初中二次函数

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初中数学二次函数知识点总结

原文阅读

I.定义与定义表达式

一般地，自变量x和因变量y之间存在如下关系：y=ax^2+bx+c

〔a，b，c为常数，a≠0，且a决定函数的开口方向，a>0时，开口方向向上，a<0时，

开口方向向下,IaI还可以决定开口大小,IaI越大开口就越小,IaI越小开口就越大.〕则称y为x

的二次函数。

二次函数表达式的右边通常为二次三项式。

II.二次函数的三种表达式

一般式：y=ax^2+bx+c〔a，b，c为常数，a≠0〕

顶点式：y=a(x-h)^2+k抛物线的顶点P〔h，k〕]

交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)仅限于与x轴有交点A〔x₁，0〕和B〔x₂，0〕的抛物线]

注：在3种形式的相互转化中，有如下关系:

h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a

III.二次函数的图像

在平面直角坐标系中作出二次函数y=x^2的图像，可以看出，二次函数的图像是一条抛

物线。

IV.抛物线的性质

1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x=-b/2a。

对称轴与抛物线唯—的交点为抛物线的顶点P。特别地，当b=0时，抛物线的对称轴是

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y轴〔即直线x=0〕

2.抛物线有一个顶点P，坐标为：P(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)当-b/2a=0时，P在y轴上；

当Δ=b^2-4ac=0时，P在x轴上。

3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。

当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口。|a|越大，则抛物线的开口

越小。

4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。

当a与b同号时〔即ab＞0〕，对称轴在y轴左；

当a与b异号时〔即ab＜0〕，对称轴在y轴右。

5.常数项c决定抛物线与y轴交点。

抛物线与y轴交于〔0，c〕

6.抛物线与x轴交点个数

Δ=b^2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点。

Δ=b^2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点。

Δ=b^2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点。X的取值是虚数〔x=-b±√b^2－4ac的

值的相反数，乘上虚数i，整个式子除以2a〕

V.二次函数与一元二次方程

特别地，二次函数〔以下称函数〕y=ax^2+bx+c，

当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程〔以下称方程〕，即ax^2+bx+c=0

此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。函数与x轴交点的横坐标即为方程

的根。

1．二次函数y=ax^2，y=a(x-h)^2，y=a(x-h)^2+k，y=ax^2+bx+c(各式中，a≠0)的图象

形状相同，只是位置不同，它们的顶点坐标及对称轴如下表：

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当h>0时，y=a(x-h)^2的图象可由抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位得到，

当h<0时，则向左平行移动|h|个单位得到．

当h>0,k>0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可

以得到y=a(x-h)^2+k的图象；

当h>0,k<0时，将抛物线y=ax^2向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到

y=a(x-h)^2+k的图象；

当h<0,k>0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到

y=a(x-h)^2+k的图象；

当h<0,k<0时，将抛物线向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到

y=a(x-h)^2+k的图象；

因此，研究抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象，通过成分，将一般式化为y=a(x-h)^2+k

的形式，可确定其顶点坐标、对称轴，抛物线的大体位置就很清楚了．这给画图象提供了方

便．

2．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象：当a>0时，开口向上，当a<0时开口向下，对称

轴是直线x=-b/2a，顶点坐标是(-b/2a，4ac-b^2]/4a)．

3．抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)，假设a>0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而减小；当

x≥-b/2a时，y随x的增大而增大．假设a<0，当x≤-b/2a时，y随x的增大而增大；

当x≥-b/2a时，y随x的增大而减小．

4．抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点：

(1)图象与y轴肯定相交，交点坐标为(0，c)；

(2)当△=b^2-4ac>0，图象与x轴交于两点A(x₁，0)和B(x₂，0)，其中的x1,x2是一元二

次方程ax^2+bx+c=0

(a≠0)的两根．这两点间的距离AB=|x₂-x₁|

当△=0．图象与x轴只有一个交点；

当△<0．图象与x轴没有交点．当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都

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有y>0；当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0．

5．抛物线y=ax^2+bx+c的最值：如果a>0(a<0)，则当x=-b/2a时，y最小(大)值

=(4ac-b^2)/4a．

顶点的横坐标，是取得最值时的自变量值，顶点的纵坐标，是最值的取值．

6．用待定系数法求二次函数的解析式

(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时，可设解析式为

一般形式：

y=ax^2+bx+c(a≠0)．

(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴时，可设解析式为顶点式：y=a(x-h)^2+k(a

≠0)．

(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时，可设解析式为两根式：y=a(x-x₁)(x-x

₂)(a≠0)．

7．二次函数知识很简单与其它知识综合应用，而形成较为复杂的综合题目。因此，以

二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题，往往以大题形式出现．