欧美在线a免费线上

4.2直线、射线、线段

一．选择题

1．如图，某工厂有三个住宅区，A、B、C各区分别住有职工15人、20人、45人，且这三

个区在一条大道上（A、B、C三点共线），已知AB＝1500m，BC＝1000m，为了方便职

工上下班，该工厂打算从以下四处中选一处设置接送车停靠点，为使所有的人步行到停

靠点的路程之和最小，那么该停靠点的位置应设在（）

A．A住宅区B．B住宅区

C．C住宅区D．B、C住宅区中间D处

2．线段AB＝9，点C在线段AB上，且有AC＝AB，M是AB的中点，则MC等于（）

A．3B．C．D．

3．如图，已知线段AB＝10cm，AP＝6cm，P是OB的中点，则AO＝（）

A．1.5cmB．2cmC．2.5cmD．3cm

4．下列叙述：①最小的正整数是0；②单项式3x3y的次数是3；③用一个平面去截正方体，

截面不可能是六边形；④若AC＝BC，则点C是线段AB的中点；⑤若x表示有理数，

且|x|＝x，则x＞0．其中正确的个数有（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

5．如图，将一根绳子对折以后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子

中最长的一段为60cm，若AP＝PB，则这条绳子的原长为（）

A．100cmB．150cm

C．100cm或150cmD．120cm或150cm

6．已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，则线段AC等于（）

A．11cmB．5cmC．11cm或5cmD．8cm或11cm

二．填空题

7．如图，点A、B、C、D是直线l上的四个点，图中共有线段的条数是．

8．如图，有公共端点P的两条线段MP，NP组成一条折线M﹣P﹣N，若该折线M﹣P﹣N

上一点Q把这条折线分成相等的两部分，我们把这个点Q叫做这条折线的“折中点”．已

知点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，点E为线段AC的中点，CD＝3，CE＝5，则线段

BC的长为．

9．线段AB＝12cm，点C在线段AB上，且AC＝BC，M为BC的中点，则AM的长为

cm．

10．如图，点C是线段AB上一点，点M、N、P分别是线段AC，BC，AB的中点．AC＝

3cm，CP＝1cm，线段PN＝cm．

11．线段AB＝6，点C在直线AB上，BC＝4，则AC的长度为．

12．如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，

能解释这一实际应用的数学知识是．

三．解答题

13．如图，已知点A、点B是直线上的两点，点C在线段AB上，且BC＝4厘米．点P、点

Q是直线上的两个动点，点P的速度为1厘米/秒，点Q的速度为2厘米/秒．点P、Q分

别从点C、点B同时出发在直线上运动，则经过多少时间线段PQ的长为5厘米．

14．如图，AB＝97，AD＝40，点E在线段DB上，DC：CE＝1：2，CE：EB＝3：5，求AC

的长度．

15．如图，B是线段AD上一动点，沿A→D→A以3cm/s的速度往返运动1次，C是线段

BD的中点，AD＝15cm，设点B运动时间为t秒（0≤t≤10）．

（1）当t＝2时，求线段AB和CD的长度．

（2）用含t的代数式表示运动过程中AB的长．

（3）在运动过程中，若AB中点为E，则EC的长是否变化？若不变．求出EC的长；若

发生变化，请说明理由．

16．已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点，点P、Q分别在线段BC、AC

上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP．

（1）如图，若AB＝6，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝；

（2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若

不是，请说明理由；

（3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），请判断2AP+CQ﹣

2PQ与1的大小关系，并说明理由．

17．如图，C，D是线段AB上的两点，且满足AC：CD：DB＝3：2：1，M，N分别为AC

和CB的中点．

（1）若AB＝24，求DN的长度；

（2）证明：5MN＝6（CD+DN）．

18．已知线段AB＝m（m为常数），点C为直线AB上一点（不与A、B重合），点P、Q分

别在线段BC、AC上，且满足CQ＝2AQ，CP＝2BP．

（1）如图，当点C恰好在线段AB中点时，则PQ＝（用含m的代数式表示）；

（2）若点C为直线AB上任一点，则PQ长度是否为常数？若是，请求出这个常数；若

不是，请说明理由；

（3）若点C在点A左侧，同时点P在线段AB上（不与端点重合），请判断2AP+CQ﹣

2PQ与1的大小关系，并说明理由．

19．【探索新知】

如图1，点C在线段AB上，图中共有3条线段：AB、AC、和BC，若其中有一条线段的

长度是另一条线段长度的两倍，则称点C是线段AB的“二倍

点”．

（1）一条线段的中点这条线段的“二倍点”；（填“是”或“不是”）

【深入研究】

如图2，点A表示数﹣10，点B表示数20，若点M从点B，以每秒3cm的速度向点A

运动，当点M到达点A时停止运动，设运动的时间为t秒．

（2）点M在运动过程中表示的数为（用含t的代数式表示）；

（3）求t为何值时，点M是线段AB的“二倍点”；

（4）同时点N从点A的位置开始，以每秒2cm的速度向点B运动，并与点M同时停止．请

直接写出点M是线段AN的“二倍点”时t的值．

20．如图，P是线段AB上任一点，AB＝12cm，C、D两点分别从P、B同时向A点运动，

且C点的运动速度为2cm/s，D点的运动速度为3cm/s，运动的时间为ts．

（1）若AP＝8cm，

①运动1s后，求CD的长；

②当D在线段PB上运动时，试说明AC＝2CD；

（2）如果t＝2s时，CD＝1cm，试探索AP的值．

参考答案

一．选择题

1．解：当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：20×1500+45×2500＝142500m；

当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15×1500+45×1000＝67500m；

当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：15×2500+20×1000＝57500m；

当停靠点在D区时，设距离B区x米，

所有员工步行到停靠点路程和是：15×（1500+x）+20x+45（1000﹣x）＝﹣10x+67500，

由于k＝﹣10，所以，x越大，路程之和越小，

∴当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和最小．

故选：C．

2．解：∵AB＝9，

∴AC＝AB＝3，

∵M是AB的中点，

∴AM＝AB＝

∴MC＝AM﹣AC＝﹣3＝

故选：B．

3．解：∵AB＝10cm，AP＝6cm，

∴BP＝AB﹣AP＝4cm，

∵P是OB的中点，

∴OP＝BP＝4cm，

∴AO＝AP﹣OP＝6﹣4＝2（cm）．

故选：B．

4．解：①最小的正整数是0；错误，最小的正整数是1．

②单项式3x3y的次数是3；错误，单项式的次数是4．

③用一个平面去截正方体，截面不可能是六边形；错误，可以得到六边形．

④若AC＝BC，则点C是线段AB的中点；错误，A，B，C不一定在同一直线上．

⑤若x表示有理数，且|x|＝x，则x＞0．错误，应该是x≥0．

故选：A．

5．解：当PB的2倍最长时，得

PB＝30cm，

AP＝PB＝20cm，

AB＝AP+PB＝50cm，

这条绳子的原长为2AB＝100cm；

当AP的2倍最长时，得

AP＝30cm，AP＝PB，

PB＝AP＝45cm，

AB＝AP+PB＝75cm，

这条绳子的原长为2AB＝150cm．

故选：C．

6．解：由于C点的位置不确定，故要分两种情况讨论：

（1）当C点在B点右侧时，如图所示：

AC＝AB+BC＝8+3＝11cm；

（2）当C点在B点左侧时，如图所示：

AC＝AB﹣BC＝8﹣3＝5cm；

所以线段AC等于5cm或11cm，

故选：C．

二．填空题

7．解：图中的线段有：AB、AC、AD、BC、BD、CD共6条，

故答案为：6．

8．解：①如图，

CD＝3，CE＝5，

∵点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，

∴AD＝DC+CB

∵点E为线段AC的中点，

∴AE＝EC＝AC＝5

∴AC＝10

∴AD＝AC﹣DC＝7

∴DC+CB＝7

∴BC＝4；

②如图，

CD＝3，CE＝5，

∵点D是折线A﹣C﹣B的“折中点”，

∴BD＝DC+BD

∵点E为线段AC的中点，

∴AE＝EC＝AC＝5

∴AC＝10

∴AD＝AC+DC＝13

∴BD＝13

∴BC＝BD+DC＝16．

综上所述，BC的长为4或16．

故答案为4或16．

9．解：如图，

∵点C在线段AB上，

AC＝BC，即BC＝3AC，

∴AC+BC＝AB＝12

即4AC＝12

AC＝3

∴BC＝9

∵M为BC的中点，

∴CM＝BC＝4.5

∴AM＝AC+CM＝7.5cm．

故答案为7.5．

10．解：∵AP＝AC+CP，CP＝1cm，

∴AP＝3+1＝4cm，

∵P为AB的中点，

∴AB＝2AP＝8cm，

∵CB＝AB﹣AC，AC＝3cm，

∴CB＝5cm，

∵N为CB的中点，

∴CN＝BC＝cm，

∴PN＝CN﹣CP＝cm．

故答案为：．

11．解：当C在线段AB上时，AC＝1B﹣BC＝6﹣4＝2；

当C在线段AB的延长线上时，AC＝AB+BC＝10．

综上所述：AC的长度为2或10．

故选：2或10．

12．解：能解释这一实际应用的数学知识是：两点确定一条直线，

故答案为：两点确定一条直线．

三．解答题

13．解：设运动时间为t秒．

①如果点P向左、点Q向右运动，由题意，得：t+2t＝5﹣4，解得；

②点P、Q都向右运动，由题意，得：2t﹣t＝5﹣4，解得t＝1；

③点P、Q都向左运动，由题意，得：2t﹣t＝5+4，解得t＝9．

④点P向右、点Q向左运动，由题意，得：2t﹣4+t＝5，解得t＝3．

综上所述，经过或1或3秒9秒时线段PQ的长为5厘米．

14．解：因为AB＝97，AD＝40，

所以BD＝AB﹣AD＝57

因为DC：CE＝1：2，CE：EB＝3：5，

所以设DC＝x，

则CE＝2x，

EB＝，

因为BD＝DC+CE+EB

所以x+2x+＝57

解得x＝9

所以AC＝AD+DC＝40+9＝49．

答：AC的长度为49．

15．解：（1）①∵B是线段AD上一动点，沿A→D→A以3cm/s的速度往返运动，

∴当t＝2时，AB＝2×3＝6cm；

②∵AD＝15cm，AB＝6cm，

∴BD＝15﹣6＝9cm，

∵C是线段BD的中点，

∴CD＝BD＝×9＝4.5cm；

（2）∵B是线段AD上一动点，沿A→D→A以3cm/s的速度往返运动，

∴当0≤t≤5时，AB＝3t；

当5＜t≤10时，AB＝15﹣（3t﹣15）＝30﹣3t；

（3）不变．

∵AB中点为E，C是线段BD的中点，

∴EC＝（AB+BD）

＝AD

＝×15

＝7.5cm．

16．解：（1）∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，

∴CQ＝AC，CP＝BC，

∵点C恰好在线段AB中点，

∴AC＝BC＝AB，

∵AB＝m（m为常数），

∴PQ＝CQ+CP＝AC+BC＝×AB+×AB＝×AB＝×6＝4；

故答案为：4；

（2）①点C在线段AB上：

∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，

∴CQ＝AC，CP＝BC，

∵AB＝m（m为常数），

∴PQ＝CQ+CP═AC+BC＝×（AC+BC）＝AB═m；

②点C在线段BA的延长线上：

∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，

∴CQ＝AC，CP＝BC，

∵AB＝m（m为常数），

∴PQ＝CP﹣CQ＝BC﹣AC＝×（BC﹣AC）＝AB＝m；

③点C在线段AB的延长线上：

∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，

∴CQ＝AC，CP＝BC，

∵AB＝m（m为常数），

∴PQ＝CQ﹣CP＝AC﹣BC＝×（AC﹣BC）＝AB＝m；

故PQ是一个常数，即是常数m；

（3）如图：

∵CQ＝2AQ，

∴2AP+CQ﹣2PQ

＝2AP+CQ﹣2（AP+AQ）

＝2AP+CQ﹣2AP﹣2AQ

＝CQ﹣2AQ

＝2AQ﹣2AQ

＝0，

∴2AP+CQ﹣2PQ＜1．

17．解：（1）∵AB＝24，

AC：CD：DB＝3：2：1，

∴CD＝AB＝8，

DB＝AB＝4

∴CB＝CD+DB＝12

∵N是CB的中点

∴CN＝CB＝6

∴ND＝CD﹣CN＝8﹣6＝2；

（2）证明：M，N分别为AC和CB的中点

∴MC＝AC，CN＝CB

∴MN＝MC+CN＝AC+CB＝AB

∵AC：CD：DB＝3：2：1

∴CD＝AB＝AB

DB＝AB

∴CB＝CD+DB＝AB

∴CN＝CB＝AB

∴DN＝CD﹣CN＝AB﹣AB＝AB

∴6（CD+DN）＝6（AB+AB）＝AB

∵5MN＝5×AB＝AB

∴5MN＝6（CD+DN）．

18．解：（1）∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，

∴CQ＝AC，CP＝BC，

∵点C恰好在线段AB中点，

∴AC＝BC＝AB，

∵AB＝m（m为常数），

∴PQ＝CQ+CP＝AC+BC＝×AB+×AB＝AB＝m；

故答案为：m；

（2）①点C在线段AB上：

∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，

∴CQ＝AC，CP＝BC，

∵AB＝m（m为常数），

∴PQ＝CQ+CP＝AC+BC＝×（AC+BC）＝AB＝m；

②点C在线段BA的延长线上：

∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，

∴CQ＝AC，CP＝BC，

∵AB＝m（m为常数），

∴PQ＝CP﹣CQ＝BC﹣AC＝×（BC﹣AC）＝AB＝m；

③点C在线段AB的延长线上：

∵CQ＝2AQ，CP＝2BP，

∴CQ＝AC，CP＝BC，

∵AB＝m（m为常数），

∴PQ＝CQ﹣CP＝AC﹣BC＝×（AC﹣BC）＝AB＝m；

故PQ是一个常数，即是常数m；

（3）如图：

∵CQ＝2AQ，

∴2AP+CQ﹣2PQ

＝2AP+CQ﹣2（AP+AQ）

＝2AP+CQ﹣2AP﹣2AQ

＝CQ﹣2AQ

＝2AQ﹣2AQ

＝0，

∴2AP+CQ﹣2PQ＜1．

19．解：（1）因为线段的中点把该线段分成相等的两部分，

该线段等于2倍的中点一侧的线段长．

所以一条线段的中点是这条线段的“二倍点”

故答案为：是

（2）点M在运动过程中表示的数为20﹣3t，

故答案为：20﹣3t；

（3）当AM＝2BM时，30﹣3t＝2×3t，解得：t＝；

当AB＝2AM时，30＝2×（30﹣3t），解得：t＝5；

当BM＝2AM时，3t＝2×（30﹣3t），解得：t＝；

答：t为或5或时，点M是线段AB的“二倍点”；

（4）当AN＝2MN时，2t＝2[2t﹣（30﹣3t）]，解得：t＝；

当AM＝2NM时，30﹣3t＝2[2t﹣（30﹣3t）]，解得：t＝；

当MN＝2AM时，2t﹣（30﹣3t）＝2（30﹣3t），解得：t＝；

答：t为或或时，点M是线段AN的“二倍点”．

20．解：（1）①由题意可知：CP＝2×1＝2cm，DB＝3×1＝3cm

∵AP＝8cm，AB＝12cm

∴PB＝AB﹣AP＝4cm

∴CD＝CP+PB﹣DB＝2+4﹣3＝3cm

②∵AP＝8，AB＝12，

∴BP＝4，AC＝8﹣2t，

∴DP＝4﹣3t，

∴CD＝DP+CP＝2t+4﹣3t＝4﹣t，

∴AC＝2CD；

（2）当t＝2时，

CP＝2×2＝4cm，DB＝3×2＝6cm，

当点D在C的右边时，如图所示：

由于CD＝1cm，

∴CB＝CD+DB＝7cm，

∴AC＝AB﹣CB＝5cm，

∴AP＝AC+CP＝9cm，

当点D在C的左边时，如图所示：

∴AD＝AB﹣DB＝6cm，

∴AP＝AD+CD+CP＝11cm

综上所述，AP＝9或11