开普勒第三定律

开普勒第三定律

作者：闫柯李明河

一、开普勒第三定律内容

所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等。

（Kepler'sthirdlawofplanetarymotion：Theorbitsofalltheplanetsofthe

mi-majoraxisofthreepowersanditsorbitalperiodoftwotimeratiosareequal.）

二、表达形式

若用a代表椭圆轨道的半长轴，T代表公转周期，则

3

2

a

k

T



比值k是一个与行星无关的常量,只与中心天体质量有关,M相同则K值相同.

三、推导过程

把星球作的运动看成匀速圆周运动。这时，万有引力提供向心力。用质量、角速度、轨道

半径表示出向心力，这样就可以写出一个方程.再将方程中的角速度用周期、圆周率表示。再

用绕同一中心天体运的星体列一个方程，两式相比就可证明开普勒第三定律：

万有引力F=GMm/（R2）„„„„„„①

向心力F=mv2/R„„„„„„②

①=②，求出v2=GM/R„„„„„„„③

又T2=（2πR/v）2„„„„„„④

将③代入④即可

R3/T2=K=GM/4π2=R3/T2

R为运行轨道半径

T=行星公转周期

K=常数=GM/4π2

这种方法只局限于匀速圆周运动的轨道模型，但现实中的星体运动的轨道都为椭圆，于

是便有以下推导：

行星绕太阳运动椭圆轨道的面积，根据椭圆的性质则椭圆的面积（a为长轴，b

为短轴）由于单位时间内极径所扫过的面积

则周期①

根据椭圆的性质和开普勒第一定律，半长轴②

②式得

②式代入①式得③

根据椭圆的性质，椭圆的半短轴，则④

式④代入③式得C，由此式可知绕同一中心天体运行的人造星体轨道半长轴的三次方跟

它们的公转周期的二次方的比值由中心天体的质量所决定。

四、公式适用条件

开普勒定律是关于行星环绕太阳的运动，而牛顿定律更广义的是关于

粒子因万有引力相互吸引而产生的运动。在只有两个粒子，其中一个粒子超轻于另外一个粒子，

这些特别状况下，轻的粒子会环绕重的粒子移动，就好似行星根据

开普勒定律环绕太阳的移动。然而牛顿定律还容许其它解答，行星

轨道可以呈抛物线运动或双曲线运动。这是开普勒定律无法预测到

的。在一个粒子并不超轻于另外一个粒子的状况下，依照广义二体

问题的解答，每一个粒子环绕它们的共同质心移动。这也是开普勒

定律无法预测到的。

五、发现过程

被称为“星子之王”的第谷·布拉赫在天体观测方面获得不少

成就，死后留下20多年的观测资料和一份精密星表。他的助手开普

勒利用了这些观测资料和星表，进行新星表编制。然而工作伊始便

遇到了困难，按照正圆轨道来编制火星运行表一直行不通，火星这个“狡猾家伙”总不听指挥，

老爱越轨。经过一次次分析计算，开普勒发现，如果火星轨道不是正圆，而是椭圆，那么矛盾

不就烟消云散了吗。经过长期细致而复杂计算以后，他终于发现：行星在通过太阳的平面内沿

椭圆轨道运行，太阳位于椭圆的一个焦点上。这就是行星运动第一定律，又叫“轨道定律”。

当开普勒继续研究时，“诡谲多端”的火星又将他骗

了。原来，开普勒和前人都把行星运动当作等速来研究的。他按照这一方法苦苦计算了1年，

却仍得不到结果。开普勒用正圆编制火星的运行表，发现火星老是出轨。他便将正圆改为偏心圆。

在进行了无数次的试验后，他找到了与事实较为符合的方案。可是，依照这个方法来预测卫星的位置，

却跟第谷的数据不符，产生了8分的误差。这8分的误差相当于秒针0.02秒瞬间转过的角度。开普

勒知道第谷的实验数据是可信的，那错误出在什么地方呢？正是这个不容忽略的8分使开普勒走上了

天文学改革的道路。他敏感的意识到火星的轨道并不是一个圆周。随后，在进行了多次实验后，开普

勒将火星轨道确定为椭圆，并用三角定点法测出地球的轨道也是椭圆，断定它运动的线速度跟它与太

阳的距离有关。

后来他发现，在椭圆轨道上运行的行星速度不是常数，而是在相等时间内，行星与太阳的

联线所扫过的面积相等。这就是行星运动第二定律，又叫“面积定律”。

开普勒又经过9年努力，找到了行星运动第三定律：太阳系内所有行星公转周期的平方

同行星轨道半长径的立方之比为一常数，这一定律也叫“调和定律”。

六、定律意义

首先，开普勒定律在科学思想上表现出无比勇敢的创造精神。远在哥白尼创立日心宇宙体

系之前，许多学者对于天动地静的观念就提出过不同见解。但对天体遵循完美的均匀圆周运动

这一观念，从未有人敢怀疑。开普勒却毅然否定了它。这是个非常大胆的创见。哥白尼知道几

个圆合并起来就可以产生椭圆，但他从来没有用椭圆来描述过天体的轨道。正如开普勒所说，

“哥白尼没有觉察到他伸手可得的财富”。

其次，开普勒定律彻底摧毁了托勒密的本轮系，把哥白尼体系从本轮的桎梏下解放出来，

为它带来充分的完整和严谨。哥白尼抛弃古希腊人的一个先入之见，即天与地的本质差别，获

得一个简单得多的体系。但它仍须用三十几个圆周来解释天体的表观运动。开普勒却找到最简

单的世界体系，只用七个椭圆说就全部解决了。从此，不须再借助任何本轮和偏心圆就能简单

而精确地推算行星的运动。

第三，开普勒定律使人们对行星运动的认识得到明晰概念。它证明行星世界是一个匀称的

（即开普勒所说的“和谐”）系统。这个系统的中心天体是太阳，受来自太阳的某种统一力量

所支配。太阳位于每个行星轨道的焦点之一。行星公转周期决定于各个行星与太阳的距离，与

质量无关。而在哥白尼体系中，太阳虽然居于宇宙“中心”，却并不扮演这个角色，因为没有

一个行星的轨道中心是同太阳相重合的。

由于利用前人进行的科学实验和记录下来的数据而作出科学发现，在科学史上是不少的。

但像行星运动定律的发现那样，从第谷的20余年辛勤观测到开普勒长期的精心推算，道路如

此艰难，成果如此辉煌的科学合作，则是罕见的。这一切都是在没有望远镜的条件下得到的！

1601年，第谷逝世。约翰·开普勒接替了第谷的工作，开始编制鲁道夫星表。但开普勒的兴

趣和注意力却更多的放在改进和完善哥白尼的日心说上，在探讨行星轨道性质的研究上。他发

现第谷的观测数据，与哥白尼体系、托勒密体系都不符合。他决心寻找这种不一致的原因和行

星运行的真实轨道。

历年高考真题及解析：

1、（2010·江苏，6）2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形

轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示，关于航天飞机的

运动，下列说法中正确的有

A．在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度

B．在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能

C．在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期

D．在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度

解析：航天飞机在轨道Ⅱ上从远地点A向近地点B运动的过程中万有引力做正功，所以A点的速度小

于B点的速度，选项A正确；航天飞机在A点减速后才能做向心运动，从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，

所以轨道Ⅱ上经过A点的动能小于在轨道Ⅰ上经过A点的动能，选项B正确；根据开普勒第三定律

R3/T2=K，因为轨道Ⅱ的长半轴小于轨道Ⅰ的半径，所以航天飞机在轨道Ⅱ的运动周期小于在轨道Ⅰ

的运动周期，选项C正确；根据牛顿第二定律F＝ma，因航天飞机在轨道Ⅱ和轨道Ⅰ上A点的万有引

力相等，所以在轨道Ⅱ上经过A点的加速度等于在轨道Ⅰ上经过A点的加速度，选项D错误．故答案：

ABC

点评：本题考查万有引力和开普勒定律的综合应用，意在考查考生分析航天飞机变轨过程中的相关问

题的能力。难度：中等。

航天飞机在A点从圆形轨道I变到II，航天飞机应向前喷气还是向后喷气？

答案：应向前喷气使航天飞机减速。

2.（2010·全国2，21）已知地球同步卫星离地面的高度约为地球半径的6倍，若某行星的平均密度

为地球平均密度的一半，它的同步卫星距其表面的高度是其半径的2.5倍，则该行星的自转周期约为

()

A．6小时B．12小时

C．24小时D．36小时

解析：对地球同步卫星有

4πGR3

地ρ1m

37R地

2

＝m(

2π

T1

)2×7R地，对某行星的同步卫星有

4πGR3

行ρ2m

3

7

2

×R行

2

＝

m(

2π

T2

)2×

7

2

R行，两式相比得T1∶T2＝8×

ρ2

ρ1

＝2∶1，那么行星的同步卫星周期为12小时，即该行

星的自转周期约为12小时，B项对，故答案：B

点评：本题考查同步卫星的相关知识，对考生的运算能力要求较高．

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