济南大学研究生

.

'.

一、（30分）（1）设数域，若

1212

(),(),(),()[]fxfxgxgxx，且().()1(,1,2)

ij

fxgxij，证明



1

(()(),()())=(),()(),()()(),()()fxgxfxgxfxfxgxgxfxgxfxgx

（2）设

32

()638fxxxpx，试确定p的值使()fx有重根，并求其根.

（3）设432()22fxxaxxbx.若()fx被2(1)x整除，求,ab.

二、（10分）计算行列式

n

xaaa

axaa

D

aaxa

aaax









.

三、（10分）ba,取什么值时,线性方程组























bxxxxx

xxxx

axxxxx

xxxxx

54321

5432

54321

54321

3345

3622

323

1

有解？在有解的情形求一般解.

四、（10分）设向量组

12

:,,,

s

A可以由向量组

12

:,,,

t

B线性表示且秩A秩B.证明向量组A与

向量组B等价.

五、（15分）设A是实数域上的

n

阶对称阵且2AA，并且秩()Ar，(1)rn.

（1）求证：A是半正定的；（2）计算行列式2nEAAA.

六、（20）设A为

n

阶正定矩阵，



为

n

维实列向量，为实数,'为



的转置，证明：

A









'

为正定矩

阵的充要条件是

1A'

.

七、（20分）设V是数域上

x

的次数小于

n

的全体多项式构成的线性空间，定义V上的线性变换，使

()'()()fxxfxfx，其中'()fx表示()fx的导数，求的核与值域，并证明线性空间1(0)VV.

八、（15分）设

,AB

为正定矩阵，证明：AB为正定矩阵的充要条件ABBA.

九、（20分）设V是欧氏空间，

1

W与

2

W是V上的两个子空间，试证：

（I）若

12

WW，则

21

WW

；

（II）当V是有限维时，若

1

W是Ａ—子空间，则

1

W是Ａ—子空间，其中Ａ是V上的任一正交变换.