人大附中高考成绩

1/12

中国人民大学附属中学高考冲刺卷

数学(理)试卷（一）

第Ⅰ卷（选择题共40分）

一、选择题：本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项

中,选出符合题目要求的一项.

1、已知集合，，则

A.B.

C.D.R

2．已知数列为等差数列，是它的前项和.若，，则

A．10B．16C．20D．24

3.在极坐标系下，已知圆的方程为，则下列各点在圆

C

上的是

A．B．

C．D．

4．执行如图所示的程序框图，若输出的值为23，则输入的x值为

A．B．1C．D．11

5．已知平面，是内不同于的直线，那么下列命题中错

．

误

．

的是

A．若，则B．若lm//，则//m

C．若，则D．若

lm

，则m

6.已知非零向量满足０，向量的夹角为，且

，则向量与的夹角为

A．B．C．D．

7.如果存在正整数和实数使得函数（



，为

常数）的图象如图所示（图象经过点（1,0）），那么



的值为

A．B．2C．3D.4

8．已知抛物线：，圆：（其中为常数，

）.过点（1，0）的直线l交圆N于、D两点，交抛物线M于、两

点，且满足的直线l只有三条的必要条件是

A．B．C．D．

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第Ⅱ卷（非选择题共110分）

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.把答案填在题中横线上.

9．复数.

10.为了解本市居民的生活成本，甲、乙、丙三名同学利用假期分别对三个社

区进行了“家庭每月日常消费额”的调查.他们将调查所得到的数据分别绘制成

频率分布直方图（如图所示），记甲、乙、丙所调查数据的标准差分别为，

，

，

则它们的大小关系为.（用“”连接）

11．如图，A，B，C是⊙O上的三点，BE切⊙O于点B，D是与⊙O的交

点.若，则______；若，，则

.

12.已知平面区域，在区域内任取一点，则取

到的点位于直线（）下方的概率为____________.

13.若直线被圆所截的弦长不小于2，则在下列曲线中：

①②③④

与直线l一定有公共点的曲线的序号是.（写出你认为正确的

所有序号）

14

．如图，线段

=8

，点

C

在线段AB上，且

=2

，为线段上一

动点，点A绕点

C

旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D.

设

=

x

，

的面积为

.

则

()fx

的定义域为；的零点

是

.

三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证

明过程.

15.（本小题共13分）

C

O

A

CB

D

O

元

频率

组距

0.0002

0.0004

0.0008

0.0006

15

O

O

元

频率

组距

0.0002

0.0004

0.0008

0.0006

15

3/12

在中，内角A、B、C所对的边分别为，已知，，

且.

(Ⅰ)求；

(Ⅱ)求ABC的面积.

16.（本小题共14分）

在如图的多面体中，⊥平面，,，，

，，，是的中点．

(Ⅰ)求证：平面；

(Ⅱ)求证：；

(Ⅲ)求二面角的余弦值.

17.（本小题共13分）

某厂生产的产品在出厂前都要做质量检测，每一件一等品都能通过检

测，每一件二等品通过检测的概率为.现有10件产品，其中6件是一等品，

4件是二等品.

(Ⅰ)随机选取1件产品，求能够通过检测的概率；

(Ⅱ)随机选取3件产品，其中一等品的件数记为，求X的分布列；

(Ⅲ)随机选取3件产品，求这三件产品都不能通过检测的概率.

18.（本小题共13分）

已知函数，

（Ⅰ）若，求函数()fx的极值；

（Ⅱ）设函数，求函数的单调区间；

A

D

E

BC

4/12

（Ⅲ）若在（）上存在一点，使得成立，

求的取值范围.

19.（本小题共14分）

已知椭圆经过点其离心率为.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

(Ⅱ)设直线与椭圆C相交于A、B两点，以线段

为邻边作平行四边形OAPB，其中顶点P在椭圆C上，为坐标原点.求

的取值范围.

20.（本小题共13分）

已知每项均是正整数的数列A：，其中等于的项有个

，

设，

.

（Ⅰ）设数列，求；

（Ⅱ）若数列A满足，求函数的最小值.

中国人民大学附属中学高考冲刺卷

数学(理)试卷（一）参考答案

一、选择题（本大题共8小题,每小题5分,共40分）

题号12345678

答案BCACDBBD

5/12

二、填空题（本大题共6小题,每小题5分.共30分.有两空的题目，第一空

3分，第二空2分）

9.10.>>11.

；

3

12.

1

2

13.

①③

14.

三、解答题(本大题共6小题,共80分)

15.

（共

13

分）

解：（

I

）因为

1

tan

2

B，

1

tan

3

C

,,…………………1

分

代入得到，

.…………………3

分

因为

,……………

……4

分

所以

.………………

…5

分

（

II

）因为，由（

I

）结论可得：

.…………………7

分

因为，所以

.…………8分

所以

.………

…9分

由得

，

…………………11

分

所以ABC的面积为：

.………………13分

16.（共14分）

解：(Ⅰ)证明：∵，

∴.

A

D

F

E

BGC

6/12

又∵,G是BC的中点，

∴，

∴四边形是平行四边形，

∴.……………2分

∵平面DEG，平面DEG，

∴平面

DEG.…………………4分

(Ⅱ)解法1

证明：∵平面AEB，平面AEB，

∴，

又，平面，

∴平面

BCFE.………………………5分

过D作交EF于H，则平面BCFE.

∵平面BCFE，∴

.………………………6分

∵，∴四边形平行四边形，

∴，

∴，又，

∴四边形为正方形，

∴

，……………………

…7分

又平面，平面BHD,

∴⊥平面

BHD.………………………8分

∵平面BHD,

∴

BDEG.……………………

…9分

解法2

∵EF平面AEB，AE平面AEB，平面AEB，

∴EFAE，，

又AEEB,

∴两两垂直.……………………5分

以点E为坐标原点，,,EBEFEA分别为轴建立如图

的空间直角坐标系.

由已知得，A（0，0，2），B（2，0，0），

C（2，4，0），（0，3，0），D（0，2，2），

G（2，2，0）.…………………………6分

∴，，………7分

x

A

D

F

E

B

G

C

7/12

∴,………8分

∴BDEG.…………………………9分

(Ⅲ)由已知得是平面的法向

量.…………………………10分

设平面的法向量为，∵，

∴，即，令,得

.…………………………12分

设二面角CDFE的大小为，

则

，…………………………

13分

∴二面角CDFE的余弦值为

…………………………14分

17.

（共

13

分）

解：(Ⅰ)设随机选取一件产品，能够通过检测的事件为

A…………………………1分

事件A等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检

测”……………2分

………………

…………4分

(Ⅱ)由题可知X可能取值为0,1,2,3.

,,

,.………

………8分

……………9分

(Ⅲ)设随机选取3件产品都不能通过检测的事件为

B……………10分

事件B等于事件“随机选取3件产品都是二等品且都不能通过检测”

X0123

P

8/12

所以，

.……………13

分

18.

（共

13

分）

解：（Ⅰ）的定义域为

，………………………1分

当1a时，，

，………………………2分

…………………

……3分

所以

()fx

在处取得极小值

1.………………………4分

（Ⅱ），

……………………

…6分

①当时，即时，在上，在上，

所以在

(0,1)a

上单调递减，在

(1,)a

上单调递

增；………………………7分

②当，即时，在上()0hx



，

所以，函数()hx在

(0,)

上单调递

增.………………………8分

（III）在1,e上存在一点

0

x，使得

0

()fx

0

()gx成立，即

在1,e上存在一点

0

x，使得，即

函数在1,e上的最小值小于

零.………………………9分

由（Ⅱ）可知

①即，即时，()hx在1,e上单调递减，

所以的最小值为，由可得，

因为，所以

2e1

e1

a







；………………………10分

②当，即时，()hx在上单调递增，

x

1

—

0+

()fx

极小

9/12

所以

()hx

最小值为，由可得

；………………………11分

③当，即时，可得

()hx

最小值为，

因为，所以，

故

此时，不成

立.………………………12分

综上讨论可得所求的范围是：

2e1

e1

a







或

2a

.………………………13分

19.

（共

14

分）

解：（Ⅰ）由已知可得，所以

①……………1分

又点在椭圆C上，所以

②……………2分

由①②解之，得.

故椭圆C的方程为

.……………5分

(Ⅱ)当时，在椭圆C上，解得，所以

.……6分

当时，则由

消y化简整理得：，

③……………8分

设点的坐标分别为，则

.……

………9分

由于点P在椭圆C上，所以

.……………10分

10/12

从而，化简得，经检验满足③

式.………11分

又

……………

…………12分

因为，得，有，

故

.………………………13

分

综上，所求OP的取值范围是

.………………………14分

(Ⅱ)另解：设

,,ABP

点的坐标分别为

112200

(,)(,)(,)xyxyxy、、，

由在椭圆上，可得

………………………6分

①—②整理得

………………………7分

由已知可得，所以

……………………8分

由已知当,即

⑥………………………9分

把④⑤⑥代入③整理得

………………………10分

与联立消

0

x整理得

……………………11分

由22

00

3412xy得，

11/12

所以

………………

……12分

因为，得，有，

故

.…………

……………13分

所求OP的取值范围是

13

[3,]

2

.………………………14分

20.

（共

13

分）

解：（1）根据题设中有关字母的定义，

（2）一方面，，根据“数列A含有n项”及的含义知

，

故，即

①…………………7分

另一方面，设整数，则当时必有，

所以

所以

()gm

的最小值为

.…………………9分

下面计算

(1)gM

的值：

…………

………12分

∵，∴

12/12

∴()gm最小值为

.…………………13分

内容总结

（1）5分

（II）因为，由（I）结论可得：.

（2）1分

事件等于事件“选取一等品都通过检测或者是选取二等品通过检测”