2021年高考数学

2021年高考真题数学新高考II卷（含答案）

一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的4个选项中，有且

只有一项是符合题目要求。

1.设集合}42|{xxA，}5,4,3,2{B,则BA()

A.}2{B.}3,2{C.}4,3{D.}4,3,2{

2.已知iz2，则)(izz()

A.i26B.i24C.i26D.i24

3.已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为()。

A.2B.22C.4D.24

4.下列区间中，函数

)

6

sin(7)(



xxf

单调递增区间是（）

A.

)

2

,0(



B.

),

2

(



C.

)

2

3

,(





D.

)2,

2

3

(



5.已知1

F

，2

F

是椭圆

1

49

:

22



yx

C

的焦点，点

M

在

C

上，则21

MFMF

的最大值为

（）

A.13B.12C.9D.6

6.若

2tan

，则





cossin

)2sin1(sin





=（）

A.

5

6



B.

5

2



C.

5

2

D.

5

6

7.若过点

),(ba

可以作曲线

xey

的两条切线，则（）

A.

aeb

B.

bea

C.

bea0

D.

aeb0

8.有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取

1个球。甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字

是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字

之和是7”，则（）

A.甲与丙互相独立

B.甲与丁互相独立

C.乙与丙互相独立

D.丙已丁互相独立

二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的4个选项中，有多

项符合题目要求，全对得5分，选对但不全得2.5分，有选错的得0分。

9.（多选题）有一组样本数据n

xxx,......,,

21，由这组数据得到新样本数据n

yy,......,,y

21，

其中

),......,2,1(y

i

nicx

i



，c为非零常数，则（）

A.两组样本数据的样本平均数相同

B.两组样本数据的样本中位数相同

C.两组样本数据的样本标准差相同

D.两组样本数据的样本极差相同

10.（多选题）已知

O

为坐标原点，点

)sin,cos(

1

P

，

)sin,cos(

2

P

，

))sin(),cos((

3

P

，

)0,1(A

，则（）

A.21

OPOP

B.21

APAP

C.213

OPOPOPOA

D.321

OPOPOPOA

11.（多选题）已知点P在圆

16)5()5(22yx

上，点

)0,4(A

，

)2,0(B

，则（）

A.点P到直线AB的距离小于10

B.点P到直线AB的距离大于2

C.当

PBA

最小时，

23PB

D.当

PBA

最大时，

23PB

12.（多选题）在正三棱柱111

CBAABC

中，

1

1

AAAB

，点

P

满足1

BBBCBP

，

其中

]1,0[

，

]1,0[

，则（）

A.当

1

时，

PAB

1



的周长为定值

B.当

1

时，三棱锥

BCAP

1



的体积为定值

C.当

2

1



时，有且仅有一个点

P

，使得

BPPA

1

D.当

2

1



时，有且仅有一个点

P

，使得

PABBA

11

平面

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填写在题中横线上。

13.已知函数

)22()(3xxaxxf

是偶函数，则

a

14.已知

O

为坐标原点，抛物线

)0(2:2ppxyC

的焦点为

F

，

P

为

C

上一点，

PF

与

x

轴垂直，

Q

为

x

轴上一点，且

OPPQ

，若

6FQ

，则

C

的准线方程为

15.函数

xxxfln212)(

的最小值为

16.某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折。规格

为

dmdm1220

的长方形纸，对折1次共可得到

dmdm1210

，

dmdm620

两种规格的

图形，它们的面积之和

2

1

240dmS

，对折2次共可以得到

dmdm125

，

dmdm610

，

dmdm320

三种规格图形，它们的面积之和

2

2

180dmS

，以此类推，则对折4次共可以

得到不同规格图形种数为；如果对折n次，那么





n

1k

k

S2dm

。

四、简答题（综合题）：本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.已知数列

}{

n

a

满足

1

1

a

，

。

为偶数

为奇数，













.,2

,1

1na

na

a

n

n

n

（1）记nn

ab

2



，写出21

,bb

，并求数列

}{

n

b

的通项公式。

（2）求

}{

n

a

的前20项和。

18.某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题。每位参加比赛的同学先在两类

问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确

则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束。A类问

题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，

否则得0分。

已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能

正确回答问题的概率与回答次序无关。

（1）若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列。

（2）为使累计得分的期望最大，小明应先选择回答哪类问题？并说明理由。

19.记

ABC

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c。已知

acb2

，点D在边

AC

上，

CaABCBDsinsin

。

（1）证明：

bBD

；

（2）若

DCAD2

，求

ABCcos

。

20.如图，在三棱锥

BCDA

中，平面

ABD

平面

BCD

，

ADAB

，

O

为

BD

的中点。

（1）证明：

CDOA

。

（2）若

OCD

是边长为1的等边三角形，点

E

在棱

AD

上，

EADE2

，且二面角

DBCE

的大小为

45

，求三棱锥

BCDA

的体积。

21.在平面直角坐标系

xOy

中，已知点

)0,17(),0,17(

21

FF

，点M满足

2

21

MFMF

。

记

M

的轨迹为

C

。

（1）求

C

的方程。

（2）设点

T

在直线

2

1

x

上，过

T

的两条直线分别交于

C

于

A

，

B

两点和

P

，

Q

两

点，且

TQTPTBTA

，求直线的斜率

AB

与直线

PQ

的斜率之和。

22.已知函数

)ln1()(xxxf

。

（1）讨论

)(xf

的单调性。

（2）设a、b为两个不相等的正数，且

babaablnln

。证明：

e

ba



11

2

。