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2012年考研数学三真题
一、选择题〔18小题,每小题4分,共32分。下列每题给出的四个
选项中,只有一个选项是符合题目要求的。
(1)曲线渐近线的条数为
[答案]C。
[解析]
由,
得是曲线的一条水平渐近线且曲线没有斜渐近线；
由得是曲线的一条垂直渐近线；
由得不是曲线的渐近线；
综上所述,本题正确答案是C
[考点]高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸、拐点及渐
近线
(2)设函数,其中为正整数,则
[答案]A
.
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[解析]
[方法1]
令,则
故应选A.
[方法2]
由于,由导数定义知
.
[方法3]
排除法,令,则
则
[考点]高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念
.
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(3)设函数连续,则二次积分
[答案]B。
[解析]
令,则所对应的直角坐标方程为
,所对应的直角坐标方程为
。
由的积分区域
得在直角坐标下的表示为
所以
综上所述,本题正确答案是。
[考点]高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性
质和计算
.
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(4)已知级数绝对收敛,级数条件
收敛,则
[答案]D。
[解析]
由级数绝对收敛,且当时
,故,即
由级数条件收敛,知
综上所述,本题正确答案是
[考点]高等数学—无穷级数—数项级数敛散性的判定
(5)设,其中
为任意常数,则下列向量组线性相关的为
[答案]C。
[解析]
.
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个维向量相关
显然
所以必线性相关
综上所述,本题正确答案是
[考点]线性代数—向量—向量组的线性相关和线性无关
(6)设为3阶矩阵,为3阶可逆矩阵,且.若
,则
[答案]B。
[解析]由于经列变换<把第2列加至第1列>为,有
那么
综上所述,本题正确答案是。
[考点]线性代数—矩阵—矩阵运算、初等变换
(7)设随机变量相互独立,且都服从区间上的均匀分布,则
.
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[答案]D。
[解析]
而
即是在正方形上等于常数1,其余地方均
为0,
实际上就是单位圆1在第一象限
的面积。
综上所述,本题正确答案是D。
[考点]概率论与数理统计—多维随机变量的分布—二维随机变量
分布
(8)设为来自总体的简单随机样本,则统
计量的分布为
[答案]B。
[解析]
.
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1，,故；
2，,故
,,
3，与相互独立。与也相
互独立,
所以
综上所述,本题正确答案是B。
[考点]概率论与数理统计—数理统计的概念
二、填空题〔914小题,每小题4分,共24分。
(9)。
[答案]。
[解析]这是一个‘’型极限,由于
.
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所以
[考点]高等数学—函数、极限、连续—两个重要极限
(10)设函数,则。
[答案]
[解析]
可看做,与的复合,当时
由复合函数求导法则知
[考点]高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念
(11)设连续函数满足,则
。
[答案]
[解析]
由,且连续,可得,且
,
.
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由可微的定义得,即
[考点]高等数学—多元函数的微分学—多元函数偏导数的概念与
计算
(12)由曲线和直线及在第一象限中围成的平面图形
的面积为。
[答案]
[解析]
曲线和直线及在第一象限中围成的平面域如下
图,则所围面积为
[考点]高等数学—一元函数积分学—定积分的应用
(13)设为3阶矩阵,为的伴随矩阵。若交换的第1
行与第2行得到矩阵,则。
[答案]-27
[解析]
[方法1]
两行互换两列互换变成,所以,再由行列式乘法公式
及,则
[方法2]根据题意
O12
.
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,即
那么
从而
[考点]线性代数—行列式—行列式的概念和基本性质
线性代数—矩阵—伴随矩阵,矩阵的初等变换
(14)设是随机事件,互不相容,则
。
[答案]
[解析]
互不相容,自然有,当然更有,所以
[考点]概率论与数理统计—随机事件和概率—事件的关系与运算,
概率的基本公式,事件的独立性
三、解答题：小题,共94分。解答应写出文字说明、证明过程
或演算步骤。
(15)求极限
[解析]
[方法1]
.
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<等价无穷小代换>
<洛必达法则>
[方法2]
<等价无穷小代换>
<泰勒公式>
[方法3]
<拉格朗日中值定理>
<洛必达法则>
<>
.
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[考点]高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小
量的比较,极限的四则运算
高等数学—一元函数微分学—微分中值定理,洛必达
(16)计算二重积分其中是以曲线及轴
为边界的无界区域。
[解析]
[考点]高等数学—一元函数积分学—不定积分和定积分的换元积
分法与分部积分法
高等数学—多元函数微积分学—二重积分的概念、基本性质和计
算
(17)某企业为生产甲、乙两种型号的产品投入的固定成本为10000〔万
元。设该企业生产甲、乙两种产品的产量分别是<件>和〔件,
且这两种产品的边际成本分别为<万元/件>与<万元/
件>.
.
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(I)求生产甲、乙两种产品的总成本函数<万元>；
(II)当总产量为50件时,甲、乙两种产品的产量各为多少时可使
总成本最小？求最小成本；
(III)求总产量为50件且总成本最小时甲产品的边际成本,并解释
经济意义。
[解析]
(I)总成本函数〔万元
(II)由题意知,求在时的最小值,构造拉格朗日函
数
解方程组得.
因可能极值点唯一,且实际问题存在最小值,故总产量为50件时,甲
乙两种产品的产量分别是24,26时可使总成本最小,且此时投入总
费用
<万元>
(III)甲产品的边际成本函数：,于是,当总产量为
50件且总成本最小时甲产品的边际成本
.
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其经济意义为：当甲乙两种产品的产量分别是24,26时,若甲的产
量每增加一件,则总成本增加32万元。
(18)证明：
[解析]
[方法1]
记,则
当时,由于,所以,
从而单调增加。
又因为,所以,当时,;当
时,,于是是函数在内的最小值。
从而当时,
即
[方法2]
记,
显然,是偶函数,因此只要证明
.
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由于
从而有,
有
则当时,
即
[考点]高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念,导数和微
分的四则运算,函数单调性的判别,函数的极值
(19)已知函数满足方程及
(I)求的表达式；
(II)求曲线的拐点。
[解析]
(I)联立
得,因此
代入,得,所以
(II)
.
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当时,;当时,,又,所以曲线的拐点为
[考点]高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念,导数和微
分的四则运算,函数单调性的判别,函数图形的凹凸性、拐点及渐近
线
(20)设,.
(I)计算行列式；
(II)当实数为何值时,方程组有无穷多解,并求其通解。
[解析]
(I)按第一列展开
,
(II)当时,方程组有无穷多解,由上可知或
如果
方程组无解,舍去
当时,
.
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,方程组有无穷多解,取为自由变量,得方程组通
解为
为任意常数
[考点]线性代数—线性方程组—线性方程组有解和无解的判定,非
齐次线性方程组的通解
(21)已知,二次型的秩为2
(I)求实数的值；
(II)求正交变换将化为标准形。
[解析]
(I)因为,对做初等行变换
,
所以,当时,
(II)由于,所以,矩阵的特征多项式
.
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为
,
于是的特征值为
当时,由方程组,可得到属于的一个
单位特征向量；
当时,由方程组,可得到属于的一个
单位特征向量；
当时,由方程组,可得到属于的一个
单位特征向量。
令,
则在正交变换下的标准形为
[考点]线性代数—矩阵—矩阵的特征值和特征向量的概念、性质
线性代数—二次型—二次型的标准形和规范形,用正交变换和配
方法化二次型为标准形
(22)设二维离散型随机变量的概率分布为
012
.
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0
100
2
(I)求；
(II)求.
[解析]
(I)
(II)由的概率分布可得
所以
.
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所以
[考点]概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数
学期望<均值>、方差、标准差及其性质
(23)设随机变量相互独立,且都服从参数为1的指数分布,记
.
(I)求的概率密度；
(II)求.
[解析]
当时,,
[考点]概率论与数理统计—随机变量及其分布—常见随机变量的
分布,连续型随机变量的概率密度,随机变量函数的分布
概率论与数理统计—随机变量的数字特征—随机变量的数学期望
<均值>、方差、标准差及其性质
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