分式方程的解法

分式方程的概念，解法

知识要点梳理

要点一：分式方程的定义

分母里含有未知数的方程叫分式方程。

要点诠释：

1．分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量。

2．分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知

数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于的方程和

都是分式方程，而关于的方程和都是整式方程。

要点二：分式方程的解法

1.解分式方程的其本思想

把分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程两边同乘最简公分母，将分式方程转化

为整式方程，然后利用整式方程的解法求解。

2．解分式方程的一般方法和步骤

(1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程。

(2)解这个整式方程。

(3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公

分母等于零的根是原方程的增根。

注：分式方程必须验根；增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方

程的分母为零。

3.增根的产生的原因：

对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的

值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制

取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许

值之外的值，那么就会出现增根。

规律方法指导

1．一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程有可能使原方程中分母为0，因此应如下检验：将

整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解，否则，

这个解不是原分式方程的解．

经典例题透析：

类型一：分式方程的定义

1、下列各式中，是分式方程的是（）

A．B．C．D．

举一反三：

【变式】方程中，x为未知量，a,b为已知数，且，则这个方程是（）

A．分式方程B．一元一次方程C．二元一次方程D．三元一次方程

类型二：分式方程解的概念

2、请选择一组的值，写出一个关于的形如的分式方程，使它的解是x＝0这样

的分式方程可以是______________.

举一反三：

【变式】在中，哪个是分式方程的解，为什么？

类型三：分式方程的解法

3、解方程

举一反三：

【变式】解方程：(1)＝;(2)＋＝2.

类型四：增根的应用

4、当m为何值时，方程会产生增根()

A.2B.－1C.3D.－3

举一反三：

【变式】.若方程＝无解，则m＝。

学习成果测评

基础达标

选择题（请将唯一正确答案的代号填入题后的括号内）

1．要把分式方程化成整式方程，方程两边需要同时乘以（）．

A．2x-4B．xC．2(x-2)D．2x(x-2)

2．方程的解是（）．

A．1B．-1C．±1D．0

3．把分式方程的两边同时乘以（x-2），约去分母得（）．

A．1-（1-x）=1B．1+(1-x)=1

C．1-（1-x）=x-2D．1+(1-x)=x-2

填空题

4．已知若（a、b都是整数），则a+b的值是______．

5．已知，则______________．

6．已知，则分式的值为______________．

解答题

7．解方程

（1）；（2）．

8．观察图示的图形（每个正方形的边长均为1）和相应的等式，探究其中的规律：

（1）写出第五个等式，并在右边给出的五个正方形上画出与之对应的图示．

（2）猜想并写出与第n个图形相对应的等式．

综合探究

解答题

9．先阅读下列一段文字，然后解答问题．

已知：

方程的解是x

1

=2，x

2

=；

方程的解是x

1

=3，x

2

=；

方程的解是x

1

=4，x

2

=；

方程的解是x

1

=5，x

2

=．

问题：观察上述方程及其解，再猜想出方程的解，并写出检验．

10．阅读理解题：

阅读下列材料，关于x的方程：

的解是x

1

=c，x

2

=；

的解是x

1

=c，x

2

=；

的解是x

1

=c，x

2

=；……．

（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程（m≠0）与它们的关系，•猜想

它的解是什么，并利用“方程的解”的概念进行验证．

（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：•如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数，

方程右边的形式与左边完全相同，只把其中未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用

这个结论解关于x的方程：．

答案与解析：

选择题

1.D（提示：关键是要将分式方程化成整式方程，所以选项A、B、C均不能达到目的．）

2.D（提示：本题不用考虑选项A、B、C，因为x=1或者-1时，原方程没有意义．只需要将x=0带

入原方程检验即可．）

3.D（提示：本题有两个地方需要注意：（1）去分母时第二个分式的分子要带括号，这样可以避免符

号出错；（2）方程的右边也要乘以（x-2）.）

填空题

4.19（提示：本题的关键是找出通项，，即可求出a、b的值．）

5.（提示：先将两边平方，可得x2+=14,然后将所求代数式取倒数，求得

=15，最后再取倒数即可．）

6.（提示：由得出x-y=-3xy,带入所求分式的分子和分母即可．）

解答题

7.(1)3（提示：按解方程的步骤，注意不要跳步．）

(2)无解（提示：本题要注意解方程后一定要检验．）

8.(1)；图示略．

(2)（提示：找到通项是本题关键，建议大家先关注第（2）问．）

综合探究

解答题

9．x

1

=11，x

2

=-；代入检验即可．

10．（1）x

1

=c，；代入检验．（2）．