二重积分的应用

第九章二重积分

【本章逻辑框架】

【本章学习目标】

⒈理解二重积分的概念与性质，了解二重积分的几何意义以及二重积分与定积分之间的联

系，会用性质比较二重积分的大小，估计二重积分的取值范围。

⒉领会将二重积分化为二次积分时如何确定积分次序和积分限，如何改换二次积分的积分次

序，并且如何根据被积函数和积分区域的特征选择坐标系。熟练掌握直角坐标系和极坐标系

下重积分的计算方法。

⒊掌握曲顶柱体体积的求法，会求由曲面围成的空间区域的体积。

9.1二重积分的概念与性质

【学习方法导引】

1．二重积分定义

为了更好地理解二重积分的定义，必须首先引入二重积分的两个

“原型”，一个是几何的“原型”－曲顶柱体的体积如何计算，另一

个是物理的“原型”—平面薄片的质量如何求。从这两个“原型”出

发，对所抽象出来的二重积分的定义就易于理解了。

二重积分的计算

在极坐标系中二重积分的计算

在直角坐标系中二重积分的计算

二重积分的概念与性质

二重积分的应用

在二重积分的定义中，必须要特别注意其中的两个“任意”，一

是将区域D成n个小区域

12

,,,

n

的分法要任意，二是在每个

小区域

i

上的点(,)

iii

的取法也要任意。有了这两个“任意”，

如果所对应的积分和当各小区域的直径中的最大值0时总有同一

个极限，才能称二元函数(,)fxy在区域D上的二重积分存在。

2．明确二重积分的几何意义。

(1)若在D上(,)fxy≥0，则(,)d

D

fxy表示以区域D为底，以

(,)fxy为曲顶的曲顶柱体的体积。特别地，当(,)fxy＝1时，(,)d

D

fxy

表示平面区域D的面积。

(2)若在D上(,)fxy≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方，二

重积分(,)d

D

fxy的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积

(3)若(,)fxy在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域

上为负的，则(,)d

D

fxy表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和

(即在Oxy平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的

体积).

3．二重积分的性质，即线性、区域可加性、有序性、估值不等

式、二重积分中值定理都与一元定积分类似。有序性常用于比较两个

二重积分的大小，估值不等式常用于估计一个二重积分的取值范围，

在用估值不等式对一个二重积分估值的时候，一般情形须按求函数

(,)fxy在闭区域D上的最大值、最小值的方法求出其最大值与最小

值，再应用估值不等式得到取值范围。

【主要概念梳理】

1.二重积分的定义设二元函数f(x,y)在闭区域D上有定义且有

界.

分割用任意两组曲线分割D成n个小区域

12

,,,

n

，同

时用

i

表示它们的面积，1,2,,.in其中任意两小块

i

和()

j

ij

除边界外无公共点。

i

既表示第i小块,又表示第i小块的面积.

近似、求和对任意点(,)

iii

,作和式

1

(,).

n

iii

i

f





取极限若

i

为

i

的直径，记

12

max{,,,}

n

,若极限

0

1

lim(,)

n

iii

i

f











存在，且它不依赖于区域D的分法，也不依赖于点(,)

ii

的取法，称

此极限为f(x,y)在D上的二重积分.记为

0

1

(,)dlim(,).

n

ii

i

D

fxyf













称f(x,y)为被积函数，D为积分区域，x、y为积分变元，d为面积微元

(或面积元素).

2.二重积分(,)d

D

fxy

的几何意义

(1)若在D上f(x,y)≥0，则(,)d

D

fxy

表示以区域D为底，以f(x,y)

为曲顶的曲顶柱体的体积.

(2)若在D上f(x,y)≤0，则上述曲顶柱体在Oxy面的下方，二重

积分(,)d

D

fxy

的值是负的，其绝对值为该曲顶柱体的体积

(3)若f(x,y)在D的某些子区域上为正的，在D的另一些子区域上

为负的，则(,)d

D

fxy

表示在这些子区域上曲顶柱体体积的代数和(即

在Oxy平面之上的曲顶柱体体积减去Oxy平面之下的曲顶柱体的体

积).

3．二重积分的存在定理

3.1若f(x,y)在有界闭区域D上连续，则f(x,y)在D上的二重积分

必存在(即f(x,y)在D上必可积).

3.2若有界函数f(x,y)在有界闭区域D上除去有限个点或有限个

光滑曲线外都连续，则f(x,y)在D可积.

4．二重积分的性质

二重积分有与定积分类似的性质.假设下面各性质中所涉及的函

数f(x,y)，g(x,y)在区域D上都是可积的.

性质1有限个可积函数的代数和必定可积，且函数代数和的积

分等于各函数积分的代数和，即

[(,)(,)]d(,)d(,)d.

DDD

fxygxyfxygxy

性质2被积函数中的常数因子可以提到积分号前面，即

(,)d(,)d().

DD

kfxykfxyk为常数

性质3若D可以分为两个区域D1

,D

2，它们除边界外无公共点，

则

12

(,)d(,)d(,)d.

DDD

fxyfxyfxy

性质4若在积分区域D上有f(x,y)=1，且用S(D)表示区域D

的面积，则

d().

D

SD

性质5若在D上处处有f(x,y)≤g(x,y)，则有

(,)d(,)d.

DD

fxygxy

推论(,)d(,)d.

DD

fxyfxy

性质6(估值定理)若在D上处处有m≤f(x,y)≤M，且S(D)为区

域D的面积，则

()(,)d().

D

mSDfxyMSD

性质7(二重积分中值定理)设f(x,y)在有界闭区域D上连续，

则在D上存在一点(,),使

(,)d(,)().

D

fxyfSD

【基本问题导引】

根据二重积分的几何意义或性质求解下列各题：

1．2d

D

axdy，其中222{(,)|}Dxyxya

2．设D是由x轴，y轴与直线1xy所围成的区域，则

2

1

(),

D

Ixyd3

2

()

D

Ixyd的大小关系

是.

【巩固拓展提高】

1．若f(x,y)在有界闭区域D上连续，且在D的任一子区域D*上

有

*

(,)d0

D

fxy，试证明在D内恒有f(x,y)＝0

2．估计22(y)d

D

Ixxyxxdy的值，其中{(,)|02,01}.Dxyxy

3．设f(x,y)是有界闭区域D：222xya上的连续函数，则

2

0

1

lim(,)

a

D

fxydxdy

a

的值为多少？

【数学思想方法】

二重积分是一元函数定积分的推广与发展，它们都是某种形式的

和的极限，即分割求和、取极限，故可用微元法的思想来理解二重积

分的概念与性质。

9.2在直角坐标系中二重积分的计算

【学习方法导引】

本章的重点是二重积分的计算问题，而直角坐标系中二重积分的

计算问题关键是如何确定积分区域及确定X型区域还是Y型区域，

这也是本章的难点。

直角坐标系中二重积分计算的基本技巧：

(1)在定积分计算中，如果D的形状不能简单地用类似

12

()()xyx

axb











或12

()()yxy

cyd











的形式来表示，则我们可以将D

分成若干块，并由积分性质

12

(,)d(,)d(,)d.

DDD

fxyfxyfxy

对右端各式进行计算。

(2)交换积分次序不仅要考虑到区域D的形状，还要考虑被积函数

的特点。如果按照某一积分次序的积分比较困难，若交换积分次序后，

由于累次积分的积分函数(一元积分)形式发生变化，可能会使新的积

分次序下的积分容易计算，从而完成积分的求解。但是无论是先对x

积分，再对y积分，还是先对y积分，再对x积分最终计算的结果应

该是相同的。一般的处理方法是由积分限确定积分区域D，并按照新

的积分次序将二重积分化成二次积分。具体步骤如下：①确定D的

边界曲线，画出D的草图；

②求出D边界曲线的交点坐标；

③将D的边界曲线表示为x或y的单值函数；

④考虑是否要将D分成几块；

⑤用x,y的不等式表示D.

注：在积分次序选择时，应考虑以下几个方面的内容：(ⅰ)保证

各层积分的原函数能够求出；(ⅱ)若D为X型(Y型),先对x(y)积分；(ⅲ)

若D既为X型又为Y型，且满足(ⅰ)时，要使对D的分块最少。

(3)利用对称性等公式简化计算

设f(x,y)在区域D上连续，则

①当区域D关于x轴对称

若(,)(,)fxyfxy，则(,)d

D

fxy＝0；

若(,)(,)fxyfxy，则(,)d

D

fxy＝2

1

(,)d

D

fxy，其中D

1

为D在

x轴上方部分。

②当区域D关于y轴对称

若(,)(,)fxyfxy，则(,)d

D

fxy＝0；

若(,)(,)fxyfxy，则(,)d

D

fxy＝2

2

(,)d

D

fxy，其中D

2

为D在

y轴右侧部分。

③当区域D关于x轴和y轴都对称

若(,)(,)fxyfxy或(,)(,)fxyfxy，则(,)d

D

fxy＝0；

若(,)(,)(,)fxyfxyfxy，则(,)d

D

fxy＝4

1

(,)d

D

fxy，其中D

1

为

D在第一象限部分。

④轮换对称式

设D关于直线

yx

对称，则(,)d

D

fxy＝(,)d

D

fyx.

【基本问题导引】

一．判断题

1．dxdy=

D

xy4

1

2222

1

dxdy,:4;:4,0,0

D

xyDxyDxyxy()

2.若f为连续函数，则

21221

001002

(,)(,)(,)xxy

y

dxfxydydxfxydydyfxydx





()

【主要概念梳理】

直角坐标系中二重积分计算

当被积函数f(x,y)0且在D上连续时,

若D为X-型区域12

()()

:

xyx

D

axb











则2

1

()

()

(,)ddd(,)dbx

Dax

fxyxyxfxyy







若D为Y–型区域12

()()

:

yxy

D

cyd











,

则2

1

()

()

(,)ddd(,)ddy

Dcy

fxyxyyfxyx







说明:若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,则有

22

11

()()

()()

(,)ddd(,)dd(,)dbxdy

Daxcy

fxyxyxfxyyyfxyx







【巩固拓展提高】

1.(1992)计算1

1

2

11

1

22

4

.

yy

yy

xx

y

Idyedxdyedx

y

x

o

a

b

()yx

D

y

x)(

1

y



)(

2

yx



x

d

o

c

2.设

1

()

x

x

yfxedy，计算1

0

()fxdx.

9.3在极坐标系中二重积分的计算

【学习方法导引】

极坐标系中二重积分计算的基本技巧：

(1)一般地，如果积分区域是圆域、扇形域或圆环形域，且被积函

数为22(),fxy

(),

y

f

x

()

x

f

y

等形式时，计算二重积分时，往往采用极坐标系来计算。

【基本问题导引】

1.若二重积分的积分区域D是2214,xy则

D

dxdy＝。

2．设222:,0,(0).Dxyaxa将二重积分(,)d

D

Ifxy化为极坐标

形式的二次积分，则I.

3．设2222:,b将二重积分(,)d

D

Ifxy化为极坐标

形式的二次积分，则I.

【主要概念梳理】

利用极坐标系计算二重积分

在极坐标系下,用同心圆r=常数及射线=常数,分划区域D为

(1,2,,)

k

kn。则(,)d(cos,sin)dd

DD

fxyfrrrr

特别地

若12

()()

:,

r

D















则有2

1

()

()

(cos,sin)ddd(cos,sin)d

D

frrrrfrrrr











D

o

)(

1

r

)(

2

r





o

)(

2

r

若

0()

:

r

D















则有()

0

(cos,sin)ddd(cos,sin)d

D

frrrrfrrrr







若

0()

:

02

r

D















则有2()

00

(cos,sin)ddd(cos,sin)d

D

frrrrfrrrr



【巩固拓展提高】

1．计算二重积分：22|1|d,

D

xy其中22:

2．设22:1,0,计算二重积分：22ln(1)d.

D

xy

9.4二重积分的应用

【学习方法导引】

二重积分的应用主要在几何方面和物理方面。几何应用之一是求

曲线所围成的面积，应用之二是求曲面所围成的立体的体积；物理应

用主要是平面薄片的质量。

【主要概念梳理】

(1)空间立体的体积V

设空间立体



由曲面

1

:(,)zfxy与

2

:(,)zgxy所围成，在xoy

面投影为平面区域D，并且(,)(,)fxygxy.则

[(,)(,)]d

D

Vfxygxy或Vdv



.

(2)曲面面积S

设光滑曲面为:(,)zzxy，则221dxdy

xy

xy

D

Szz，其中

xy

D为

在xoy面上的投影区域。

)(r

o

D

同理可得：设光滑曲面



为:(,)xxyz，则221dydz

yz

yz

D

Sxx，

其中

yz

D为



在yoz面上的投影区域。

设光滑曲面



为:(,)yyxz，则221dxdz

xz

xz

D

Syy，其中

xz

D为



在xoz面上的投影区域。

(3)平面薄片的质量

设平面薄片的面密度为(,)xy，物体所占区域为D，则它的质量为

(,)

D

mxyd，其中(,),dmxyd称为质量元素。