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第一章牛顿问题

解题关键：

牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主

要有四步：

1、求出每天长草量；

2、求出牧场原有草量；

3、求出每天实际消耗原有草量(牛吃的草量--生长的草量=消耗原有草量)；

4、最后求出可吃天数。

1、牧场上有一片青草，牛每天吃草，草每天以均匀的速度生长。这片青草供给

10头牛可以吃20天，供给15头牛吃，可以吃10天。供给25头牛吃，可以吃

多少天？

分析：

如果草的总量一定，那么，牛的头数与吃草的天数的积应该相等。现在够10头牛

吃20天，够15头牛吃10天，10×20和15×10两个积不相等，这是因为10头

牛吃的时间长，长出的草多，所以，用这两个积的差，除以吃草的天数差，可求出

每天的长草量。

①、求每天的长草量

(10×20－15×10)÷(20－10)＝5(单位量)

说明牧场每天长出的草够5头牛吃一天的草量。

②、求牧场原有草量

因为牧场每天长出的草量够5头牛吃一天，那么，10头牛去吃，每天只有10－5

＝5(头)牛吃原有草量，20天吃完，原有草量应是：(10－5)×20＝100(单位

量)

或：10头牛吃20天，一共吃草量是10×20＝200(单位量)

一共吃的草量－20天共生长的草量＝原有草量

200－100＝100(单位量)

③、求25头牛吃每天实际消耗原有草量

因为牧场每天长出的草量够5头牛吃一天，25头牛去吃，(吃的－长的＝消耗原

草量)

即：25－5＝20(单位量)

④、25头牛去吃，可吃天数

牧场原有草量÷25头牛每天实际消耗原有草量＝可吃天数

100÷20＝5(天)

解：(10×20－15×10)÷(20－10)

＝50÷10

＝5(单位量)-------每天长草量

(10－5)×20

＝5×20

＝100(单位量)-------原有草量

100÷(25－5)

＝100÷20

＝5(天)

答：可供给25头牛吃5天。

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2、牧场上有一片青草，草每天以均匀的速度生长，这些草供给20头牛吃，可以

吃20天；供给100头羊吃，可以吃12天。如果每头牛每天的吃草量相当于4只

羊一天的吃草量，那么20头牛，100只羊同时吃这片草，可以吃几天？

分析：

1头牛每天相当于4只羊一天的吃草量，那么20头牛就相当于4×20＝80(只)

羊吃草量。

每天长草量：

(80×20－100×12)÷(20－12)

＝400÷8

＝50(单位量)

原有草量：

(80－50)×20

＝30×20

＝600(单位量)

20头牛和100只羊同时吃的天数：

600÷(80＋100－50)

＝600÷130

＝4(天)

答：20头牛，100只羊同时吃这片草，可以吃4天。

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3、有三片牧场，牧场上的草长得一样密，一样快。它的面积分别是3.3公顷、2.

8公顷和4公顷。22头牛54天能吃完第一片牧场原有的草和新长出的草；17头

牛84天能吃完第二片牧场原有的草和新长出的草。问，多少头牛经过24天能吃

完第三片牧场原有的草和新长出的草？

分析：

①、第一片牧场22头牛54天吃完3.3公顷所有的草，那么，每公顷草量是(包

括生长的)：

22×54÷3.3＝360(单位量)

②、第二片牧场：17头牛84天吃完2.8公顷所有的草，那么，每公顷草量是：

17×84÷2.8＝510(单位量)

③、每公顷每天的长草量是：

(510－360)÷(84－54)＝5(单位量)

④、每公顷原有草量是：

360－5×54＝90(单位量)

⑤、第三片4公顷24天共有草量是：

90×4＋5×24×4＝840(单位量)

⑥、可供多少头牛吃24天：

840÷24＝35(头)

解：(17×84÷2.8－22×54÷3.3)÷(84－54)

＝150÷30

＝5(单位量)------每公顷每天长草量

22×54÷3.3－5×54

＝360－270

＝90(单位量)--------每公顷原有草量

90×4＋5×4×24

＝360＋480

＝840(单位量)-------4公顷24天共有草量

840÷24＝35(头)

答：35头牛经过24天能吃完第三片牧场原有的草和新长出的草。

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4、用3台同样的水泵抽干一个井里的泉水要40分钟；用6台这样的水泵抽干它

只要16分钟。问，用9台这样的水泵，多少分钟可以抽干这井里的水？

分析：

用水泵抽井里的泉水，泉水总是按一定大小不断往上涌，这就跟牧场的草一样均匀

地生长，因此，把它当作牛吃草问题同解。

每分钟泉水涌出量：

(3×40－6×16)÷(40－16)

＝24÷24

＝1(单位量)

井里原有水量：

(3－1)×40

＝2×40

＝80(单位量)

9台几分钟可以抽干：

80÷(9－1)

＝80÷8

＝10(分钟)

答：用9台这样的水泵，10分钟可以抽干这井里的水。

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5、火车站的售票窗口8点开始售票，但8点以前早就有人来排队，假如每分钟来

排队的人一样多，开始售票后，如果开3个窗口售票，30分钟后，不再有人排

队；如果开5个窗口售票，15分钟后，不再有人排队。求第一个来排队的人是几

点钟到的？

分析：

到窗口排队售票的人，包括两部分，一部分是8点以前已等候的人(相似于牛吃草

问题中的原有草量)，另一部分是开始售票时，逐步来的人(相似于每天长草量)，

开售票窗口多少，相似于“吃草的牛”多少，售票时间相似于“牛吃草”天数。因此，

按“牛吃草问题”来解答。

每分钟来排队的人：

(3×30－5×15)÷(30－15)

＝15÷15

＝1(人)

售票前已到的人数：

3×30－1×30

＝90－30

＝60(人)

售票前已到的人共用的时间：

60÷1＝60(分钟)

60分钟是1小时，即第一个来排队的人是售票前1小时到达的，8－1＝7

答：第一个来排队的人是7点钟到达的。

第二章鸡兔问题

解题关健：鸡兔问题是我国古代著名数学问题之一，也叫“鸡兔同笼”问题。解答鸡

兔同笼问题，一般采用假设法，假设全部是鸡，算出脚数，与题中给出的脚数相比

较，看差多少，每差一个(4－2)只脚，就说明有1只兔，将所差的脚数除以(4－

2)，就可求出兔的只数。同理，假设全部是兔，可求出鸡。

1、鸡兔同笼共80头，208只脚，鸡和兔各有几只？

分析：

假设这80头全是鸡，那么，脚应是2×80＝160(只)，比实际少208－160＝48

(只)脚，这是因为1只兔有4只脚，把它看成是2只脚的鸡了，每只兔少算了2

只脚，共少算了48只脚，48里面有几个2，就是几只兔。

解：(208－2×80)÷(4－2)

＝48÷2

＝24(只)------兔

80－24＝56(只)

答：鸡有56只，兔有24只。

也可以假设80只全是兔，解答如下：

解：(4×80－208)÷(4－2)

＝112÷2

＝56(只)------鸡

80－56＝24(只)

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2、小明参加一次数学竞赛，试题共有10道，每做对一题得10分，错一题扣5

分，小明共得了70分，他做对了几道题？

分析：

假设他做对了10道题，那么应得10×10＝100(分)，而实际只得70分，少30

分，这是因为每做错一题，不但得不到10分，反而倒扣5分，这样做错一题就会

少10＋5＝15(分)，看30分里面有几个15分，就错了几题。

解：(10×10－70)÷(10＋5)

＝30÷15

＝2(道)------错题

10－2＝8(道)

答：他做对了8道题。

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3、有面值5元和10元的钞票共100张，总值为800元。5元和10元的钞票各

是多少张？

分析：

假设100张钞票全是5元的，那么总值就是5×100＝500(元)，与实际相差800

－500＝300元

差的300元，是因为将10元1张的算作了5元的，每张少计算10－5＝5(元)，

差的300元里面有多少个5元，就是多少张10元的钞票。

解：(800－5×10)÷(10－5)

＝300÷5

＝60(张)------10元面值

100－60＝40(张)

答：有10元的钞票60张，5元的钞票40张。

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4、有蜘蛛、蜻蜓和蝉三种动物共21只，共140条腿和23对翅膀，三种动物各

多少只？(蜘蛛8条腿，蜻蜓6条腿2对翅膀，蝉6条腿1对翅膀)

分析：

假设蜘蛛、蜻蜓、蝉都是6条腿，那么总腿数是6×21＝126(条)，比实际少140

－126＝14(条)，这是因为一只蜘蛛是8条腿，把它算作6条腿，每只蜘蛛少计

算了8－6＝2(条)，少算的14条里面有几个2条，就是几只蜘蛛，即14÷2＝7

(只)。从总只数里减7只蜘蛛，就得21－7＝14(只)是蜻蜓和蝉的和。再假设这

14只全是蜻蜓，那么翅膀应是2×14＝28(对)比实际多28－23＝5(对)，这是因

为蝉是1对翅膀，把它算成2对了，每只蝉多算了1对翅膀多出的这5对翅膀里

面有几个1对，就是几只蝉。求出了蝉，蜻蜓可求。

解：(140－6×21)÷(8－6)

＝14÷2

＝7(只)------蜘蛛

21－7＝14(只)

(2×14－23)÷(2－1)

＝5÷1

＝5(只)-------蝉

14－5＝9(只)------蜻蜓

答：蜘蛛7只，蜻蜓9只，蝉5只。

第三章年龄问题

解题关键：“年龄问题”的基本规律是：不管时间如何变化，两人的年龄的差总是不

变的，抓住“年龄差”是解答年龄问题的关键。分析时，可借助线段图分析，结合和

倍、差倍、和差等问题分析方法，灵活解题。

1、爸爸今年42岁，女儿今年10岁，几年前爸爸的年龄是女儿的5倍？

分析：

要求几年前爸爸的年龄是女儿的5倍，首先应求出那时女儿的年龄是多少？爸

爸的年龄是女儿的5倍，女儿的年龄是1倍，爸爸比女儿多5－1＝4(倍)，年龄

多42－10＝32(岁)，对应，可求出1倍是多少，即女儿当时的年龄。

解：(42－10)÷(5－1)

＝32÷4

＝8(岁)

10－8＝2(年)

答：2年前爸爸的年龄是女儿的5倍。

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2、父亲今年比儿子大36岁，5年后父亲的年龄是儿子的4倍，今年儿子几岁？

分析：

父亲今年比儿子大36岁，5年后仍然大36岁。父亲年龄是儿子的4倍，说明

儿子的年龄是1倍，父亲比儿子大4－1＝3(倍)，可求出1倍是多少岁，即5年

后儿子的年龄，那么，现在几岁可求出。

解：36÷(4－1)

＝36÷3

＝12(岁)

12－5＝7(岁)

答：今年儿子7岁。

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3、今年母女年龄和是45岁，5年后母亲的年龄正好是女儿的4倍，今年妈妈和

女儿各多少岁？

分析：

今年母女年龄和是45岁，五年后母女年龄和是45＋5×2＝55(岁)，母亲年龄

是女儿的4倍，女儿年龄是1倍，母女年龄和的倍数是4＋1＝5(倍)，对应，可

求出5年后女儿的年龄，今年她们的年龄可求。

解：(45＋5×2)÷(4＋1)

＝55÷5

＝11(岁)

11－5＝6(岁)45－6＝39(岁)

答：妈妈今年39岁，女儿6岁。

第四章植树问题

解题关键：1、要注意总距离、棵距及棵数三个量之间的关系。

2、要分清图形是否封闭，然后确定是沿线段栽，还是沿周长栽。

3、关系式为：沿线段植树棵数＝总距离÷棵距＋1

沿周长植树棵数＝总距离÷棵距

1、在一段40米长的人行道一侧栽树，每隔5米栽一棵樟树，共需要栽樟树多少

棵？

分析：

如图：♀♀♀♀♀♀♀♀♀

5米

从图上可以看出，“每隔5米栽一棵”就是将40÷5＝8，平均分成8段，因两端

都有一棵树，所以，沿人行道一侧栽树，属沿线段植树。

解：40÷5＋1

＝8＋1

＝9（棵）

答：需要栽樟树9棵。

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想一想：如果这条人行道两侧都这样栽，需要栽多少棵？应怎样算？

2、沿一段公路两旁种杨树，每隔3米种一棵，一共种了502棵。这段公路长多少

米？

分析：

沿公路两旁共种502棵，将502÷2＝251（棵），就得到公路一旁种树棵数

（注意将两旁总棵数除以2），它属于沿线段植树问题，根据关系式，将棵数减

1，乘棵距，可求出总距离。

解：502÷2＝251（棵）

3×（251－1）

＝3×250

＝750（米）

答：这段公路长750米。

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3、把一根48厘米的铁棒锯成8厘米长的短铁棒，如果锯一段需要4分钟，锯完

这根铁棒需要多少分钟？

分析：如图

将48厘米长铁棒锯成8厘米长的短铁棒，就是求48厘米里面有几个8厘

米，就可锯成几段，从图上可以看出“锯的次数比段数要少1”，锯一段需要4分

钟，实际是锯一次要4分钟，求锯完这根铁棒需要多少分钟，先要求出共锯多少

次。

解：48÷8－1＝5（次）

4×5＝20（分钟）

答：锯完这根铁棒需要20分钟。

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4、在一个人工湖周围每隔6米种一棵柳树，一共种了180棵。再在相邻的两棵柳

树间每隔2米种一株月季，问，一共需要多少株月季？

分析：

在人工湖周围种树，属于在封闭图形上栽树问题，即沿周长植树，根据关系

式：

总距离＝棵距×棵数，人工湖周长为6×180＝1080（米）

如果湖的周围没有柳树，全是每隔2米种的月季，月季共1080÷2＝540

（株），而实际其中种有柳树180棵，那么，月季株数应为540－180＝360

（株）。

解：6×180÷2－180

＝540－180

＝360（株）

答：一共需要360株月季。

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解法二：

人工湖周围每隔6米种一棵柳树，共种180棵，就是将湖的周长平均分成180

段，每段长6米，因为这6米的两头已种柳树，所以这中间只能种6÷2－1＝2

（株）月季，共需月季列式为：

（6÷2－1）×180

＝2×180

＝360（株）

第五章盈亏问题

解答公式：两次分配的结果差÷两次分配数差＝人数

或，由于参加分配的总人数不变，参加分配的物品总数不变，因此，可根据

第一种分法的人数＝第二种分法的人数

第一种分法物品总数＝第二种分法物品总数，列出方程来解。

1、一批树苗，如果每人种树苗8棵，则缺少3棵；如果每人种7棵，则有4棵没

人种。求参加种树的人数是多少？这批树苗共有多少棵？

分析：

每人种8棵，则缺少3棵，也就是少3棵。每人种7棵，则有4棵没人种，

也就是多4棵。

那么两次分配的结果差是3＋4＝7，两次分配的数差是8－7＝1

种树人数是：7÷1＝7（人）树苗总数是：8×7－3＝53（人）

解法一：（3＋4）÷（8－7）

＝7÷1

＝7（人）

8×7－3＝53（棵）

答：参加种树的人数是7人，这批树苗共有53棵。

==============================

解法二：

这道题种树人数不变，树苗总棵数不变，若设种树人数为X人，根据第一种分法

的树苗总棵数＝第二种分法的树苗总棵数，列方程解。

解：设种树人数为X人，列方程得

8X－3＝7X＋4

8X－7X＝4＋3

X＝7

8×7－3＝53（棵）

答：（略）

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2、幼儿园老师把一堆苹果分给小朋友，如果每人分6个，则少10个，每人分4

个，还少2个。有多少小朋友？有多少个苹果？

分析：

两次分配都不足，则两次不足数量差就是两次分配的结果差，结果差÷分配差

＝人数

解：（10－2）÷（6－4）

＝8÷2

＝4（人）

6×4－10＝14（个）

答：有4个小朋友，有14个苹果。

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3、学校安排新生住宿，若每间宿舍住6人，则多出34人；若每间宿舍住7人，

则多出4间宿舍，求住宿的学生和宿舍各有多少？

分析：

每间住6人，多出34人，就是不足34张床位；每间住7人，多出4间宿

舍，就是多出7×4＝28张床位。两次分配的结果差就是（34＋28），结果差÷分

配差＝宿舍

解：（34＋28）÷（7－6）

＝62÷1

＝62（间）

6×62＋34＝406（人）

答：住宿的学生共406人，宿舍有62间。

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4、学生分练习本，其中两个人每人分6本，其余每人分4本，则多2本；如果有

一个学生分8本，其余每人分6本，则不足18本。学生有多少人？练习本有多少

本？

分析：

1、有两人分6本，其余每人分4本，余2本，若将分6本的这两人也分4

本，那么这两人又每人余2本，共余2×2＋2＝6（本）。

2、一个学生分8本，其余分6本，不足18本。若将分8本这个学生也同样

分6本，则不足应是18－2＝16（本）。

那么，两次分配的结果差是16＋6＝22（本），分配差是6－4＝2（本）

结果差÷分配差＝人数

解：6－4＝2（本）2×2＋2＝6（本）8－6＝2（本）18－2＝16

（本）

（16＋6）÷（6－4）

＝22÷2

＝11（人）

4×11＋6＝50（本）

答：学生有11人，练习本有50本。

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5、一工人加工一批机器零件，限期完成，他计划每小时做10个，还差3个零件

完成任务，每小时做11个，恰好限期内完成了任务。他加工的零件是多少个？限

几小时完成？

分析：

每小时做10个，差3个，每小时做11个，恰好完成，那么，两次分配的结

果差是3个，两次分配的数差是11－10＝1（个）。根据，结果差÷分配差＝限时

数

解：3÷（11－10）

＝3÷1

＝3（小时）

10×3＋3＝33（个）

答：他加工的零件是33个，限3小时完成。

解法二：

设限X小时完成，根据第一种分法和第二种分法零件个数相等，列方程得

11X＝10X＋3

11X－10X＝3

X＝3

11×3＝33（个）

第六章流水问题

解题关键：船速：船在静水中航行速度；水速：水流动的速度；

顺水速度：顺水而下的速度＝船速＋水速；

逆水速度：逆流而上的速度＝船速－水速。

流水问题具有行程问题的一般性质，即速度、时间、路程。可参照行程问题

解法。

1、一只油轮，逆流而行，每小时行12千米，7小时可以到达乙港。从乙港返航

需要6小时，求船在静水中的速度和水流速度？

分析：

逆流而行每小时行12千米，7小时时到达乙港，可求出甲乙两港路程：12×7

＝84（千米），返航是顺水，要6小时，可求出顺水速度是：84÷6＝14（千

米），顺速－逆速＝2个水速，可求出水流速度（14－12）÷2＝1（千米），因而

可求出船的静水速度。

解：（12×7÷6－12）÷2

＝2÷2

＝1（千米）

12＋1＝13（千米）

答：船在静水中的速度是每小时13千米，水流速度是每小时1千米。

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2、某船在静水中的速度是每小时15千米，河水流速为每小时5千米。这只船在

甲、乙两港之间往返一次，共用去6小时。求甲、乙两港之间的航程是多少千

米？

分析：

1、知道船在静水中速度和水流速度，可求船逆水速度15－5＝10（千米），

顺水速度15＋5＝20（千米）。

2、甲、乙两港路程一定，往返的时间比与速度成反比。即速度比是10÷20＝

1：2，那么所用时间比为2：1。

3、根据往返共用6小时，按比例分配可求往返各用的时间，逆水时间为6÷

（2＋1）×2＝4（小时），再根据速度乘以时间求出路程。

解：（15－5）：（15＋5）＝1：2

6÷（2＋1）×2

＝6÷3×2

＝4（小时）

（15－5）×4

＝10×4

＝40（千米）

答：甲、乙两港之间的航程是40千米。

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3、一只船从甲地开往乙地，逆水航行，每小时行24千米，到达乙地后，又从乙

地返回甲地，比逆水航行提前2.5小时到达。已知水流速度是每小时3千米，

甲、乙两地间的距离是多少千米？

分析：

逆水每小时行24千米，水速每小时3千米，那么顺水速度是每小时24＋3×2

＝30（千米），比逆水提前2.5小时，若行逆水那么多时间，就可多行30×2.5

＝75（千米），因每小时多行3×2＝6（千米），几小时才多行75千米，这就是

逆水时间。

解：24＋3×2＝30（千米）

24×[30×2.5÷（3×2）]

＝24×[30×2.5÷6]

＝24×12.5

＝300（千米）

答：甲、乙两地间的距离是300千米。

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4、一轮船在甲、乙两个码头之间航行，顺水航行要8小时行完全程，逆水航行要

10小时行完全程。已知水流速度是每小时3千米，求甲、乙两码头之间的距离？

分析：

顺水航行8小时，比逆水航行8小时可多行6×8＝48（千米），而这48千米

正好是逆水（10－8）小时所行的路程，可求出逆水速度48÷2＝24（千米），

进而可求出距离。

解：3×2×8÷（10－8）

＝3×2×8÷2

＝24（千米）

24×10＝240（千米）

答：甲、乙两码头之间的距离是240千米。

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解法二：

设两码头的距离为“1”，顺水每小时行1/8，逆水每小时行1/10，顺水比逆水每小

时快1/8－1/10，快6千米，对应。

3×2÷（1/8－1/10）

＝6÷1/40

＝240（千米）

答：（略）

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5、某河有相距120千米的上下两个码头，每天定时有甲、乙两艘同样速度的客

船从上、下两个码头同时相对开出。这天，从甲船上落下一个漂浮物，此物顺水漂

浮而下，5分钟后，与甲船相距2千米，预计乙船出发几小时后，可与漂浮物相

遇？

分析：

从甲船落下的漂浮物，顺水而下，速度是“水速”，甲顺水而下，速度是“船速＋

水速”，船每分钟与物相距：（船速＋水速）－水速＝船速。所以5分钟相距2千

米是甲的船速5÷60＝1/12（小时），2÷1/12＝24（千米）。因为，乙船速与甲

船速相等，乙船逆流而行，速度为24－水速，乙船与漂浮物相遇，求相遇时间，

是相遇路程120千米，除以它们的速度和（24－水速）＋水速＝24（千米）。

解：120÷[2÷（5÷60）]

＝120÷24

＝5（小时）

答：乙船出发5小时后，可与漂浮物相遇。

第七章、平均问题

解题关键：根据已知条件确定“总数量”和“总份数”而且必须使“总数量”和“总份数”

相对应。然后用

总数量÷总份数＝平均数

1、小明从甲地到乙地办事，去时由于上山，每小时走3千米，回来时下山，每小

时走5千米，他往返甲乙两地的平均速度是多少千米？

分析：求平均速度应是“总路程÷总时间＝平均速度”。这道题没有告诉甲乙两地路

程，我们假设它“1”，那么，去时走的时间应为1÷3＝1/3，回来时用的时间应为

1÷5＝1/5

，往返甲乙两地的总路程应为1×2，总时间为(1/3+1/5)。

解：设甲乙两地的路程为“1”

2÷(1/3+1/5)

＝2÷8/15

＝3.75(千米)

答：他往返甲乙两地的平均速度是3.75千米。

2、某班有40名学生，一次数学考试，有2名同学因故缺考，这时班级平均分数

是88分，缺考的两名同学补考各得98分，这个班这次考试平均分数是多少？

分析：求这个班这次考试平均分数，就是求全班40名同学的平均分。根据题意，

考试时40名同学，有2个缺考，就是38名同学的平均分88分，他们的总分是

88×(40－2)，缺考的2名同学补考各得98分，他俩的总分是98×2，那么全班

40名同学的总分应是88×(40－2)＋98×2，

根据

总数量÷总份数＝平均数

解：[88×(40－2)＋98×2]÷40

＝[3344＋916]÷40

＝3540÷40

＝88.5(分)

答：这个班这次考试平均分数是88.5分。

3、有六个数，其平均数是8.5，前四个数的平均数是9.25，后三个数的平均数

是10，第四个数是多少？

分析：六个数的平均数是8.5，那么，六个数的总和是8.5×6＝51

前四个数的平均数9.25，那么，前四个数的总和是9.25×4＝37

后三个数的平均数是10，那么后三个数的总和是10×3＝30

如果将前四个数的总和＋后三个数的总和，恰好重叠了第四个数，比六个数的

总和多第四个数。

解：(9.25×4＋10×3)－8.5×6

＝67－51

＝16

答：第四个数是16。

4、有红、黄、白三种颜色的乒乓球，已知红、黄两种球平均11个；黄、白两种

球平均8个；红、白两种球平均9个。三种球各多少个？

分析：由红、黄两种球平均11个，得红、黄两种球和为11×2＝22(个)

由黄、白两种球平均8个，得黄、白两种球和为8×2＝16(个)

由红、白两种球平均9个，得红、白两种球和为9×2＝18(个)

那么，22＋16＋18＝56(个)是三种球总和的2倍，将56÷2＝28(个)就得到

红、黄、白三种球的和，再将这三种球的和减去任意两种球的和，可得得到第三种

球的个数。

解：(11×2＋8×2＋9×2)÷2

＝56÷2

＝28(个)

白球：28－11×2＝6(个)

红球：28－8×2＝12(个)

黄球：28－9×2＝10(个)

答：红球12个，黄球10个，白球6个。

第八章、相遇问题

解题指导：

“相遇问题”(或相背问题)是两个物体以不同的速度从两地同时出发，(或从一地

同时相背而行)，经若干小时上遇(或相离)。我们若把两物体速度之和称之为“速度

和”，从同时出发到相遇(或相距)时止，这段时间叫“相遇时间”；两物体同时走的

这段路程叫“相遇路程”，那么，它们的关系式是：

速度和×相遇时间＝相遇路程

相遇路程÷速度和＝相遇时间

相遇路程÷相遇时间＝速度和

1、甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相对开出，甲车每小时行42.5千米，乙车每

小时行38千米，4小时后，两车还相距35.5千米，求A、B两地的距离？

分析：

从题中已知甲乙两车的速度，它们速度和是42.5＋38＝80.5(千米)

相遇时间是4小时，相遇路程可。

A、B两地的距离是：相遇路程＋还相距的35.5千米

解：(42.5＋38)×4＋35.5

＝80.5×4＋35.5

＝322＋35.5

＝357.5(千米)

答：A、B两地的距离是357.5千米。

2、一辆货车和一辆客车同时从相距299千米的两地相向而行，货车每小时行40

千米，客车每小时行52千米，问：几小时后两车第一次相距69千米？再过多少

时间两车再次相距69千米？

分析：

从题意可知，第一次相距69千米，就是两车还没有相遇，还差69千米，相遇路

程应是299－69，

根据相遇路程÷速度和＝相遇时间，即230÷(40＋52)＝2.5(小时)。

第二次相距69千米，是在行完第一次相距的69千米相遇后，到再相离69千

米，实际共行2个69千米。

根据：路程÷速度和＝时间

可解。

解：(299－69)÷(40＋52)

＝230÷92

＝2.5(小时)

(69×2)÷(40＋52)

＝138÷92

＝1.5(小时)

答：2.5小时后两车第一次相距69千米，再过1.5小时两车再次相距

69千米。

第九章、追及问题

解题关键：追及问题是两物体速度不同向同一方向运动，两物体同时运动，一个在

前，一个在后，前后相隔的路程若把它叫做“追及的路程”，那么，在后的追上前一

个的时间叫“追及时间”。

关系式是：

追及的路程÷速度差＝追及时间

1、A、B两地相距28千米，甲乙两车同时分别从A、B两地同一方向开出，甲车

每小时行32千米，乙车每小时行25千米，乙车在前，甲车在后，几小时后甲车

能追上乙车？

分析：如图

根据题意可知要追及的路程是28千米，每行1小时，甲车可追上32－25＝

7千米

即速度差。看28千里面有几个7千米，就要几小时追上。

也就是：

追及的路程÷速度差＝追及时间

解：28÷(32－25)

＝28÷7

＝4(小时)

答：4小时后甲车能追上乙车。

2、两辆汽车都从甲地开往乙地，第一辆车以每小时30千米的速度从甲地开出，

第二辆车晚开12分钟，以每小时40千米的速度从甲地开出，结果两车同时到达

乙地。求甲乙两地的路程？

分析：从题意可知两车从同一地出发，第二辆车晚开12分钟，也就是第一辆车出

发12分钟后，第二辆车才出发，那么，追及的路程是第一辆12分钟所行的路

程，即30×＝6(千米)。两车同时到达乙地，也就是第二辆车刚好追上第一辆

车，追及的时间就是第二辆车从甲地到乙地行驶的时间。即6÷(40－30)＝0.6(小

时)，已知速度和时间，甲乙两地的距离可求。

解：30×12/60

＝6(千米)6÷(40－30)＝0.6(小时)

40×0.6＝24(千米)

答：甲乙两地的路程是24千米。

3、甲乙二人在周长600米的水池边上玩，两人从一点出发，同向而行30分钟后

又走到一起，背向而行4分钟相遇。求两人每分钟各行多少米？

分析：

两人从一点出发同向而行，速度有快、有慢，形成前后，从出发到再次走到一起，

看作追及问题，追及的路程是600米，追及的时间30分钟，根据“追及的路程÷追

及的时间＝速度差”，可求出速度差是600÷30＝20(米)。又背向而行4分钟相

遇，属相遇问题，相遇的路程是600米，相遇时间是4分分钟，根据“相遇路程÷

相遇时间＝速度和”，可求出速度和是600÷4＝150(米)。然后根据“和差问题”(和

＋差)÷2＝大数，(和－差)÷2＝小数，可求出两人的速度。

解：600÷30＝20(米)600÷4＝150(米)

(20＋150)÷2＝85(米)(150－20)÷2＝65(米)

答：甲每分钟行85米，乙每分钟行65米。

4、甲骑自行车行12分钟后，乙骑摩托车去追他，在距出发点9千米处追上了

甲。乙立即返回出发点拿东西，后又立即返回去追甲，再追上甲时恰好离出发点

18千米。求甲、乙的速度？

分析：如图

从图中可知，甲行9千米，乙则行了9＋18＝27(千米)，即乙的速度是甲的

27÷9＝3(倍)

那么，从乙出发到第一次追上甲时，乙行9千米，甲应只行9÷3＝3(千米)，可

求出甲先行12分钟的路程应是9－3＝6(千米)，从而可求出甲速度是6÷12＝0.5

(千米)，由此可求出乙速度。

解：(9＋18)÷9＝3(倍)9÷3＝3(千米)9－3＝6(千米)

6÷12＝0.5(千米)甲每分钟行的路程

0.5×3＝1.5(千米)乙每分钟行的路程

答：甲每分钟行0.5千米，乙每分钟行1.5千米。

第十章、时钟问题

解题关键：时钟问题属于行程问题中的追及问题。钟面上按“时”分为12大格，按

“分”分为60小格。每小时，时针走1大格合5小格，分针走12大格合60小

格，时针的转速是分针的1/12，两针速度差是分针的速度的11/12，分针每小时

可追及11/12。

1、二点到三点钟之间，分针与时针什么时候重合？

分析：两点钟的时候，分针指向12，时针指向2，分针在时针后5×2＝10（小

格）。而分针每分钟可追及1－1/12＝11/12（小格），要两针重合，分针必须追

上10小格，这样所需要时间应为（10÷11/12）分钟。

解：

（5×2）÷（1－1/12）＝10÷11/12＝10+10/11（分）

答：2点10+10/11分时，两针重合。

2、在4点钟至5点钟之间，分针和时针在什么时候在同一条直线上？

分析：分针与时针成一条直线时，两针之间相差30小格。在4点钟的时候，分针

指向12，时针指向4，分针在时针后5×4＝20（小格）。因分针比时针速度快，

要成直线，分针必须追上时针（20小格）并超过时针（30小格）后，才能成一条

直线。因此，需追及（20＋30）小格。

解：

（5×4＋30）÷（1－1/12）＝50÷11/12＝54+4/11（分）

答：在4点54+4/11分时，分针和时针在同一条直线上。

3、在一点到二点之间，分针什么时候与时针构成直角？

分析：分针与时针成直角，相差15小格（或在前或在后），一点时分针在时针后

5×1＝5小格，在成直角，分针必须追及并超过时针，才能构成直角。所以分针需

追及（5×1＋15）小格或追及（5×1＋45）小格。

解：

（5×1＋15）÷（1－1/12）＝20÷11/12＝21+9/11（分）

或（5×1＋45）÷（1－1/12）＝50÷11/12＝54+6/11（分）

答：在1点21+9/11分和1点54+6/11分时，两针都成直角。

4、星期天，小明在室内阳光下看书，看书之前，小明看了一眼挂钟，发现时针与

分针正好处在一条直线上。看完书之后，巧得很，时针与分针又恰好在同一条直线

上。看书期间，小明听到挂钟一共敲过三下。（每整点，是几点敲几下；半点敲一

下）请你算一算小明从几点开始看书？看到几点结束的？

分析：连半点敲声在内，一共敲了三下，说明小明看书的时间是在中午12点以

后。12点以后时针与分针：

第一次成一条直线时刻是：（0＋30）÷（1－1/12）＝30÷11/12＝32+8/11

（分）

即12点32+8/11分。

第二次成一条直线时刻是：（5×1＋30）÷（1－1/12）＝35÷11/12＝

38+2/11（分）

即1点38+2/11分。

第三次成一条直线的时刻是：（5×2＋30）÷（1－1/12）＝40÷11/12＝

43+7/11（分）

即2点43+7/11分。

如果从12点32+8/11分开始，到1点38+2/11分，只敲2下，到2点

43+7/11分，就共敲5下（不合题意）

如果从1点38+2/11分开始到2点43+7/11分，共敲3下。因此，小明应从

1点38+2/11分开始看书，到2点43+7/11分时结束的。

5、一只挂钟，每小时慢5分钟，标准时间中午12点时，把钟与标准时间对准。

现在是标准时间下午5点30分，问，再经过多长时间，该挂钟才能走到5点30

分？

分析：1、这钟每小时慢5分钟，也就是当标准钟走60分时，这挂钟只能走60－

5＝55（分），即速度是标准钟速度的55/60＝11/12。

2、因每小时慢5分，标准钟从中午12点走到下午5点30分时，此挂钟共慢

了5×（17+1/2－12）＝27+1/2（分），也就是此挂钟要差27+1/2分才到5点

30分。

3、此挂钟走到5点30分，按标准时间还要走27+1/2分，因它的速度是标准

时钟速度的1/12，实际走完这27+1/2分所要时间应是（27+1/2）÷11/12。

解：5×（17+1/2－12）＝27+1/2（分）

（27+1/2）÷11/12＝30（分）

答：再经过30分钟，该挂钟才能走到5点30分。

第十一章、工程问题

解题指导：“工程问题”指的都是两个人以上合作完成某一项工作，有时还将内容延

伸到相遇运动和向水池注水等等。解答工程问题时，一般都是把总工作量看作单位

“1”，把单位“1”除以工作时间看成工作效率，因此，工作效率就是工作时间的倒

数。

工程问题睥关系式是：工作总量÷工作效率＝工作时间

或：工作总量÷工作效率和＝合作的时间

1、加工360个零件，单独完成这批任务，甲需要20天，乙需要30天，两人共

同工作，需要多少天能完成任务？

分析：加工360个零件，单独完成，甲需20天，甲的工作效率是360÷20＝18

(个)，乙需要30天，乙的工作效率是360÷30＝12(个)，两人合作，那么工作效

率和是18＋12＝30(个)。

根据：

工作总量÷工作效率和＝合做的工作时间，即360÷30＝12(天)

解：360(360÷20＋360÷30)

＝360÷30

＝12(天)

答：需要12天能完成任务。

或：如果把工作总量360个看作单位“1”，那么，甲的工作效率是1/20，乙的

工作效率是1/30

他们的工作效率和是1/20＋1/30，根据：工作总量÷工作效率和＝合做的工

作时间

1÷(1/20＋1/30)

＝1÷1/12

＝12(天)

2、一项工程，由甲队单独工作需要15天完成，由乙队单独工作需要12天完成，

由丙队单独工作需要10天完成。现在由甲乙两个工程共同工作了3天后，剩下的

工程由丙队单独完成，丙队还需要几天才能完成这项工程？

分析：

这一项工程看作单位“1”，甲队单独工作需15天完成，工效应是1/15，乙队

单独工作需要12天完成，乙工效应是1/12，丙队单独工作需10天完成，丙队工

效应是1/10，现由甲乙两队先共同工作3天，可完成这项工程的(1/15＋1/12)×3

＝9/20，还剩下1－9/20＝11/20，剩下的由丙队去完成，需要的天数是

11/20÷1/10

解：[1－（1/15＋1/12）×3]÷1/10

＝[1－9/20]÷1/10

＝11/20÷1/10

＝5.5（天）

答：丙队还需要工作5.5（天）

3、一个水池安装甲、乙两个进水管和丙放水管，单开甲管4小时能把空池注满

水，单开乙管5小时能把空池注满水，单开丙管3小时能把满池水放完。现在三

管同时打开，几小时能把空池注满？

分析：

把一池水看作单位“1”，单开甲管4小时能注满，甲效是1/4，单开乙管5小

时能注满，乙效是1/5，单开丙管3小时能放完，丙效是1/3。三管同时打开，因

甲、乙是进水管，使水增加，丙是放水管，使水减少，那么，三管齐开的工作效率

和是1/4＋1/5－1/3，工作时间可求。

解：1÷(1/4＋1/5－1/3)＝1÷7/60＝8+4/7(小时)

答：三管同时打开8+4/7小时能注满水池。

4、一项工程，甲单独干需要20天，乙单独干需要30天，现在由他们两人合干，

又知甲在工作途中先请了3天事假，后因公事出差2天。求他们完成这项工程从

开工到结束一共花了多少天？

分析：

甲单独干需要20天，甲的工作效率是1/20，乙单独干需要30天，乙的工作

效率1/30。又甲工作途中请了3天事假，出差2天，而乙从开工到完工一直在

干，那么，甲走5天时，乙是单独5天，其余天数是甲乙合干的。即从工程

总量中减去乙独干的5天工作量，余下的合干的。合干的天数＋乙单独干的5天

＝完成工程共花的天数。

解：(1－1/30×5)÷(1/20＋1/30)＋5

＝5/6÷1/12＋5

＝10＋5

＝15(天)

答：他们完成这项工程一共花了15天。

5、有A、B两项工作，王师傅独做A项工作要9天完成，独做B项工作要12天

完成；李师傅独做A项工作要3天完成，独做B项工作要15天完成。如果两人

合作完成这两项工作，最少需要多少天？

分析：

独做A项工作天数

工效

独做B项工作天数

工效

王师傅9天1/912天1/12

李师傅3天1/315天1/15

如果按两人先共同做完A项工作，再共同去完成B项工作，那么，完成这两

项工作的天数是

1÷(1/9＋1/3)＋1÷(1/12＋1/15)

＝1÷4/9＋1÷9/60

＝（2+1/4）＋（6+2/3）

＝8+11/12(天)

而题目要求最少需要多少天，上面所求天数是最少的吗？否，从分析中我们看

到，做A项工作李师傅工效高，做B项工作王师傅工效高。要想时间最少，必须

发挥各人的特长，选择最佳分配方法。这就让李师傅单独去做3天完成A项工

作，王师傅先单独做B项工作，3天后，待李师傅完成了A项工作，再两人共同

做B项工作剩下的部分。

解：(1－1/12×3)÷(1/12+1/15)+3

＝3/4÷9/60+3

＝5+3

＝8(天)

答：完成这两项工作最少需要8天。

最后说下抽屉原则

抽屉原则的常见形式

一，把n+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，一定存在一个抽屉中

至少有两个物体。

二，把mn+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，一定存在一个抽屉

中至少有m+1个物体。

三，把m1+m2+…+mn+k（k≥1）个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，那

么后在一个抽屉里至少放入了m1+1个物体，或在第二个抽屉里至少放入了

m2+1个物体，……，或在第n个抽屉里至少放入了mn+1个物体

四，把m个物体以任意方式全部放入n个抽屉中，有两种情况：①当n|m时

（n|m表示n整除m），一定存在一个抽屉中至少放入了m/n物体；②当n不能

整除m时，一定存在一个抽屉中至少放入了m/n+1个物体（[x]表示不超过x的

最大整数）

五，把无穷多个元素分成有限类，则至少有一类包含无穷多个元素。

注：背下来上面的几种形式没有必要，但应当清楚这些形式虽然不同，却都表示的

一个意思。理解它们的含义最重要。在各种竞赛题中，往往抽屉原则考得不少，但

一般不会很明显的让人看出来，构造抽屉才是抽屉原则中最难的东西。一般来说，

题目中一旦出现了“总有”“至少有”“总存在”之类的词，就暗示着我们：要构造抽屉

了。

试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案。一群学生参加考试。结果

是对于其中任何3人，都有一个题目的答案互不相同。问参加考试的学生最多有

多少人？

当参加考试的人数=9时可以实现任何三人都有一个题目的答案互不相同。

假设每题的选择答案是a,b,c

人123456789

题

1aaabbbccc

2abcabcabc

3abccabbca

4abcbcacab

当参加考试的人数=10时,我们先看第一题，肯定有一个答案的人数小于等于3，

也就是说肯定有7个以上的人，他们第一道题的答案不超过两种。再来看这7个

人和第二道题，肯定有一个答案的人数小于等于2，也就是说肯定有5个以上的

人，

他们第二道题的答案不超过两种。也就是说肯定有5个以上的人第一道和第二道

题的答案都不超过两种。再来看这5个人和第三道题，肯定有一个答案的人数小

于等于1，也就是说肯定有4个以上的人，他们第三道题的答案不超过两种。也就

是说肯定有4个以上的人第一道题、第二道题和第三道题的答案都不超过两种。

最后再看这4个人和第四道题，肯定有一个答案的人数小于等于1，也就是说肯定

有3个以上的人，他们第四道题的答案不超过两种。也就是说肯定有3个以上的

人

第一道题、第二道题、第三道题和第四道题的答案都不超过两种。这就跟题目的

要求矛盾了。

8个学生角8道题目

⑴若每道题至少被5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被这两个学

生中的一个解出。

⑵如果每道题只有4个学生解出，那么⑴的结论一般不成立。试构造一个例子说

明这点。

若每道题至少被5人解出，请说明可以找到两个学生，每道题至少被这两个学生

中的一个解出。

我们可分4种情况讨论一下：

1.假设解题最多的人A解出8道题

这是我们可以选他和任意一个人都能满足题目要求。

2.解题最多的人A解出7道题

A没有解出的那道题至少有五个人解出，我们任选一个和A能满足题目要求。

3.解题最多的人A解出6道题

A没有解出的那两道题每道题有五个人解出，共有10个人次解出，但只有7个

人，肯定有一个人全部解出了这两道题。

我们就选他和A能满足题目要求。

4.解题最多的人A解出5道题

也就是说每人都解出了5道题。我们任选一个人设为A,A没有解出的那三道题每

道题有五个人解出，共有15个人次解出，

但只有7个人，肯定有一个人解出了三道题。我们就选他和A能满足题目要求。