解方程公式

知识点一、解一元一次方程的一般步骤

变形名称具体做法注意事项

去分母

在方程两边都乘以各分母的最小公倍

数

（1）不要漏乘不含分母的项

(2)分子是一个整体的，去分母后应加

上括号

去括号

先去小括号，再去中括号，最后去大括

号

(1）不要漏乘括号里的项

(2）不要弄错符号

移项

把含有未知数的项都移到方程的一边，

其他项都移到方程的另一边（记住移项

要变号）

（1）移项要变号

（2)不要丢项

合并同类

项

把方程化成ax＝b（a≠0)的形式字母及其指数不变

系数化成

1

在方程两边都除以未知数的系数a，得

到方程的解

b

x

a

．

不要把分子、分母写颠倒

要点诠释：

（1）解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，而且也不一定要按照自上而下的顺序，有

些步骤可以合并简化．

(2)去括号一般按由内向外的顺序进行，也可以根据方程的特点按由外向内的顺序进行。

（3)当方程中含有小数或分数形式的分母时，一般先利用分数的性质将分母变为整数后再去

分母,注意去分母的依据是等式的性质，而分母化整的依据是分数的性质,两者不要混淆．

要点二、二元一次方程组的解法

1.解二元一次方程组的思想

2.解二元一次方程组的基本方法：代入消元法、加减消元法和图像法

（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：

①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形,用含有

x

(或y）的代数式表示

y（或

x

)，即变成baxy（或bayx)的形式；

②将baxy（或bayx）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y

(或

x

），得到一个关于

x

（或y）的一元一次方程；

③解这个一元一次方程，求出

x

(或y）的值;

④把

x

(或y）的值代入baxy(或bayx）中，求y（或

x

）的值；

⑤用“”联立两个未知数的值,就是方程组的解.

(2)用加减消元法解二元一次方程组的一般过程:

①根据“等式的两边都乘以(或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将

原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式;

②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式,所得的方程与原方程是同解方程”的性质，

将变形后的两个方程相加(或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；

转化

消元

一元一次方程

二元一次方程组

③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；

④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；

⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可.

一．概念

1

．一元二次方程的概念

:

只含有一个未知数

(

一元

),

并且未知数的最高次数是

2(2

次）的整式方程，叫做

一元二次方程．

2

．一元二次方程的一般形式：

一般地，任何一个关于

x

的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一

元二次方程的一般形式．其中是二次项，

a

是二次项系数

;bx

是一次项，

b

是一次项系数；

c

是常

数项．

3

．直接开方法解一元二次方程：

(1

）算理：平方根的意义；即时，

若，则；表示为

,

，有两个不等实数根．

若

,

则

x=O

；表示为

,

有两个相等的实数根．

若，则方程无实数根．

(2

）注意：一般先把系数化为

1

再开方

;

要正确写出根的形式．

4

．

(1)

用配方法解二次项系数是

1

的方程：通过配方

,

把方程的一边化为一个完全平方式，另一边是一

个非负实数，即的形式，然后用直接开方法求根．

(2

）用配方法解二次项系数不是

1

的方程：先将二次项系数化为

1

，再用配方法求根．

5

．一元二次方程求根公式：对于一元二次方程，

当时，

,

这个式子叫做一元二次方程的求根公式．

注意

:

△≥

0

是公式使用的前提条件

,

是公式的重要组成部分．

公式法是解一元二次方程的一般方法

;

由公式法可知，一元二次方程最多有两个实数根．

6

．归纳一元二次方程根的情况：对于一元二次方程，其中，△

=

称

为一元二次方程根的判别式．

（

1

）当△

=

时，原方程有两个不等的实数根，；

（

2)

当△

=

时，原方程有两个相等的实数根；

(3

）当△

=

时，原方程没有实数根。

7

．因式分解法算理：或（

A

、

B

至少一个为

0)

先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于

0

的形式

,

再使两个一次式分别等于

0,

从而实现降次；

这种解法叫做因式分解。所有学过的因式分解方法：提公因式法、公式法、十字相乘法

.

注意：

(

不确定

A

、

B

的值）

.

8

．一元二次方程有多种解法，要根据形式择优选择解法。但所有解法都是通过“降次

"

实现求根的：

开方降次和分解降次。

1.

二次函数基本形式

:2yax

的性质

:

a的绝对值越大，抛物线的开口越小。

2.2yaxc

的性质:上加下减.

3。2yaxh的性质：左加右减。

4。2yaxhk的性质：

a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

0a

向上00，y轴

0x

时，y随x的增大而增大;

0x

时,y随

x的增大而减小；

0x

时,y有最小值

0

．

0a

向下00，

y轴

0x

时，y随x的增大而减小；

0x

时,y随

x的增大而增大;

0x

时,y有最大值

0

．

a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

0a

向上0c，

y轴

0x

时，y随x的增大而增大；

0x

时，y随

x的增大而减小;

0x

时,y有最小值c．

0a

向下0c，y轴

0x

时，y随x的增大而减小；

0x

时，y随

x的增大而增大；

0x

时，y有最大值c．

a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

0a

向上0h，

X=h

xh

时，y随x的增大而增大;

xh

时，y随

x的增大而减小；

xh

时，y有最小值

0

．

0a

向下0h，

X=h

xh

时,y随x的增大而减小；

xh

时,y随

x的增大而增大；

xh

时,y有最大值

0

．

a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

0a

向上hk，

X=h

xh

时，y随x的增大而增大;

xh

时，y随

x的增大而减小;

xh

时，y有最小值

k

．

0a

向下hk，

X=h

xh

时，y随x的增大而减小；

xh

时,y随

x的增大而增大；

xh

时，y有最大值

k

．

二次函数2yaxbxc图象的画法

五点绘图法:利用配方法将二次函数2yaxbxc

化为顶点式2()yaxhk,确定

其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选

取的五点为：顶点、与y轴的交点0c，

、以及0c，

关于对称轴对称的点2hc，

、

与x轴的交点

1

0x，

，

2

0x，

（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

1。二次项系数a

二次函数2yaxbxc

中，a作为二次项系数,显然

0a

．

⑴当

0a

时，抛物线开口向上，a的值越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；

⑵当

0a

时，抛物线开口向下，a的值越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来,a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，

a

的大小决定开口

的大小．

2。一次项系数

b

在二次项系数a确定的前提下，

b

决定了抛物线的对称轴．

⑴在

0a

的前提下，

当

0b

时，

0

2

b

a



，即抛物线的对称轴在y轴左侧；

当

0b

时,

0

2

b

a



，即抛物线的对称轴就是y轴；

当

0b

时，

0

2

b

a



，即抛物线对称轴在y轴的右侧．

⑵在

0a

的前提下，结论刚好与上述相反,即

当

0b

时，

0

2

b

a



，即抛物线的对称轴在y轴右侧；

当

0b

时,

0

2

b

a



，即抛物线的对称轴就是y轴；

当

0b

时，

0

2

b

a



，即抛物线对称轴在y轴的左侧．

总结起来，在a确定的前提下，

b

决定了抛物线对称轴的位置．

ab的符号的判定:对称轴

a

b

x

2

在y轴左边则0ab，在y轴的右侧则0ab，

概括的说就是“左同右异”

总结:

3。常数项c

⑴当

0c

时，抛物线与y轴的交点在x轴上方,即抛物线与y轴交点的纵坐标为正;

⑵当

0c

时，抛物线与y轴的交点为坐标原点,即抛物线与y轴交点的纵坐标为

0

；

⑶当

0c

时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．

总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

总之，只要

abc，，

都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

二次函数图像参考：

y=-2x2

y=-x2

y=-

x2

2

y=2(x-4)2-3

y=2(x-4)2y=2x2

y=

x2

2

y=2x2

y=x2

y=-2x2

y=-x2

y=-

x2

2

y=2x2-4

y=2x2+2

y=2x2

y=3(x+4)2

y=3(x-2)2

y=3x2

y=-2(x+3)2

y=-2(x-3)2

y=-2x2