2016年高考试卷

2016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅲ）（理科）

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）

A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）

2．（5分）若z=1+2i，则=（）

A．1B．﹣1C．iD．﹣i

3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）

A．30°B．45°C．60°D．120°

4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷

达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确

的是（）

A．各月的平均最低气温都在0℃以上

B．七月的平均温差比一月的平均温差大

C．三月和十一月的平均最高气温基本相同

D．平均最高气温高于20℃的月份有5个

5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）

A．B．C．1D．

6．（5分）已知a=2，b=3，c=25，则（）

A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b

7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）

A．3B．4C．5D．6

8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA=（）

A．B．C．﹣D．﹣

9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积

为（）

A．18+36B．54+18C．90D．81

10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A

1

B

1

C

1

内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA

1

=3，

则V的最大值是（）

A．4πB．C．6πD．

11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点

．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，

则C的离心率为（）

A．B．C．D．

12．（5分）定义“规范01数列”{a

n

}如下：{a

n

}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a

1

，a

2

，

…，a

k

中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）

A．18个B．16个C．14个D．12个

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13．（5分）（2015•新课标II）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．

14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移

个单位长度得到．

15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的

切线方程是．

16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C

，D两点，若|AB|=2，则|CD|=．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（12分）已知数列{a

n

}的前n项和S

n

=1+λa

n

，其中λ≠0．

（1）证明{a

n

}是等比数列，并求其通项公式；

（2）若S

5

=，求λ．

18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．

注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；

（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：

参考数据：y

i

=9.32，t

i

y

i

=40.17，=0.55，≈2.646．

参考公式：r=，

回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

=，=﹣．

19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线

段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．

（1）证明：MN∥平面PAB；

（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．

20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l

1

，l

2

分别交C于A，B两点，交C的准

线于P，Q两点．

（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；

（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记f（x）的最大值为A．

（Ⅰ）求f′（x）；

（Ⅱ）求A；

（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．

请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]

22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．

（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；

（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在直角坐标系xOy中，曲线C

1

的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的

正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C

2

的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．

（1）写出C

1

的普通方程和C

2

的直角坐标方程；

（2）设点P在C

1

上，点Q在C

2

上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．

[选修4-5：不等式选讲]

24．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．

（1）当a=2时，求不等式f（x）≤6的解集；

（2）设函数g（x）=|2x﹣1|，当x∈R时，f（x）+g（x）≥3，求a的取值范围．

2016年全国统一高考数学试卷（新课标Ⅲ）（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）

A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）

【考点】交集及其运算．

【专题】集合思想；定义法；集合．

【分析】求出S中不等式的解集确定出S，找出S与T的交集即可．

【解答】解：由S中不等式解得：x≤2或x≥3，即S=（﹣∞，2]∪[3，+∞），

∵T=（0，+∞），

∴S∩T=（0，2]∪[3，+∞），

故选：D．

【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．

2．（5分）若z=1+2i，则=（）

A．1B．﹣1C．iD．﹣i

【考点】复数代数形式的乘除运算．

【专题】计算题；规律型；转化思想；数系的扩充和复数．

【分析】利用复数的乘法运算法则，化简求解即可．

【解答】解：z=1+2i，则===i．

故选：C．

【点评】本题考查复数的代数形式混合运算，考查计算能力．

3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）

A．30°B．45°C．60°D．120°

【考点】数量积表示两个向量的夹角．

【专题】计算题；向量法；综合法；平面向量及应用．

【分析】根据向量的坐标便可求出，及的值，从而根据向量夹角余弦公式即

可求出cos∠ABC的值，根据∠ABC的范围便可得出∠ABC的值．

【解答】解：，；

∴；

又0≤∠ABC≤180°；

∴∠ABC=30°．

故选A．

【点评】考查向量数量积的坐标运算，根据向量坐标求向量长度的方法，以及向量夹角的余弦公式，向量夹

角的范围，已知三角函数值求角．

4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷

达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确

的是（）

A．各月的平均最低气温都在0℃以上

B．七月的平均温差比一月的平均温差大

C．三月和十一月的平均最高气温基本相同

D．平均最高气温高于20℃的月份有5个

【考点】进行简单的合情推理．

【专题】数形结合；数学模型法；推理和证明．

【分析】根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图进行推理判断即可．

【解答】解：A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确

B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正

确

C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确

D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，

故选：D

【点评】本题主要考查推理和证明的应用，根据平均最高气温和平均最低气温的雷达图，利用图象法进行判

断是解决本题的关键．

5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）

A．B．C．1D．

【考点】三角函数的化简求值．

【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值．

【分析】将所求的关系式的分母“1”化为（cos

2α+sin2α），再将“弦”化“切”即可得到答案．

【解答】解：∵tanα=，

∴cos

2α+2sin2α====．

故选：A．

【点评】本题考查三角函数的化简求值，“弦”化“切”是关键，是基础题．

6．（5分）已知a=2，b=3，c=25，则（）

A．b＜a＜cB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b

【考点】对数函数图象与性质的综合应用；指数函数的单调性与特殊点；幂函数的实际应用．

【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用．

【分析】b=4=，c=25=，结合幂函数的单调性，可比较a，b，c，进而得到答案．

【解答】解：∵a=2=，

b=3，

c=25=，

综上可得：b＜a＜c，

故选A

【点评】本题考查的知识点是指数函数的单调性，幂函数的单调性，是函数图象和性质的综合应用，难度中

档．

7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（）

A．3B．4C．5D．6

【考点】程序框图．

【专题】计算题；图表型；试验法；算法和程序框图．

【分析】模拟执行程序，根据赋值语句的功能依次写出每次循环得到的a，b，s，n的值，当s=20时满足条件

s＞16，退出循环，输出n的值为4．

【解答】解：模拟执行程序，可得

a=4，b=6，n=0，s=0

执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=6，n=1

不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=10，n=2

不满足条件s＞16，执行循环体，a=2，b=4，a=6，s=16，n=3

不满足条件s＞16，执行循环体，a=﹣2，b=6，a=4，s=20，n=4

满足条件s＞16，退出循环，输出n的值为4．

故选：B．

【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图的应用，正确依次写出每次循环得到的a，b，s的值是解题的

关键，属于基础题．

8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA=（）

A．B．C．﹣D．﹣

【考点】三角形中的几何计算．

【专题】转化思想；数形结合法；解三角形．

【分析】作出图形，令∠DAC=θ，依题意，可求得cosθ===，sinθ=，利用

两角和的余弦即可求得答案．

【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令∠DAC=θ，

∵在△ABC中，B=，BC边上的高AD=h=BC=a，

∴BD=AD=a，CD=a，

在Rt△ADC中，cosθ===，故sinθ=，

∴cosA=cos（+θ）=coscosθ﹣sinsinθ=×﹣×=﹣．

故选：C．

【点评】本题考查解三角形中，作出图形，令∠DAC=θ，利用两角和的余弦求cosA是关键，也是亮点，属

于中档题．

9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积

为（）

A．18+36B．54+18C．90D．81

【考点】由三视图求面积、体积．

【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．

【分析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱，进而得到答案．

【解答】解：由已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱柱，

其底面面积为：3×6=18，

前后侧面的面积为：3×6×2=36，

左右侧面的面积为：3××2=18，

故棱柱的表面积为：18+36+9=54+18．

故选：B．

【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的

关键．

10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A

1

B

1

C

1

内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA

1

=3，

则V的最大值是（）

A．4πB．C．6πD．

【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．

【专题】计算题；空间位置关系与距离；立体几何．

【分析】根据已知可得直三棱柱ABC﹣A

1

B

1

C

1

的内切球半径为，代入球的体积公式，可得答案．

【解答】解：∵AB⊥BC，AB=6，BC=8，

∴AC=10．

故三角形ABC的内切圆半径r==2，

又由AA

1

=3，

故直三棱柱ABC﹣A

1

B

1

C

1

的内切球半径为，

此时V的最大值=，

故选：B

【点评】本题考查的知识点是棱柱的几何特征，根据已知求出球的半径，是解答的关键．

11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点

．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，

则C的离心率为（）

A．B．C．D．

【考点】椭圆的简单性质．

【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】由题意可得F，A，B的坐标，设出直线AE的方程为y=k（x+a），分别令x=﹣c，x=0，可得M，E的

坐标，再由中点坐标公式可得H的坐标，运用三点共线的条件：斜率相等，结合离心率公式，即可得到所求

值．

【解答】解：由题意可设F（﹣c，0），A（﹣a，0），B（a，0），

令x=﹣c，代入椭圆方程可得y=±b=±，

可得P（﹣c，），

设直线AE的方程为y=k（x+a），

令x=﹣c，可得M（﹣c，k（a﹣c）），令x=0，可得E（0，ka），

设OE的中点为H，可得H（0，），

由B，H，M三点共线，可得k

BH

=k

BM

，

即为=，

化简可得=，即为a=3c，

可得e==．

故选：A．

【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，注意运用椭圆的方程和性质，以及直线方程的运用和三点共线的条

件：斜率相等，考查化简整理的运算能力，属于中档题．

12．（5分）定义“规范01数列”{a

n

}如下：{a

n

}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a

1

，a

2

，

…，a

k

中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（）

A．18个B．16个C．14个D．12个

【考点】数列的应用．

【专题】压轴题；新定义；对应思想；试验法．

【分析】由新定义可得，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，当m=4

时，数列中有四个0和四个1，然后一一列举得答案．

【解答】解：由题意可知，“规范01数列”有偶数项2m项，且所含0与1的个数相等，首项为0，末项为1，若m

=4，说明数列有8项，满足条件的数列有：

0，0，0，0，1，1，1，1；0，0，0，1，0，1，1，1；0，0，0，1，1，0，1，1；

0，0，0，1，1，1，0，1；0，0，1，0，0，1，1，1；

0，0，1，0，1，0，1，1；0，0，1，0，1，1，0，1；0，0，1，1，0，1，0，1；

0，0，1，1，0，0，1，1；0，1，0，0，0，1，1，1；

0，1，0，0，1，0，1，1；0，1，0，0，1，1，0，1；0，1，0，1，0，0，1，1；

0，1，0，1，0，1，0，1．共14个．

故选：C．

【点评】本题是新定义题，考查数列的应用，关键是对题意的理解，枚举时做到不重不漏，是压轴题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13．（5分）（2015•新课标II）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．

【考点】简单线性规划．

【专题】不等式的解法及应用．

【分析】首先画出平面区域，然后将目标函数变形为直线的斜截式，求在y轴的截距最大值．

【解答】解：不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线经过D点时，z最大，

由得D（1，），

所以z=x+y的最大值为1+；

故答案为：．

【点评】本题考查了简单线性规划；一般步骤是：①画出平面区域；②分析目标函数，确定求最值的条件．

14．（5分）函数y=sinx﹣cosx的图象可由函数y=sinx+cosx的图象至少向右平移

个单位长度得到．

【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．

【专题】函数思想；转化法；三角函数的图像与性质．

【分析】令f（x）=sinx+cosx=2in（x+），则f（x﹣φ）=2in（x+﹣φ），依题意可得2in（x+﹣φ

）=2in（x﹣），由﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），可得答案．

【解答】解：∵y=f（x）=sinx+cosx=2in（x+），y=sinx﹣cosx=2in（x﹣），

∴f（x﹣φ）=2in（x+﹣φ）（φ＞0），

令2in（x+﹣φ）=2in（x﹣），

则﹣φ=2kπ﹣（k∈Z），

即φ=﹣2kπ（k∈Z），

当k=0时，正数φ

min

=，

故答案为：．

【点评】本题考查函数y=sinx的图象变换得到y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象，得到﹣φ=2kπ﹣

（k∈Z）是关键，也是难点，属于中档题．

15．（5分）已知f（x）为偶函数，当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的

切线方程是2x+y+1=0．

【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．

【专题】方程思想；函数的性质及应用；导数的概念及应用．

【分析】由偶函数的定义，可得f（﹣x）=f（x），即有x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，求出导数，求得切线的斜

率，由点斜式方程可得切线的方程．

【解答】解：f（x）为偶函数，可得f（﹣x）=f（x），

当x＜0时，f（x）=ln（﹣x）+3x，即有

x＞0时，f（x）=lnx﹣3x，f′（x）=﹣3，

可得f（1）=ln1﹣3=﹣3，f′（1）=1﹣3=﹣2，

则曲线y=f（x）在点（1，﹣3）处的切线方程为y﹣（﹣3）=﹣2（x﹣1），

即为2x+y+1=0．

故答案为：2x+y+1=0．

【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于

中档题．

16．（5分）已知直线l：mx+y+3m﹣=0与圆x2+y2=12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C

，D两点，若|AB|=2，则|CD|=4．

【考点】直线与圆相交的性质．

【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆．

【分析】先求出m，可得直线l的倾斜角为30°，再利用三角函数求出|CD|即可．

【解答】解：由题意，|AB|=2，∴圆心到直线的距离d=3，

∴=3，

∴m=﹣

∴直线l的倾斜角为30°，

∵过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，

∴|CD|==4．

故答案为：4．

【点评】本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生的计算能力，比较基础．

三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（12分）已知数列{a

n

}的前n项和S

n

=1+λa

n

，其中λ≠0．

（1）证明{a

n

}是等比数列，并求其通项公式；

（2）若S

5

=，求λ．

【考点】数列递推式；等比关系的确定．

【专题】方程思想；转化法；等差数列与等比数列．

【分析】（1）根据数列通项公式与前n项和公式之间的关系进行递推，结合等比数列的定义进行证明求解即

可．

（2）根据条件建立方程关系进行求解就可．

【解答】解：（1）∵S

n

=1+λa

n

，λ≠0．

∴a

n

≠0．

当n≥2时，a

n

=S

n

﹣S

n﹣1

=1+λa

n

﹣1﹣λa

n﹣1

=λa

n

﹣λa

n﹣1

，

即（λ﹣1）a

n

=λa

n﹣1

，

∵λ≠0，a

n

≠0．∴λ﹣1≠0．即λ≠1，

即=，（n≥2），

∴{a

n

}是等比数列，公比q=，

当n=1时，S

1

=1+λa

1

=a

1

，

即a

1

=，

∴a

n

=•（）n﹣1

．

（2）若S

5

=，

则若S

5

=1+λ（•（）4=，

即（）

5=﹣1=﹣，

则=﹣，得λ=﹣1．

【点评】本题主要考查数列递推关系的应用，根据n≥2时，a

n

=S

n

﹣S

n﹣1

的关系进行递推是解决本题的关键．

考查学生的运算和推理能力．

18．（12分）如图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图．

注：年份代码1﹣7分别对应年份2008﹣2014．

（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以证明；

（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．

附注：

参考数据：y

i

=9.32，t

i

y

i

=40.17，=0.55，≈2.646．

参考公式：r=，

回归方程=+t中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

=，=﹣．

【考点】线性回归方程．

【专题】计算题；转化思想；概率与统计．

【分析】（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，将已知数据代入相关系数方程，可得答案

；

（2）根据已知中的数据，求出回归系数，可得回归方程，2016年对应的t值为9，代入可预测2016年我国生

活垃圾无害化处理量．

【解答】解：（1）由折线图看出，y与t之间存在较强的正相关关系，理由如下：

∵r==≈≈

≈0.996，

∵0.996＞0.75，

故y与t之间存在较强的正相关关系；

（2）==≈≈0.10，

=﹣≈1.331﹣0.10×4≈0.93，

∴y关于t的回归方程=0.103+0.93，

2016年对应的t值为9，

故=0.10×9+0.93=1.83，

预测2016年我国生活垃圾无害化处理量为1.83亿吨．

【点评】本题考查的知识点是线性回归方程，回归分析，计算量比较大，计算时要细心．

19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线

段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点．

（1）证明：MN∥平面PAB；

（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．

【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．

【专题】综合题；转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离；空间角．

【分析】（1）法一、取PB中点G，连接AG，NG，由三角形的中位线定理可得NG∥BC，且NG=，再由

已知得AM∥BC，且AM=BC，得到NG∥AM，且NG=AM，说明四边形AMNG为平行四边形，可得NM∥

AG，由线面平行的判定得到MN∥平面PAB；

法二、证明MN∥平面PAB，转化为证明平面NEM∥平面PAB，在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连

接ME，由已知PA⊥底面ABCD，可得PA∥NE，通过求解直角三角形得到ME∥AB，由面面平行的判定可得

平面NEM∥平面PAB，则结论得证；

（2）连接CM，证得CM⊥AD，进一步得到平面PNM⊥平面PAD，在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于

F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．然后求解直角三角形可得直线AN与平面PMN所成角的

正弦值．

【解答】（1）证明：法一、如图，取PB中点G，连接AG，NG，

∵N为PC的中点，

∴NG∥BC，且NG=，

又AM=，BC=4，且AD∥BC，

∴AM∥BC，且AM=BC，

则NG∥AM，且NG=AM，

∴四边形AMNG为平行四边形，则NM∥AG，

∵AG⊂平面PAB，NM⊄平面PAB，

∴MN∥平面PAB；

法二、

在△PAC中，过N作NE⊥AC，垂足为E，连接ME，

在△ABC中，由已知AB=AC=3，BC=4，得cos∠ACB=，

∵AD∥BC，

∴cos，则sin∠EAM=，

在△EAM中，

∵AM=，AE=，

由余弦定理得：EM==，

∴cos∠AEM=，

而在△ABC中，cos∠BAC=，

∴cos∠AEM=cos∠BAC，即∠AEM=∠BAC，

∴AB∥EM，则EM∥平面PAB．

由PA⊥底面ABCD，得PA⊥AC，又NE⊥AC，

∴NE∥PA，则NE∥平面PAB．

∵NE∩EM=E，

∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；

（2）解：在△AMC中，由AM=2，AC=3，cos∠MAC=，得CM

2=AC2+AM2

﹣2AC•AM•cos∠MAC=

．

∴AM

2+MC2=AC2

，则AM⊥MC，

∵PA⊥底面ABCD，PA⊂平面PAD，

∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD=AD，

∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．

在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．

在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN==，

在Rt△PAM中，由PA•AM=PM•AF，得AF=，

∴sin．

∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为．

【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查直线与平面所成角的求法，考查数学转化思想方法，考查了

空间想象能力和计算能力，是中档题．

20．（12分）已知抛物线C：y2=2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l

1

，l

2

分别交C于A，B两点，交C的准

线于P，Q两点．

（Ⅰ）若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明AR∥FQ；

（Ⅱ）若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程．

【考点】抛物线的简单性质；轨迹方程．

【专题】综合题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．

【分析】（Ⅰ）连接RF，PF，利用等角的余角相等，证明∠PRA=∠PRF，即可证明AR∥FQ；

（Ⅱ）利用△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求出N的坐标，利用点差法求AB中点的轨迹方程．

【解答】（Ⅰ）证明：连接RF，PF，

由AP=AF，BQ=BF及AP∥BQ，得∠AFP+∠BFQ=180°，

∴∠PFQ=90°，

∵R是PQ的中点，

∴RF=RP=RQ，

∴△PAR≌△FAR，

∴∠PAR=∠FAR，∠PRA=∠FRA，

∵∠BQF+∠BFQ=180°﹣∠QBF=∠PAF=2∠PAR，

∴∠FQB=∠PAR，

∴∠PRA=∠PRF，

∴AR∥FQ．

（Ⅱ）设A（x

1

，y

1

），B（x

2

，y

2

），

F（，0），准线为x=﹣，

S

△PQF

=|PQ|=|y

1

﹣y

2

|，

设直线AB与x轴交点为N，

∴S

△ABF

=|FN||y

1

﹣y

2

|，

∵△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，

∴2|FN|=1，∴x

N

=1，即N（1，0）．

设AB中点为M（x，y），由得=2（x

1

﹣x

2

），

又=，

∴=，即y

2=x﹣1．

∴AB中点轨迹方程为y

2=x﹣1．

【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查轨迹方程，考查学生的计算能力，属于中档题．

21．（12分）设函数f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1），其中a＞0，记f（x）的最大值为A．

（Ⅰ）求f′（x）；

（Ⅱ）求A；

（Ⅲ）证明：|f′（x）|≤2A．

【考点】利用导数研究函数的单调性．

【专题】分类讨论；转化思想；换元法；函数的性质及应用；导数的综合应用；三角函数的求值．

【分析】（Ⅰ）根据复合函数的导数公式进行求解即可求f′（x）；

（Ⅱ）讨论a的取值，利用分类讨论的数学，结合换元法，以及一元二次函数的最值的性质进行求解；

（Ⅲ）由（I），结合绝对值不等式的性质即可证明：|f′（x）|≤2A．

【解答】（I）解：f′（x）=﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx．

（II）当a≥1时，|f（x）|=|acos2x+（a﹣1）（cosx+1）|≤a+2（a﹣1）=3a﹣2=f（0），因此A=3a﹣2．

当0＜a＜1时，f（x）等价为f（x）=acos2x+（a﹣1）（cosx+1）=2acos

2x+（a﹣1）cosx﹣1，

令g（t）=2at

2+（a﹣1）t﹣1，

则A是|g（t）|在[﹣1，1]上的最大值，g（﹣1）=a，g（1）=3a﹣2，

且当t=时，g（t）取得极小值，极小值为g（）=﹣﹣1=﹣，

令﹣1＜＜1，得a＜（舍）或a＞．因此A=3a﹣2

g（﹣1）=a，g（1）=3a+2，a＜3a+2，∴t=1时，g（t）取得最大值，g（1）=3a+2，即f（x）的最大值为3a+

2．

综上可得：t=1时，g（t）取得最大值，g（1）=3a+2，即f（x）的最大值为3a+2．

∴A=3a+2．

①当0＜a≤时，g（t）在（﹣1，1）内无极值点，|g（﹣1）|=a，|g（1）|=2﹣3a，|g（﹣1）|＜|g（1）|，

∴A=2﹣3a，

②当＜a＜1时，由g（﹣1）﹣g（1）=2（1﹣a）＞0，得g（﹣1）＞g（1）＞g（），

又|g（）﹣g（﹣1）|=＞0，

∴A=|g（）|=，

综上，A=．

（III）证明：由（I）可得：|f′（x）|=|﹣2asin2x﹣（a﹣1）sinx|≤2a+|a﹣1|，

当0＜a≤时，|f′（x）|≤1+a≤2﹣4a＜2（2﹣3a）=2A，

当＜a＜1时，A==++≥1，

∴|f′（x）|≤1+a≤2A，

当a≥1时，|f′（x）|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A，

综上：|f′（x）|≤2A．

【点评】本题主要考查函数的导数以及函数最值的应用，求函数的导数，利用函数单调性和导数的关系，以

及换元法，转化法转化法转化为一元二次函数是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．

请考生在第22-24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-1：几何证明选讲]

22．（10分）如图，⊙O中的中点为P，弦PC，PD分别交AB于E，F两点．

（1）若∠PFB=2∠PCD，求∠PCD的大小；

（2）若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G，证明：OG⊥CD．

【考点】与圆有关的比例线段．

【专题】转化思想；综合法；推理和证明．

【分析】（1）连接PA，PB，BC，设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，运

用圆的性质和四点共圆的判断，可得E，C，D，F共圆，再由圆内接四边形的性质，即可得到所求∠PCD的

度数；

（2）运用圆的定义和E，C，D，F共圆，可得G为圆心，G在CD的中垂线上，即可得证．

【解答】（1）解：连接PA，PB，BC，

设∠PEB=∠1，∠PCB=∠2，∠ABC=∠3，

∠PBA=∠4，∠PAB=∠5，

由⊙O中的中点为P，可得∠4=∠5，

在△EBC中，∠1=∠2+∠3，

又∠D=∠3+∠4，∠2=∠5，

即有∠2=∠4，则∠D=∠1，

则四点E，C，D，F共圆，

可得∠EFD+∠PCD=180°，

由∠PFB=∠EFD=2∠PCD，

即有3∠PCD=180°，

可得∠PCD=60°；

（2）证明：由C，D，E，F共圆，

由EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G

可得G为圆心，即有GC=GD，

则G在CD的中垂线，又CD为圆G的弦，

则OG⊥CD．

【点评】本题考查圆内接四边形的性质和四点共圆的判断，以及圆的垂径定理的运用，考查推理能力，属于

中档题．

[选修4-4：坐标系与参数方程]

23．在直角坐标系xOy中，曲线C

1

的参数方程为（α为参数），以坐标原点为极点，以x轴的

正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C

2

的极坐标方程为ρsin（θ+）=2．

（1）写出C

1

的普通方程和C

2

的直角坐标方程；

（2）设点P在C

1

上，点Q在C

2

上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．

【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．

【专题】方程思想；分析法；圆锥曲线的定义、性质与方程；坐标系和参数方程．

【分析】（1）运用两边平方和同角的平方关系，即可得到C

1

的普通方程，运用x=ρcosθ，y=ρsinθ，以及两角

和的正弦公式，化简可得C

2

的直角坐标方程；

（2）由题意可得当直线x+y﹣4=0的平行线与椭圆相切时，|PQ|取得最值．设与直线x+y﹣4=0平行的直线方

程为x+y+t=0，代入椭圆方程，运用判别式为0，求得t，再由平行线的距离公式，可得|PQ|的最小值，解方程

可得P的直角坐标．

【解答】解：（1）曲线C

1

的参数方程为（α为参数），

移项后两边平方可得+y

2=cos2α+sin2α=1，

即有椭圆C

1

：+y2=1；

曲线C

2

的极坐标方程为ρsin（θ+）=2，