移称转角，用θ表示。

挠度和转角的正负号作如下规定：

挠度与y轴正方向同向为正，反之为负；截面转角以逆时

针方向转动为正，反之为负。

只要知道梁的挠曲轴线方程y=f(x)，就可求出挠度和转

角。





EI

xM

x





1

2

3

2

/

//

1

1

y

y

x











EI

xM

y

y



2

3

2/

//

1



EI

xM

y//



EI

xM

y//

§8-6用叠加法求梁的变形

一、挠曲轴线近似微分方程：

梁任一截面的曲率：…………(1)

曲线y=f(x)的曲率：…………(2)

代入（1）式得：…………(3)

式（3）称梁的挠曲轴线微分方程。由于y/很小，y/2更小，

可忽略。

方程的正负号与弯矩M的正负号的规定以及挠度的正方向

规定有关，规定挠度向上为正。弯矩M与曲线的二阶导数y//

的正负号关系为：

1）梁的挠曲轴线是一下凸曲线，梁的下侧纤维受拉，弯矩M>0，

曲线的二阶导数y//>0；

2）梁的挠曲轴线是一上凸曲线，梁的上侧纤维受拉，弯矩M<0，

曲线的二阶导数y//<0。

由此可知，这两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号，

上式应取正号，即：

注：书本P153表8.1给出了梁在简单载荷下的挠曲线方程，

端截面转角和最大挠度。

二、用叠加法求梁的变形：

小变形时梁弯曲挠度的二阶导数与弯矩成正比，而弯矩是

载荷的线性函数，所以梁的挠度与转角是载荷的线性函数，可

以使用叠加法计算梁的转角和挠度，即梁在几个载荷同时作用

下产生的挠度和转角等于各个载荷单独作用下梁的挠度和转

角的叠加和，这就是计算梁弯曲变形的叠加原理。

举例：

外伸梁在外伸段作用有均布载荷q，梁的抗弯刚度为EI，

求C截面的挠度。

解：把外伸梁段上的均布载荷向B截面简化，得集中力qa，

力偶qa2/2，将使B截面产生转角θB，BC段的实际变形等于固

定端产生转角θB的悬臂梁。C截面的挠度由以下两部分构成：

悬臂梁由于B截面产生转角引起的挠度yC1和悬臂梁在载荷下

产生的挠度yC2。

首先计算B截面转角θB：

EI

qa

EI

aqa

B23

3

2

1

3

2







EI

qa

ay

BC2

4

1



EI

qa

y

C8

4

2



EI

qa

EI

qa

EI

qa

yyy

CCC8

5

82

444

21



m

EI

Pl

y2

89

333

1024.1

18

86.81020

48













三、梁的刚度条件：

梁除了要满足强度条件外，还要满足刚度条件，即工作中

的梁的挠度和转角不能太大。

设梁的最大挠度和最大转角分别为ymax和θmax，而[y]和

[θ]分别为挠度和转角的许用值，则梁的刚度条件为：

ymax≤[y]

θmax≤[θ]

举例：

简支梁选用32a工字钢，P=20KN，l=8.86m，E=210Gpa，

梁的许用挠度[f]=l/500，试校核梁的刚度。

解：查表得：IZ=11100cm4。

查表得梁的跨中挠度为：

，

；

21077.1

500

86.8

500

1

lf

因为y<[f]，所以梁满足刚度条件。

见教材P155例题8.6。

§8-7提高梁的强度和刚度的措施

1、合理安排梁的支承：

均布载荷作用在简支梁上时，最大弯矩与跨度的平方成正

比，如能减少梁的跨度，将会降低梁的最大弯矩。

举例：

2、合理地布置载荷：（P158图8.20）

使梁上载荷分散布置，可以降低最大弯矩。

举例：

h

bh

bh

A

W

Z167.0

6

2



h

h

h

A

W

Z125.0

4

1

32

2

3







h

A

W

Z31.0~27.0

3、选择梁的合理截面：

①根据抗弯截面系数与截面面积比值Wz/A选择截面：

抗弯截面系数越大，梁能承受载荷越大；横截面积越小，

梁使用的材料越少。同时考虑梁的安全性与经济性，可知Wz/A

值越大，梁截面越合理。以下比较具有同样高度h的矩形、圆

形和工字形（槽形）截面的Wz/A值：

高为h、宽为b的矩形截面：

直径为h的圆形截面：

。

高为h的工字形与槽形截面：

。

可见这三种截面的合理顺序是：1）工字形与槽形截面；2）

矩形截面；3）圆形截面。截面形状的合理性，可以从梁截面

弯曲正应力的分布规律说明，梁截面的弯曲正应力沿截面高度

呈线性变化，截面边缘处的正应力最大，中性轴处的正应力值

为零，中性轴附近的材料没有得到充分的应用，如果减少中性

轴附近的材料，而把材料布置到距中性轴较远处，截面形状则

较为合理，所以，工程上常采用工字形、圆环形、箱形等截面

形式。























2

1

max

max

y

y

②根据材料的拉压性能选择截面：

对于塑性材料，其抗拉强度和抗压强度相等，宜采用中性

轴为截面对称轴的截面，使最大拉应力与最大压应力相等。如

矩形、工字形、圆环形、圆形等截面形式。对于脆性材料，其

抗压强度大于抗拉强度，宜采用中性轴不是对称轴的截面，如

T形截面，使中性轴靠近受拉端，使得：