2015全国卷

word格式-可编辑-感谢下载支持

2015年高考全国卷1理科数学试题及答案解析（word精校版）

注意事项：

1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。

2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。

4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷

一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

（1）设复数z满足

1+z

1z

=i，则|z|=

（A）1（B）2（C）

3

（D）2

（2）sin20°cos10°-con160°sin10°=

（A）

3

2

（B）

3

2

（C）

1

2

（D）

1

2

（3）设命题P：nN，2n>2n，则P为

（A）nN,2n>2n（B）nN,2n≤2n

（C）nN,2n≤2n（D）nN,2n=2n

（4）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为

0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为

（A）0.648（B）0.432（C）0.36（D）0.312

（5）已知

00

(,)Mxy是双曲线

2

2:1

2

x

Cy上的一点，

12

,FF是C上的两个焦点，若

12

0MFMF，则

0

y的取值范围是

（A）（-

3

3

，

3

3

）（B）（-

3

6

，

3

6

）

（C）（

22

3

，

22

3

）（D）（

23

3

，

23

3

）

（6）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八

尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，

word格式-可编辑-感谢下载支持

米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为

1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放斛的米约有

A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

（7）设D为ABC所在平面内一点3BCCD，则

（A）

14

33

ADABAC(B)

14

33

ADABAC

（C）

41

33

ADABAC(D)

41

33

ADABAC

(8)函数()cos()fxx的部分图像如图所示，则()fx的单调递减区间为

(A)

13

(,),

44

kkkZ(B)

13

(2,2),

44

kkkZ

(C)

13

(,),

44

kkkZ(D)

13

(2,2),

44

kkkZ

（9）执行右面的程序框图，如果输入的t=0.01，则输出的n=

（A）5（B）6（C）7（D）8

word格式-可编辑-感谢下载支持

（10）25()xxy的展开式中，52xy的系数为

（A）10（B）20（C）30（D）60

（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和

俯视图如图所示。若该几何体的表面积为16+20



，则r=

（A）1（B）2（C）4（D）8

12.设函数

()(21)xfxexaxa,其中1a，若存在唯一的整数

0

x，使得

0

()0fx，则

a

的取值

范围是（）

word格式-可编辑-感谢下载支持

A.

3

[,1)

2e

B.

33

[,)

24e

C.

33

[,)

24e

D.

3

[,1)

2e

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第

（22）题~第（24）题未选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共3小题，每小题5分

（13）若函数2()ln()fxxxax为偶函数，则a

（14）一个圆经过椭圆

22

1

164

xy

的三个顶点，且圆心在

x

轴上，则该圆的标准方程为。

（15）若,xy满足约束条件

10,

0,

40,

x

xy

xy

















则

y

x

的最大值为.

（16）在平面四边形ABCD中，∠A=∠B=∠C=75°，BC=2，则AB的取值范围是

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分）

n

S为数列{}

n

a的前

n

项和.已知20,243

nnnn

aaaS，

（Ⅰ）求

{}

n

a的通项公式：

（Ⅱ）设

1

1

n

nn

b

aa



,求数列{}

n

b的前

n

项和。

（18）如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC=120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF

⊥平面ABCD，BE=2DF，AE⊥EC。

（1）证明：平面AEC⊥平面AFC

（2）求直线AE与直线CF所成角的余弦值

word格式-可编辑-感谢下载支持

（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y

（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费

i

x和年销售量(1,2,...,8)

i

yi数据

作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

x

y

w8

2

1

()

i

i

xx



8

2

1

()

i

i

ww



8

1

()()

ii

i

xxyy



8

1

()()

ii

i

wwyy





46.65636.8289.81.61469108.8

表中

ii

wx，

8

1

i

i

ww





（Ⅰ）根据散点图判断，yabx与

ycdx

哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费

x

的回归

方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）

（Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

（Ⅲ）已知这种产品的年利率z与x、y的关系为0.2zyx。根据（Ⅱ）的结果回答下列问题：

（i）年宣传费x=49时，年销售量及年利润的预报值是多少？

（ⅱ）年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？

附：对于一组数据

1122

(,),(,),...,(,)

nn

uvuvuv,其回归直线vu的斜率和截距的最小二乘估计

分别为：

^^^

1

2

1

()()

,

()

n

ii

i

n

i

i

uuvv

vu

uu















（20）（本小题满分12分）

word格式-可编辑-感谢下载支持

在直角坐标系xOy中，曲线

2

:

4

x

Cy与直线:(0)lykxaa交与,MN两点，

（Ⅰ）当0k时，分别求C在点M和N处的切线方程；

（Ⅱ）y轴上是否存在点P，使得当k变动时，总有∠OPM=∠OPN？说明理由。

（21）（本小题满分12分）

已知函数3

1

(),()ln

4

fxxaxgxx

(Ⅰ)当a为何值时，x轴为曲线()yfx的切线；

（Ⅱ）用min,mn表示m,n中的最小值，设函数()min(),()(0)hxfxgxx，讨论h

（x）零点的个数

请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，

请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。

（22）（本题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是O的直径，AC是O的切线，BC交O于E

（I）若D为AC的中点，证明：DE是O的切线；

（II）若

3OACE

，求∠ACB的大小.

（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中。直线

1

C:2x，圆

2

C：22121xy,以坐标原点为极点，

x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

（I）求

1

C，

2

C的极坐标方程；

（II）若直线

3

C的极坐标方程为

4

R



，设

2

C与

3

C的交点为M,N,求

2

CMN的面积

（24）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲

已知函数()|1|2||,0fxxxaa.

（Ⅰ）当1a时，求不等式()1fx的解集；

（Ⅱ）若()fx的图像与

x

轴围成的三角形面积大于6，求

a

的取值范围

word格式-可编辑-感谢下载支持

word格式-可编辑-感谢下载支持

word格式-可编辑-感谢下载支持

word格式-可编辑-感谢下载支持

word格式-可编辑-感谢下载支持