最简二次根式

最简二次根式(1)

教学目标

1.使学生理解最简二次根式的概念；

2.掌握把二次根式化为最简二次根式的方法；

教学重点和难点

重点：化二次根式为最简二次根式的方法.

难点：最简二次根式概念的理解.

教学过程设计

一、导入新课

计算：

(1)3a·6a2; (2)8a5÷6a2.

解(1)3a·6a2=3a×6a2=3×3×2a×a2

=32·a2·2a=3a2a;

(2)8a5÷6a2=8a56a2=4a33=4a2·a3=2aa3

=2aa·33·3=2a3a3.

我们再看下面的问题：

如果已知3≈1.732，能不能求出13与27的近似值呢?

答：直接求13及27的近似值比较麻烦.若先把13及27分别化简，得

到

13=13=1×33×3=33.

27=32×3=32×3=33.

再利用3≈1.732来计算就简便了.

从上面例子可以看出，如果把二次根式先进行简化，会对解决问题

带来方便.

二、新课

观察上面的计算题，得到结果3a2a及2a3a3都具有什么特点呢?

答：

1.被开方数的因数是整数或整式；

2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

满足上面两个条件的二次根式叫做最简二次根式.

例1试判断下列各式中哪些是最简二次根式，哪些不是?为什么?

(1)3a3b; (2)3ab2; (3)x2+y2;

(4)a－b(a>b); (5)5x3; (6)8xy.

解(1)不是最简二次根式.因为a3=a2·a，而a2可以开方，即被开

方数中有开得尽方的因式.

(2)不是最简二次根式.因为被开方数的因数是分数32，不是整数.

(3)是最简二次根式.因为被开方数的因式x2+y2开不尽方，而且是

整式.

(4)是最简二次根式.因为被开方数的因式a－b开不尽方，而且是整

式.

(5)是最简二次根式.因为被开方数的因式5x开不尽方，而且是整

式.

(6)不是最简二次根式.因为被开方数中的因数8=22·2，含有开得

尽方的因数22.

指出：从(1)，(2)，(6)题可以看到如下两个结论.

1.在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二

次根式；

2.在二次根式的被开方数中每一个因式(或因数)，如果幂的指数等

于或大于2，也不是最简二次根式.

例2把下列各式化为最简二次根式：

(1)12； (2)45a2b; (3)8(x+y)3.

分析：把被开方数分解因式或因数，再利用积的算术平方根的性质

及a2=a(a≥0)进行化简.

解(1)12=22×3=22×3=23;

(2)45a2b=32×5a2b=32a25b=3a5b;

(3)8(x+y)3=22×2(x+y)2(x+y)

=22(x+y)22(x+y)

=2(x+y)2(x+y).

例3把下列各式化成最简二次根式：

(1)4112; (2)x2yx; (3)328n33m.

分析：题(1)的被开方数是带分数，应把它变成假分数，然后将分

母有理化，把原式化

成最简二次根式.

题(2)及题(3)的被开方数是分式，先应用题商的算术平方根的性质

把原式表示为两个根式的商的形式，再把分母有理化，把原式化成最简

二次根式.

解(1)4112=432=432=42×22×2=462=26;

(2)x2yx=x2yx=x2yxxx=x2xyx=xxy;

(3)328n33m=38n323m=322·2n2·n23m=3×2n2n23m

=3n2n3m3m3m=3n6mn3m=n6mnm.

通过例2、例3，请同学们总结出把二次根式化成最简二次根式

的方法.

答：如果被开方数是分式或分数(包括小数)先利用商的算术平

方根的性质，把它写成分式的形式，然后利用分母有理化化简.

如果被开方数是整式或整式，先把它分解因式或分解因数，然

后把开得尽方的因式

事或因数开出来，从而将式子化简.

三、课堂练习

1.在下列各式中，是最简二次根式的式子为( ).

A.16a B.m－n5 C.a18 D.6x4y3

2.在式子18，13，0.5m,x2+4,2a,a－ba+b中，是最简二次根式的

式子有( )个.

A.2 B.3 C.1 D.0

3.把下列各式化成最简二次根式：

(1)32； (2)2a3b3; (3)1.5;

(4)43; (5)20a2bc; (6)x218x30.

四、小结

1.最简二次根式必须满足两个条件：

(1)被开方数的因数是整数，因式是整式；

(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.

2.把一个式子化为最简二次根式的方法是：

(1)如果被开方数是整式或整数，先把它分解成因式(或因数)的积

的形式，把开得尽方的因式(或因数)移到根号外；

(2)如果被开方数含有字母，应去掉分母的根号.

五、作业

1.把下列各式化成最简二次根式：

(1)618; (2)10145; (3)xy; (4)16a; (5)32;

(6)0.2.

2.把下列各式化成最简二次根式：

(1)0.4m2n; (2)2a2148a; (3)1xx3;

(4)1467a; (5)5672ab3; (6)456a.

答案：

1.(1)322; (2)65; (3)xyy; (4)6a6a; (5)42;

(6)55.

2.(2)m10n5; (2)a63a; (3)x; (4)2a7ab; (5)5b2ab;

(6)23a30a.