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反比例函数K的几何意义专题

一．教学分析

反比例函数知识看似简单，好像就只有定义，图像，性质，但在实际的中考中，它常

与图形的面积交汇在一起，是中考的热点之一．本节内容在这一章中也占据着举足轻

重的地位，是一次函数的延续和二次函数的基础，在初中函数的学习中起着承上启下的

作用．

（一）、教学目标

1.知识目标；

（1）、理解K的几何意义，会由已知条件求函数解析式和简单图形的面积

（2）、熟练掌握反比例函数的图像和性质，灵活运用K的几何意义.

2.能力目标；

在教学过程中引导学生自主探索、思考及想象，经历探索K的几何意义的

过程，发展学生分析归纳和概括的能力，

3.情感目标；

通过学习，培养学生积极参与和勇于探索的精神，科学的学习态度，同时通

过多媒体演示激发学生学习的兴趣．

（二）、教学重点：K的几何意义的探究与运用

教学难点：灵活运用K的几何意义.

（三）教学方法：自主探究、合作交流、讲练结合

教学模式问题——探究——总结——应用

（四）、教学准备：多媒体课件.

二、考点分析：反比例函数是历年中考数学的一个重要考点章节，且多以大题的形

式出现，常常结合三角形，四边形等相关知识综合考察.所以，应该引起广大学生的重

视.反比例函数中k的几何意义也是其中一块很重要的知识章节，常在中考选择题，计

算大题中进行考察.这类考题大多考点简单但方法灵活，目的在于考察学

生的数学图形思维•

本次专题目的在于让学生掌握反比例函数中k的几何意义这一知识要点，灵

活利用这一知识点解决数学问题，并熟悉与反比例函数k几何意义的常见考察方式和解题

思路.

三、学情分析

反比例函数的图象是学生中学阶段首次遇到的非线性函数的图

象，而且反比例函数的图象还是不连续的断开的两支曲线，而学生的认

知结构中仅有正比例、一次函数即所谓的线性函数的作图经验，逐步学

习利用数形结合的思想分析问题和解决问题，提高解决问题的能力.

四、授课内容：

（一）:反比例函数与矩形面积

这就说明，过双曲线上任意一点作x轴、y轴的垂线，所得到的矩形的面积为常数K1

・这是系数k几何意义，明确了k的几何意义，会给解题带来许多方便•设计意图：利用

多媒体直观展示图形的变化，吸引学生的注意力，激发学生的学习兴趣.

推广：反比例函数与三角形面积

k

y~-

X上任意一点，作FAXx轴于A点，PB丄y

轴于B点，则矩形PBOA的面积是"（三角形FAO和三角形PBO的面积都是

訓

设计意图：两个题目让学生经历由特殊到一般，由猜想到归纳，教给学生考虑

如图1,设点P（a，b）是双曲线

).

问题的方法，同时渗透了数形结合思想与分类讨论的数学思想

(二)例题讲解

千里之行始于足下

例题1■如图,点P是反比例函数的面积

为—.

设计意图：这几个题目为了及时掌握总结的知识点，加深印象，强化学生的数形结合能

力.

例3如图，点A，B是双曲线上的点，过点A、B两点分别向x轴、y轴

作垂线，若S阴影=1,则S1+S2=__

2

例4.在反比例函数y二-(x0)的图象上，有点R,P2,P3,P4，它们的横坐

x

标依次为1,2,3,4•分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部

设计意图：对面积类题目进行了一次升华，目的是使课堂面向全体学生，照顾优

图象上的一点，PD丄x轴于D.则MOD

分的面积从左到右依次为

,S则

试比较/AOC的面积S1,/BOD的面积S2,/POE的面积S3的大小:

B两点，P是AB上的点,

例2:

等生，提高分析能力•培养学生的表达能力和分析能力，树立合作学习的理念

趁热打铁，大显身手

1.已知点A是反比例函数上的点，过点A作

AP丄x轴于点P,已知△AOP的面积3,贝Uk的值是（）

A.6B.—6C.—3D.3

234题

设计意图：灵活运用k的几何意义解决面积类题目进行了一次升华，培养学生的表达能力

和分析能力，树立合作学习的理念.

（三）根据中心对称解题

1

例题6.正比例函数y=x与反比例函数y=丄的图象相交于A、C两点，AB丄

x

x轴于B，CD?丄x轴于D，如图所示，则四边形ABCD的为

例题7

设计意图：让学生感受知识间的联系，双曲线具有轴对称性，中心对称性，

妙用其图像的对称性，有利于我们理清思路，快速解题，它是一个重要的解题技巧.

五•中考题型精选

120.如圏・点咖B是反比洌函數<«>0）图象上任意两点，过

爪日毎别作张的垂纟蚣垂足为环D，连接畑AO,BD,AKED的

面與为乩则梯形CABD的面秧为（>

180.如罰A是報曲线V=^（x>0）上的点，讨点A作AE丄谧于点E,作掘丄卅于点F,

91__

AExAF与我曲线尸?&>0）分别交于点BxC,贝I］四边形ABM的面槟是（）

设计意图：这个简单而有用的结论，较好的体现了数形结合

•是解决反比

例函数问题的有力的侗剧，因而备受各地中考命题人的关注和青睐，在中考中，反比例函

数方面的考题多与一次函数，三角形，特殊四边形等知识综合来进行考查，常以中低难

度的选择题，填空题的形式出现•

六•课堂练习

1若A（m，n）是反比例函数图象上的一动点，其中0vmv3,点B的坐标（3，2），过点A作直线

AC//x轴，交y轴于点C;过点B作直线BD//y轴交x轴于点D，交直线AC于点E，当四边形OBEA的面积

为6时，请判断线段AC与AE的大小关系，并说明理由.

2、已知反比例函数y=12/x与一次函数y=kx—7的图象都经过点P（m，2），函数y=kx—7的图

象交y轴于点Q.试求这个一次函数的解析式及△OPQ的面积.

设计意图：检查学习效果，巩固所学知识，作业面向全体，照顾大多数，同

时也要注意培养优等牛，选拔数学人才，激励学牛深入研究，给学牛发展空

间.七、课时总结：

让学生谈谈本节课有哪些收获?

B.6C.7

D・8

5-（2012-1%^州）如图，点礎反比制函数产-夕（i<0）的图象上的一

点，过点殊如m■fe郛■，匸在渤上，融在渤上，孙就呦面

#助（）

D.10

OE

设计意图：对本节课的内容进行一次系统回顾，进一步加深印象，巩固所学

知识，加强学生的表达能力.

八、作业布置

若A(m,n)是反比例函数图象上的一动点，其中0vmv3,点B的坐标(3,2)，过点A

作直线AC//x轴，交y轴于点C;过点B作直线BD//y轴交x轴于点D，交直线AC于点E，当四

边形OBEA的面积为6时，请判断线段AC与AE的大小关系，并说明理由.设计意图：检查

学习效果，巩固所学知识，作业面向全体，照顾大多数，同时也要注

意培养优等生，选拔数学人才，激励学生深入研究，给学生发展空

间.

九板书设计

教学设计说明：

本节课的设计力求体现使学生学会学习，为学生终身学习做准备”的理念，努力实

现学生的主体地位，使数学教学成为一种过程教学，并注意教师角色的转变，为学生

创造一种宽松和谐、适合发展的学习环境，创设一种有利于思考、讨论、探索的学习

氛围，根据学生的实际水平，选择恰当的教学起点和教学方法•由此我采用问题一一

探究一一总结一一应用”的学科教学模式,把主动权充分的还给学生，让学生在自己

已有经验的基础上提出问题，明确

学习任务，教师引导学生观察、发现、猜想、操作、动手实践、自主探索、

合作交流，寻找解决的办法并最终探求到真正的结果，从而体会到数学的奥

妙与成功的快乐•