概率论与数理统计试卷

概率论与数理统计试卷及解答

姓名:班级:学号:得分:

一．判断题〔10分，每题2分〕

1.在古典概型的随机试验中，

0)(AP

当且仅当A是不可能事件()

2．连续型随机变量的密度函数

)(xf

与其分布函数

)(xF

相互唯一确定()

3．假设随机变量X与Y独立，且都服从

1.0p

的(0，1)分布，那么YX()

4．设X为离散型随机变量,且存在正数k使得0)(kXP，那么X的数学期

望

)(XE

未必存在()

5．在一个确定的假设检验中，当样本容量确定时,犯第一类错误的概率与犯第

二类错误的概率不能同时减少()

二．选择题〔15分，每题3分〕

1.设每次试验成功的概率为

)10(pp

，重复进行试验直到第n次才取

得)1(nrr次成功的概率为.

(a)rnrr

n

ppC



)1(1

1

；(b)rnrr

n

ppC)1(；

(c)111

1

)1(



rnrr

n

ppC；(d)rnrpp)1(.

2.离散型随机变量X的分布函数为

)(xF

，那么)(

k

xXP.

(ａ))(

1kk

xXxP



；(ｂ))()(

11



kk

xFxF；

(ｃ))(

11



kk

xXxP；(ｄ))()(

1



kk

xFxF.

3.设随机变量X服从指数分布，那么随机变量)2003,(maxXY的分布函

数.

(ａ)是连续函数；(ｂ)恰好有一个间断点；

(ｃ)是阶梯函数；(ｄ)至少有两个间断点.

4.设随机变量

),(YX

的方差

,1)(,4)(YDXD

相关系数,6.0

XY

那么

方差

)23(YXD

.

(ａ)40；(ｂ)34；(ｃ)25.6；(ｄ)17.6

5.设),,,(

21n

XXX为总体)2,1(2N的一个样本，

X

为样本均值，那么以下

结论中正确的选项是.

(ａ))(~

/2

1

nt

n

X

；(ｂ))1,(~)1(

4

1

1

2nFX

n

i

i



；

(ｃ))1,0(~

/2

1

N

n

X

；(ｄ))(~)1(

4

1

2

1

2nX

n

i

i





.

二.填空题〔28分，每题4分〕

1.一批电子元件共有100个,次品率为0.05.连续两次不放回地从中任取

一个,那么第二次才取到正品的概率为

2.设连续随机变量的密度函数为

)(xf

，那么随机变量XeY3的概率密度函数

为)(yf

Y

3.设X为总体)4,3(~NX中抽取的样本(

4321

,,,XXXX)的均值,那么

)51(XP＝.

4.设二维随机变量),(YX的联合密度函数为











他其,0

;10,,1

),(

xxy

yxf

那么条件密度函数为,当时,)(xyf

XY

5.设)(~mtX,那么随机变量2XY服从的分布为(需写出自由

度)

6.设某种保险丝熔化时间),(~2NX〔单位：秒〕，取16n的样本，得

样本均值和方差分别为36.0,152SX，那么的置信度为95%的单侧

置信区间上限为

7.设X的分布律为

X123

P2)1(22)1(

一个样本值)1,2,1(),,(

321

xxx，那么参数的极大似然估计值

为

三.计算题〔40分，每题8分〕

1.一批产品中96%是合格品.检查产品时，一合格品被误认为是次品的

概率是0.02；一次品被误认为是合格品的概率是0.05．求在被检查后认

为是合格品的产品确实是合格品的概率

2．设随机变量X与Y相互独立，X，Y分别服从参数为

)(,

的指数

分布，试求

YXZ23

的密度函数)(zf

Z

.

3．某商店出售某种贵重商品.根据经验，该商品每周销售量服从参数为

1

的泊松分布.假定各周的销售量是相互独立的.用中心极限定理计算该

商店一年内〔52周〕售出该商品件数在50件到70件之间的概率.

4.总体),(~2NX，),,,(

21n

XXX为总体X的一个样本.

求常数k,使





n

i

i

XXk

1

为的无偏估计量.

5．〔1〕根据长期的经验，某工厂生产的特种金属丝的折断力),(~2NX

〔单位：kg〕.8kg，现从该厂生产的一大批特种金属丝中

随机抽取10个样品，测得样本均值

2.575x

kg.问这批特种金属丝的

平均折断力可否认为是570kg？〔%5〕

〔2〕维尼纶纤度在正常条件下服从正态分布)048.0,(2N.某日抽取

5个样品，测得其纤度为:1.31，1.55，1.34，1.40，1.45.

问这天的纤度的总体方差是否正常？试用%10作假设检验.

四.证明题〔7分〕

设随机变量

ZYX,,

相互独立且服从同一贝努利分布

),1(pB

.试证明随机

变量YX与Z相互独立.

附表：标准正态分布数值表2

分布数值表t分布数值表

6103.0)28.0(488.9)4(2

05.0

1315.2)15(

025.0

t

975.0)96.1(711.0)4(2

95.0

7531.1)15(

05.0

t

9772.0)0.2(071.11)5(2

05.0

1199.2)16(

025.0

t

9938.0)5.2(145.1)5(2

95.0

7459.1)16(

05.0

t

概率统计试卷参考答案

一.判断题〔10分，每题2分〕是非非非是.

二.选择题〔15分，每题3分〕〔ａ〕〔ｄ〕〔ｂ〕〔ｃ〕〔ｄ〕.

三.填空题〔28分，每题4分〕

1.1/22；2.













00

0)])3/[ln(

)(

1

y

yyf

yfy

Y

；3.0.9772；

4.当10x时











他其0

)2/(1

)(

xyxx

xyf

XY

；

5.),1(mF6.上限为15.263.7.5/6.

四.计算题〔40分，每题8分〕

1.A被查后认为是合格品的事件，B抽查的产品为合格品的事件.(2分)

9428.005.004.098.096.0)()()()()(BAPBPBAPBPAP，(4分)

.998.09428.0/9408.0)(/)()()(APBAPBPABP(2分)

2.













其他0

0

)(

xe

xf

x

X















其他0

0

)(

ye

yf

y

Y



(1分)

0z时，0)(zF

Z

，从而0)(zf

Z

；(1分)

0z时，



dxxzfxfzf

YXZ

]2/)3[()()(

2

1(2分)

)(

23

2/3/

3/

0

]2/)[(

2

1

zz

z

xzxeedxe









(2分)

所以





















0,0

0),(

23

)(

2/3/

z

zee

zf

zz

Z







[





















0,0

0),(

32

)(

3/2/

z

zee

zf

zz

Z







](2分)

3.设

i

X为第i周的销售量,52,,2,1i

i

X

)1(~P(1分)

那么一年的销售量为





52

1i

i

XY，52)(YE,52)(YD.(2分)

由独立同分布的中心极限定理，所求概率为

1

52

2

52

18

52

18

52

52

52

2

)7050(































































Y

PYP

(4分)

6041.016103.09938.01)28.0()50.2(

.(1分)

4.注意到



nii

XXnXX

n

XX)1(

1

21

)2(

1

)(,0)(2分

n

n

XXDXXE

ii





)1(

1

,0~2分

















n

n

NXX

i

dze

n

n

zXXEn

n

z

i

2

2

1

2

1

2

1

|||)(|

















dze

n

n

zn

n

z

2

2

1

2

01

2

1

2















)3(

1

2

2

分

n

n

































n

i

i

n

i

i

XXEkXXkE

11

||||



n

n

kn

1

2

2



令



5.(1)要检验的假设为570:,570:

10

HH(1分)

检验用的统计量

)1,0(~

/

0N

n

X

U





，

拒绝域为96.1)1(

025.0

2

znzU



.(2分)

96.106.21065.0

10/8

5702.575

0





U，落在拒绝域内，

故拒绝原假设

0

H，即不能认为平均折断力为570kg.

[96.1632.0102.0

10/9

2.569571

0





U,落在拒绝域外，

故接受原假设

0

H，即可以认为平均折断力为571kg.](1分)

(2)要检验的假设为22

1

22

0

048.0:,048.0:HH(1分)

[22

1

22

0

79.0:,79.0:HH]

检验用的统计量)1(~

)(

2

2

0

2

5

1

2







n

XX

i

i





，

拒绝域为

488.9)4()1(2

05.0

22



n或

711.0)4()1(2

95.0

2

1

2

2







n(2分)

41.1x[49.1x]

488.9739.150023.0/0362.02

0

,落在拒绝域内，

[711.0086.06241.0/0538.02

0

,落在拒绝域内，]

故拒绝原假设

0

H，即认为该天的纤度的总体方差不正常.(1分)

五、证明题(7分)由题设知

X

01

YX012

P

pq

P2q

pq22p(2分)

)0()0()0,0(3ZPYXPqZYXP；

）分（2

)1(2



nn

k



)1()0()1,0(2ZPYXPpqZYXP；

)0()1(2)0,1(2ZPYXPpqZYXP；

)1()1(2)1,1(2ZPYXPpqZYXP；

)0()2()0,2(2ZPYXPpqZYXP；

)1()2()1,2(3ZPYXPpZYXP.

所以YX与Z相互独立.(5分)