东营市一中分数线

东营市胜利一中2022-2023学年第一学期期末模拟测试

高三数学（B卷）

一、选择题；本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的．

1

．已知集合2R60Axxx

，集合

Rln1Bxyx

，则

AB

（）

A

．,2

B

．2,3

C

．2,1

D

．,3

2

．已知复数

12

32,2zizi

，则

12

zz

的虚部为

A

．1B

．

iC

．

1

D

．

i

3

．

“

lglgmn

”

是

“

11

22

mn







”

的

A．充要条件B．必要不充分条件

C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件

4

．在ABC中，

3ABAC

，2BDDC．若

4ADBC

，则

ABAC

（）．

A

．3

B

．

3

C

．

2

D

．

2

5

．若函数

cos()yx

是奇函数，则（）

A

．

0B

．

()kkZ

C

．

()kkZ

D

．

()

2

kk



Z

6

．如图，已知电路中

3

个开关闭合的概率都是

1

2

，且是相互独立的，则灯亮的概率为

A

．

3

8

B

．

1

2

C

．

5

8

D

．

7

8

7

．记函数sinxxgxeex

，若不等式2210gxagx

，对1,1x

恒成

立，则

a

的取值范围为（）

A

．2,

B

．2,

C

．2,

D

．2,

8

．已知函数

y

=f(

x)

对任意的

(0,)x

满足

()sin()cosfxxfxx





(

其中'()fx

为函数

f

(

x)

的导函数

),

则下列不等式成立的是

A

．

()2()

46

ff





B

．

()2()

46

ff





C

．

()2()

64

ff





D

．

()2()

64

ff





二、选择题；本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项

符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．

9．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则下

列说法正确的是（）

A．甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数

B．甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数

C．甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差

D．甲的成绩的极差等于乙的成绩的极差

10

．已知函数

()2sin2

6

fxx











，则（）

A

．()fx的最小正周期是



B

．

6

fx











的图象关于

y

轴对称

C

．()fx在

5

0,

12









上单调递增

D

．

3

x





是()fx的一条对称轴

11

．已知正四棱台

1111

ABCDABCD

，下底面ABCD边长为

4

，上底面边长为

2

，侧棱长

为

2

，则（）

A

．它的表面积是

20123

B．它的外接球球心在该四棱台的内部

C

．侧棱与下底面所成的角为

π

3

D

．它的体积比半径为34

的球的体积小

12

．下列四个选项中的多边形均为正多边形，

1

F

，

2

F

为椭圆的两个焦点，椭圆与正多

边形的交点为正多边形各边中点

.

则离心率大于

0.7

的椭圆有（）

A．B．

C．D．

三、填空题；本题共4小题，每小题5分，共20分

13

．若

(12)nx

展开式的二项式系数之和为

32

，则

n

_______

14

．已知圆

O

：224xy

与

y

轴正半轴的交点为M，点M沿圆

O

顺时针运动

2



弧长

到达点N，以

x

轴的非负半轴为始边，ON为终边的角记为



，则

tan

________

．

15

．已知抛物线2:2(0)Cypxp

，

O

为原点，

F

为抛物线

C

的焦点，点

A

，

B

为抛物

线两点，满足

OAOB

，过原点

O

作ODAB交

AB

于点

D

，当点

D

的坐标为2,1

，则

p

的值为

_________

．

16

．已知函数3263220axaxfxaa

，若

12

4xx

，则

12

fxfx

的取值

范围是

___________.

四、解答题；本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分10分）

已知

ABC

的内角A、B、

C

的对应边分别为

a

、b、

c

，在①

3coscoscossinCaBbAcC

；②

sinsin

2

AB

acA





；③

2

2sinsinsinsinsinBACBA．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后

作答：

当

__________

时，且

ABC

的外接圆半径为

1

，求

ABC

的面积S的最大值．

18．（本小题满分12分）

已知数列

n

a

的前

n

项和*

n

SnN

满足

1

23

nn

Saa

，且

2

2a

是

13

,aa

的等差中项，



n

b

是等差数列，2283

,baba.

（

1

）求数列,

nn

ab

的通项公式；

（

2

）

nnn

cab

，求数列

n

c

的前

n

项和

n

T.

19．（本小题满分12分）

2020

年以来，新冠疫情对商品线下零售影响很大．某商家决定借助线上平台开展销售

活动．现有甲、乙两个平台供选择，且当每件商品的售价为

(300500)aa

元时，从该

商品在两个平台所有销售数据中各随机抽取

100

天的日销售量统计如下，

商品日销售量（单位：件）678910

甲平台的天数1426262410

乙平台的天数1025352010

假设该商品在两个平台日销售量的概率与表格中相应日销售量的频率相等，且每天的销

售量互不影响，

(1)求“甲平台日销售量不低于8件”的概率，并计算“从甲平台所有销售数据

．．．．．．

中随机抽取

3天的日销售量，其中至少有2天日销售量不低于8件”的概率；

(2)已知甲平台的收费方案为：每天佣金60元，且每销售一件商品，平台收费30元；乙

平台的收费方案为：每天不收取佣金，但采用分段收费，即每天销售商品不超过8件的

部分，每件收费40元，超过8件的部分，每件收费35元．某商家决定在两个平台中选

择一个长期合作，从日销售收入（单价×日销售量-平台费用）的期望值较大的角度，你

认为该商家应如何决策？说明理由．

20．（本小题满分12分）

直三棱柱

111

ABCABC

中，

5AB

，

3AC

，

4BC

，点

D

是线段

AB

上的动点

.

（

1

）当点

D

是

AB

的中点时，求证：

1

AC∥

平面

1

BCD

；

（

2

）线段

AB

上是否存在点

D

，使得平面

11

ABBA

平面

1

CDB

？若存在，试求出

AD

的

长度；若不存在，请说明理由

.

21．（本小题满分12分）

已知椭圆22

22

:10

xy

Eab

ab

上任意一点到其左右焦点

1

F

、

2

F

的距离之和均为

4

，

且椭圆的中心

O

到直线

0bxayab

的距离为

23

3

.

（

1

）求椭圆

E

的方程；

（

2

）已知以椭圆右顶点A为直角顶点的动直角三角形斜边端点B、

C

落在椭圆

E

上，

求动直角ABC面积的最大值

.

22．（本小题满分12分）

已知函数

1

,1

()

1

,1,2

2

axx

x

fx

x

xx

x

























.

（

1

）若

f(

－

1

）＝

f(1)

，求

a

，并直接写出函数()fx的单调增区间；

（

2

）当

a≥

3

2

时，是否存在实数

x

，使得

()fx

＝一()fx？若存在，试确定这样的实数

x

的个数；若不存在，请说明理由．

参考答案

1．D

解：由260xx，即320xx

，解得23x，

所以2R60R|23Axxxxx

，

由ln1yx

，即10x，解得1x，所以Rln1R1Bxyxxx

，

所以|3ABxx

；

故选：D

2．C

3．C

4．B

由题意可得

2

()()()()4

3

ADBCABBDACABABBCACAB

,

即

212

[()]()()()4

333

ABACABACABABACACAB

,

即

22121

4

333

ABACABAC

，即

21

394

33

ABAC

，

解得

3ABAC

，

故选：B

5．D

由函数

cos()yx

是奇函数，

可知

cos()sinyxx

或

cos()sinyxx

，

由诱导公式，得

()

2

kk



Z

.

故选：D

6．C

由题意，灯泡亮包括三个开关都闭合，只有下边的开关闭合，只有上边两个闭合，下边闭合

上边闭合一个，

这四种情况是互斥的，每一种请中的事件都是相互独立的，

所以灯泡亮的概率为

111111111

2

222

1115

2222822222



，

故选：C．

7．B

解：函数()sinxxgxeex，

由()sin()(sin)()xxxxgxeexeexgx，可得

()gx

为奇函数，

又()cosxxgxeex，

由

22xxxxeeee，1cos1x，

可得

()0gx

，

()gx

在R上递增，

由2(2)(1)0gxagx，即2(2)(1)gxagx，

可得22(2)(1)(1)gxagxgx，

即为221xax

在[1x，1]恒成立，

也即221axx在[1x，1]恒成立，

由221yxx在[1x，1]递增，

可得221yxx的值域为[2，2]，

则2a，即2a，

故选：B．

8．B

令



,(0,)

sin

fx

Fxx

x

，则



2

sincos

sin

fxxfxx

Fx

x







，

因为

()sin()cosfxxfxx





，则

()sin()cos0fxxfxx





，所以0Fx





，

所以

()()

46

FF





，即

()

()

6

4

sinsin

46

f

f









，即

()2()

46

ff





，

故选：B.

9．CD

由图可知，甲的成绩为4，5，6，7，8，乙的成绩为5，5，5，6，9，

所以甲、乙的成绩的平均数均为6，A错误；

甲、乙的成绩的中位数分别为6，5，B错误；

甲成绩的方差为222221

46566676862

5







，

乙成绩的方差为2222

2

112

56565666(96)

55











，

C

正确；

乙的成绩的极差均为4，D正确．

故选：CD

10．ABD

由最小正周期

2

T







得，

2

2

T



，可知，

A

正确；

2sin22sin22cos2

6662

fxxxx















所以函数

()

6

fx





为偶函数，所以

6

fx











的图象关于

y

轴对称，所以

B

正确；

由

222

262

kxk





得，

36

kxk





，

所以函数()fx的单调递增区间为

,

36

kk













Zk

，当0k时，增区间为

,

36











，

当1k时，增区间为

27

,

36









，所以

5

0,

12









不是函数的增区间，所以

C

错误；

因为

2

2sin2sin2

3362

f











，所以

3

x





是()fx的一条对称轴，所以

D

正确

故选：ABD

11．AD

如图，正四棱台

1111

ABCDABCD

，

12

,OO分别是上下底面的中心，点

1

,EE

分别是棱

11

,BCBC

的中点，

在直角梯形

121

OOBB

中，

1121

2,22,2OBOBBB

，则正四棱台高

12

2OO

，

在直角梯形

121

OOEE

中，

112

1,2OEOE

，则正四棱台斜高

1

3EE

，

对于

A

，正四棱台

1111

ABCDABCD

表面积22

24

424320123

2





，

A

正确；

对于

B

，正四棱台

1111

ABCDABCD

的外接球球心

O

在直线

12

OO

上，设球半径为R，

点

O

到平面

1111

DCBA

的距离2

1

2dR

，点

O

到平面ABCD的距离2

2

8dR

，

由

2

0d

，得28R

，因此

112

62dOO

，即点

O

在线段

12

OO

的延长线上，

B

不正确；

对于

C

，侧棱与下底面所成的角为

12

π

4

BBO

，

C

不正确；

对于

D

，正四棱台

1111

ABCDABCD

体积2222

1282

(2244)2

33

V

，

半径为34

的球的体积为3

3

4π16π282

(4)

333

VV





，

D

正确

.

故选：AD

12．ACD

设

12

||2FFc

，

对于

A

，∵

2

|Q|Fc

，

12

QFQF

，

∴

1

|Q|3Fc

，又12

||||2QFQFa，

∴

23acc

，

∴离心率

2

310.7

3

cc

e

a

cc





，

A

对，

对于

B

，∵

2

|Q|Fc

，

122

FFQF

，

∴

1

|Q|5Fc

，又12

||||2QFQFa，

∴

25acc

，

∴离心率

251

0.7

2

5

cc

e

a

cc







，

B

错，

对于

C

，∵

2

|Q|

2

c

F

，

123

FFQ





，

∴22

112212212

13

|Q|()()2cos

2

FFFQFFFQFFFQc

，又12

||||2QFQFa，

∴

13

2

22

cc

a

，

∴离心率

4131

0.7

3

13

cc

e

a

cc







，

C

对，

对于

D

，设坐标原点为

O

，则

1

OQQF

，又

12

3

8

FFQ





∵

2

3

|Q|cos

8

Fc





，，

∴222

112212212

3

|Q|()()2cos13sin

8

FFFQFFFQFFFQc



，

又

12

||||2QFQFa，

∴2

33

2cos13sin

88

acc



，

∴离心率

2

2

33

cos13sin

88

c

e

a





，

又

2

3

1cos

3

4

cos0.15

82









∴

222

0.8

2.3

0.153.550.163.61

e



D对，

故选：ACD.

13．5

因为

(12)nx

展开式的二项式系数之和为

32

，

∴

232n

，即5n

.

故答案为：5

.

14

．

1

15

．

5

4

直线

OD

的斜率为

1

2

，而ODAB，则直线

AB

的斜率为

2

，直线

AB

的方程为

12(2)yx

，

即

25yx

，

由

2

25

2

yx

ypx











消去

x

并整理得：250ypyp

，设

22

12

12

(,),(,)

22

yy

AyBy

pp

，则

12

5yyp

，

因

OAOB

，则

22

2

12

12

22

25

50

44

yy

p

OAOByyp

pp



，解得

5

4

p

，

所以

p

的值为

5

4

.

故答案为：

5

4

16

．4，

因为3263220axaxfxaa

，所以231234fxaxaxaxx





由

0a

，令

0fx

，解得：0x或

>4x

；令0fx





，解得：04x；

所以yfx

在04，

上单减，在0，

和4，

上单增

.

因为

12

4xx

，不妨设

122

2xxx，

.

①若

1

0x

，则

21

44xx

，

因为yfx

在4，

上单增，所以

21

4fxfx

所以

1211

44324fxfxfxfxa

；

②若

1

>0x

，因为

2

2x，

而由yfx

在04，

上单减，在0，

和4，

上单增

.

所以在0，

上

4=2fxf

极小

所以

12

444fxfxff

，当且仅当

12

4xx

时取等号

.

综上所述：

12

4fxfx

.

故答案为：4，

.

17

．选①：

33

4

；选②：

33

4

；选③：

33

4

.

选①：因为3coscoscossinCaBbAcC

，

所以23cossincossincossinCABBAC

，

即23cossinsinCABC

可得：23cossinsinCCC

，

因为sin0C，所以

3cossinCC

，可得

tan3C

，

因为0,C

，所以

3

C





，

因为ABC的外接圆半径为

1

，所以

2sin3cC

，

在ABC中，由余弦定理可得：2222cos2cababCababab

，

可得23abc

，所以

11333

sin3

2224

SabC

，

所以ABC的面积S的最大值为

33

4

.

选②：由正弦定理可知：

sinsinsinsin

2

C

ACA





，

因为sin0A，所以

sinsin

2

C

C





即

cossin2sincos

222

CCC

C

，

因为

cos0

2

C



，所以

12sin

2

C



，可得

1

sin

22

C



，

因为0,C

，所以

0,

22

C









，所以

26

C



，所以

3

C





，

因为ABC的外接圆半径为

1

，所以

2sin3cC

，

在ABC中，由余弦定理可得：2222cos2cababCababab

，

可得23abc

，所以

11333

sin3

2224

SabC

，

所以

ABC

的面积S的最大值为

33

4

.

选③：由2

2sinsinsinsinsinBACBA，

可得222sinsin2sinsinsinsinsinABABCAB

即222sinsinsinsinsinABCAB

由正弦定理可得：222abcab

，

由余弦定理可得：

2221

cos

222

abcab

C

abab



，

因为0,C

，所以

3

C





，

因为

ABC

的外接圆半径为

1

，所以

2sin3cC

，

在

ABC

中，由余弦定理可得：2222cos2cababCababab

，

可得23abc

，所以

11333

sin3

2224

SabC

，

所以ABC的面积S的最大值为

33

4

.

18

．（

1

）13n

n

a

，

1

n

bn

（

2

）

11

3

424

n

n

n

T









（

1

）由题意知，当2n时，

111

23

nn

Saa





，

又因为

1

23

nn

Saa

，且

1nnn

aSS





，

则

1

32

nn

aan





，

所以

21321

3,39aaaaa

，

又

123

,2,aaa

成等差数列，

则

218

22aaa

，所以

111

2329aaa

，解得

1

1a

，

所以数列

n

a

是以

1

为首项，

3

为公比的等比数列，故13n

n

a

.

设

n

b

的公差为d，则

11

3,79bdbd

，

解得

1

1,2db

，

所以2111

n

bnn

.

（

2

）由（

1

）得113n

nnn

cabn

，

所以2121334313n

n

Tn

，

23nn

n

Tnn

，

两式相减得23122333313nn

n

Tn

，

整理得

11

3

424

n

n

n

T









.

点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负

数的情形；(2)在写出“S

n

”与“qS

n

”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确

写出“S

n

－qS

n

”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公

比等于1和不等于1两种情况求解.

19

．

（1）

解：令事件

A

“

甲平台日销售量不低于

8

件

”

，

则

2624103

()

1005

PA





，

令事件

B

“

从甲平台所有销售数据

．．．．．．

中随机抽取

3

天的日销售量，其中至少有

2

天日销售量

不低于

8

件

”

，

则23

23

33

32381

CC

555125

PB









（2）

解：设甲平台的日销售收入为

X

，则

X

的所有可能取值为

6240,7270,8300,9330,

所以，

X

的分布列为

X

6240a7270a8300a9330a10360a

P

14

100

26

100

26

100

24

100

10

100

所以，

14262624

()(6240)(7270)(8300)(9330)

1

EXaaaa

10

(10360)7.9297

100

aa

，

设乙平台的日销售收入为

Y

，则

Y

的所有可能取值为

6240,7280,8320,9355,

所以，

Y

的分布列为：

Y

6240a7280a8320a9355a10390a

P

10

100

25

100

35

100

20

100

10

100

所以，

2

10253520

()(6240)(7280)(8320)(9355)

1

EYaaaa

10

(10390)

100

a

7.95316a

.

所以，

()()0.0519,EYEXa

令

0.05190a

得

380a

，令

0.05190a

得

380a

所以，当

300380a

时，选择甲平台；当

380a

时，甲乙平台均可；当

380500a

时，

选择乙平台

.

20

．

（

1

）如图，连接

1

BC

，交

1

BC

于点

E

，连接

DE

，则点

E

是

1

BC

的中点，

又点

D

是

AB

的中点，由中位线定理得

1

DEAC

，

因为

DE

平面

1

BCD

，

1

AC

平面

1

BCD

，

所以

1

AC

平面

1

BCD

.

（

2

）当

CDAB

时平面

11

ABBA

平面

1

CDB

.

证明：因为

1

AA

平面

ABC

，

CD

平面

ABC

，所以

1

AACD

．

又CDAB，

1

AAABA

，所以CD平面

11

ABBA

，

因为CD平面

1

CDB

，所以平面

11

ABBA

平面

1

CDB

，

故点

D

满足

CDAB

.

因为

5AB

，

3AC

，

4BC

，所以222ACBCAB

，

故

ABC

是以角

C

为直角的三角形，

又

CDAB

，所以

9

5

AD

.

21

．（

1

）由题可知

22

22

24

2

:1

23

42

3

3

a

a

xy

E

ab

b

ab





























.

（

2

）由题易知斜边

BC

不可能和

x

轴平行，故可设

BC

所在直线

:lxlym

，

联立

22

:1

42

xy

E消去x

整理得：2222240tytmym

，

设

11

,Bxy

，



22

,Cxy，

则有

12

2

2

2

tm

yy

t







，

2

12

2

4

2

m

yy

t







，

2222224424024tmtmmt

，

由题可知

11221212

2,2,22ABACxyxytymtymyy

2

2

1212

122tyytmyym

2

2

2

22

42

1220

22

mtm

ttmm

tt







238402mmm

（舍）或

2

3

m

可得

BC

所在直线

l

方程为：

2

3

xty

，恒过定点

2

,0

3

D







，

所以

2

2

121212

2

16

1128

9

24

22332ABC

t

SADyyyyyy

t





△

，

令2

16

9

ut

，

4

,

3

u











，则

2

881

22

33

99

ABC

u

S

uu

u





△，

2

9

yu

u



在

4

,

3

u











上递增，

所以

2316

,0,

929ABC

yuS

u









△

，

所以ABC面积的最大值为

16

9

，此时BC所在直线

l

方程为：

2

3

x

.

22

．（

1

）3a，单调增区间为

(,2)

，2,1

；（

2

）

2

个

.

（

1

）由11ff

，得21a，解得3a．

此时，函数

1

3,1,

()

1

,1,2.

2

xx

x

fx

x

xx

x























所以函数()fx的单调增区间为

(,2)

，2,1

．

（

2

）显然，

0x

不满足

fxfx

；

若

01x

，则

10x

，由

fxfx

，得

11

22

xx

xx







，

化简，得22x

，无解：

若

1x，则

1x

，由

fxfx

，得

11

2

x

ax

xx













，

化简，得32(21)220axaxx

．

令32()(21)22gxaxaxx

，

3

2

a．

当

12x

时，22()(2)2(1)0gxaxxxx

；

下面证明函数

()gx

在

(2,)

上是单调增函数．

任取

12

,(2,)xx

，且

12

xx

，

则

3232

21222111

(21)22(21)22gxgxaxaxxaxaxx







22

21212121

(21)2xxaxaxxaxaxx







由于22

212121

(21)2axaxxaxaxx

22

211212

1122axaxaxxxxa

22

1212

3

1122

2

aaxxxxa



2112

1

113

2

xxxx

1

11223

2



0，

所以

21

0gxgx

，即

21

gxgx

，故

()gx

在

(2,)

上是单调增函数．

因为

(2)60g

，

3

(3)9139130

2

ga

，

所以

(2)(3)0gg

，又函数

()gx

的图象不间断，所以函数

()gx

在2,3

上有且只有一个零点．

即当1x时，有且只有一个实数

x

满足()()fxfx．

因为当

00

0xx

满足()()fxfx时，实数

0

x

也一定满足()()fxfx，即满足

()()fxfx的根成对出现（互为相反数）；

所以，所有满足()()fxfx的实数

x

的个数为

2

．