菱形面积公式

菱形（基础）

【学习目标】

1.理解菱形的概念.

2.掌握菱形的性质定理及判定定理．

【要点梳理】

要点一、菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.

要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一

个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.

要点二、菱形的性质

菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：

1.菱形的四条边都相等；

2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称

中心.

要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将

菱形分成完全全等的两部分.

（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；

另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.

实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘

积的一半.

（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问

题.

要点三、菱形的判定

菱形的判定方法有三种：

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

3.四条边相等的四边形是菱形.

要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方

法是在四边形的基础上加上四条边相等.

【典型例题】

类型一、菱形的性质

1、（广安）如图，四边形ABCD是菱形，CE⊥AB交AB的延长线于点E，CF⊥AD

交AD的延长线于点F，求证：DF=BE．

【思路点拨】连接AC，根据菱形的性质可得AC平分∠DAE，CD=BC，再根据角平分线的

性质可得CE=FC，然后利用HL证明Rt△CDF≌Rt△CBE，即可得出DF=BE．

【答案与解析】

证明：连接AC，

∵四边形ABCD是菱形，

∴AC平分∠DAE，CD=BC，

∵CE⊥AB，CF⊥AD，

∴CE=FC，∠CFD=∠CEB=90°．

在Rt△CDF与Rt△CBE中，

，

∴Rt△CDF≌Rt△CBE（HL），

∴DF=BE．

【总结升华】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相

垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的

距离相等．同时考查了全等三角形的判定与性质．

举一反三：

【变式1】（温州模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于

点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO=度．

【答案】50；

解：在菱形ABCD中，

AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，

CD=CB，∠BCO=∠DCO，

∴在△BCO和△DCO中，

，

∴△BCO≌△DCO（SAS），

∴∠CBO=∠CDO=50°．

【高清课堂特殊的平行四边形（菱形）例1】

【变式2】菱形ABCD中，∠A∶∠B＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于()．

A.

2

1

B.4C.1D.2

【答案】C；

提示：由题意，∠A＝30°，边长为2，菱形的高等于

1

2

×2＝1.

类型二、菱形的判定

2、如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，DE∥AC，DF∥BC，四边形DECF是

菱形吗?试说明理由．

【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE∥AC，DF∥BC知四边形DECF是平行四边

形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．

【答案与解析】

解：四边形DECF是菱形，理由如下：

∵DE∥AC，DF∥BC

∴四边形DECF是平行四边形．

∵CD平分∠ACB，∴∠1＝∠2

∵DF∥BC，

∴∠2＝∠3，

∴∠1＝∠3．

∴CF＝DF，

∴四边形DECF是菱形．

【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，

再由一对邻边相等来判定它是菱形．

举一反三：

【变式】如图所示，AD是△ABC的角平分线，EF垂直平分AD，分别交AB于E，交AC于F，

则四边形AEDF是菱形吗?请说明理由．

【答案】

解：四边形AEDF是菱形，理由如下：

∵EF垂直平分AD，

∴△AOF与△DOF关于直线EF成轴对称．

∴∠ODF＝∠OAF，

又∵AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，

∴∠ODF＝∠OAE．∴AE∥DF，

同理可得：DE∥AF．

∴四边形AEDF是平行四边形，∴EO＝OF

又∵AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．

∴AEDF是菱形．

3、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACD，交AD于点

G，交AB于点E，EF⊥BC于点F．求证：四边形AEFG是菱形．

【思路点拨】由角平分线性质易知AE＝EF，欲证四边形AEFG是菱形，只要再证四边形

AEFG是平行四边形或AG＝GF＝AE即可．

【答案与解析】

证明：方法一：∵CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，

∴AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．

∵∠1＝∠2，

∴∠3＝∠4．

∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD．

∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．

∴AE＝AG．∴EFAG．

∴四边形AEFG是平行四边形．

又∵AE＝AG，

∴四边形AEFG是菱形．

方法二：∵CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，

∴AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．

∴∠3＝∠4．

∵EF⊥BC，AD⊥BC，∴EF∥AD．

∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．

∴AE＝AG．

在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，

∴△AEG≌△FEG．

∴AG＝FG．

∴AE＝EF＝FG＝AG．

∴四边形AEFG是菱形．

【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．

举一反三：

【变式】如图所示，在ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作

AG∥DB交CB的延长线于点G．

(1)求证：DE∥BF；

(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．

【答案】

证明：(1)ABCD中，AB∥CD，AB＝CD

∵E、F分别为AB、CD的中点

∴DF＝

1

2

DC，BE＝

1

2

AB

∴DF∥BE．DF＝BE

∴四边形DEBF为平行四边形

∴DE∥BF

(2)证明：∵AG∥BD

∴∠G＝∠DBC＝90°

∴△DBC为直角三角形

又∵F为边CD的中点．

∴BF＝

1

2

DC＝DF

又∵四边形DEBF为平行四边形

∴四边形DEBF是菱形

类型三、菱形的应用

4、如图所示，是一种长0.3

m

，宽0.2

m

的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边

BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2

m

，

宽2.8

m

的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：

(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?

(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?

【答案与解析】

解：墙壁长4.2

m

，宽2.8

m

，矩形瓷砖长0.3

m

，宽0.2

m

，4.2÷0.3＝14，2.8÷0.2

＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．

(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．

(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一

半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积

的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×13＝

169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．

【总结升华】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个

数和阴影菱形的个数．将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，

不要忽略周围图形的拼接．

【巩固练习】

一.选择题

1．（潍坊模拟）下列说法中，错误的是（）

A.平行四边形的对角线互相平分B.对角线互相平分的四边形是平行四边

C．菱形的对角线互相垂直D.对角线互相垂直的四边形是菱形

2．（莆田）菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（）

A．对边相等B．对角相等

C．对角线互相平分D．对角线互相垂直

3．如图，在菱形ABCD中，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF＝2，那么菱形ABCD的周长

是()

A.4B.8

C.12D.16

4.如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于（）

A．20B．15C．10D．5

5.如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC等于（）

A．40°B．50°C．80°D．100°

6．将矩形纸片ABCD按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF．若AB＝3，则BC的长为()

A.1B.2C.2D.

3

二.填空题

7．已知菱形的周长为40

cm

，两个相邻角度数之比为1∶2，则较长对角线的长为______

cm

．

8．（南充）如图，菱形ABCD的周长为8cm，高AE长为cm，则对角线AC长和BD长

之比为.

9.已知菱形ABCD两对角线AC＝8

cm

,BD＝6

cm

,则菱形的高为________.

10.（内江）如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC=8，BD=6，OE

⊥BC，垂足为点E，则OE=．

11.如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝13，AC＝10，过点D作DE∥AC

交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_____.

12.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点B的坐标为（8，4），则C点的坐标为_______.

三.解答题

13．如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE

的最小值是

3

，求AB的值．

14．如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB，CD的中点，连接DE、BF、BD．若AD⊥BD，

则四边形BFDE是什么特殊四边形？请证明你的结论．

15（泰安校级期中）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD

于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，

连接BG、DF．

（1）求证：BD=DF；

（2）求证：四边形BDFG为菱形；

（3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长．

【答案与解析】

一.选择题

1.【答案】D；

2.【答案】D

【解析】∵菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直；

平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分；

∴菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直．

故选D．

3.【答案】D；

【解析】BC＝2EF＝4，周长等于4BC＝16.

4.【答案】B；

【解析】∵∠BCD=120°，∴∠B=60°，又∵ABCD是菱形，∴BA=BC，∴△ABC是等边三角

形，故可得△ABC的周长=3AB=15．

5.【答案】C；

【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴∠BAC＝

1

2

∠BAD，CB∥AD，∵∠BAC＝50°，∴∠BAD

＝100°，∵CB∥AD，∴∠ABC＋∠BAD＝180°，∴∠ABC＝180°－100°＝80°．

6.【答案】D；

【解析】∠DAF＝∠FAO＝∠OAE＝30°，所以2BE＝CE＝AE，3BE＝3，BC＝3BE＝3.

二.填空题

7.【答案】

103

；

【解析】由题意，菱形相邻内角为60°和120°，较长对角线为222105103.

8．【答案】1：；

【解析】如图，设AC，BD相较于点O，

∵菱形ABCD的周长为8cm，

∴AB=BC=2cm，

∵高AE长为cm，

∴BE==1（cm），

∴CE=BE=1cm，

∴AC=AB=2cm，

∵OA=1cm，AC⊥BD，

∴OB==（cm），

∴BD=2OB=2cm，

∴AC：BD=1：．

9.【答案】

24

5

cm；

【解析】菱形的边长为5，面积为

1

6824

2

，则高为

24

5

cm.

10.【答案】

.

【解析】∵四边形ABCD为菱形，

∴AC⊥BD，OB=OD=BD=3，OA=OC=AC=4，

在Rt△OBC中，∵OB=3，OC=4，

∴BC==5，

∵OE⊥BC，

∴OE•BC=OB•OC，

∴OE==．

故答案为．

11.【答案】60；

【解析】因为菱形的对角线互相垂直及互相平分就可以在Rt△AOB中利用勾股定理求出

OB＝12，BD＝2OB＝24，DE＝2OC＝10，BE＝2BC＝26，△BDE的周长为60．

12.【答案】（3,4）；

【解析】过B点作BD⊥OA于D，过C点作CE⊥OA于E，BD＝4，OA＝

x

，AD＝8－

x

，

2

2284xx，解得5x，所以OE＝AD＝8－5＝3，C点坐标为（3,4）.

三.解答题

13.【解析】

解：∵∠ABC＝120°

∴∠BCD＝∠BAD＝60°；

∵菱形ABCD中，AB＝AD

∴△ABD是等边三角形；

又∵E是AB边的中点，B关于AC的对称点是D，DE⊥AB

连接DE，DE与AC交于P，PB＝PD；

DE的长就是PB＋PE的最小值

3

；

设AE＝

x

，AD＝2x，

DE＝2

2233xxx，所以1x，AB＝22x.

14.【解析】

四边形BFDE是菱形，

证明：∵AD⊥BD，

∴△ABD是直角三角形，且AB是斜边，

∵E为AB的中点，

∴DE＝

1

2

AB＝BE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB，DC＝AB，

∵F为DC中点，E为AB中点，

∴DF＝

1

2

DC，BE＝

1

2

AB，

∴DF＝BE，DF∥BE，

∴四边形DFBE是平行四边形，

∵DE＝EB，

∴四边形BFDE是菱形．

15.【解析】

证明：∵∠ABC=90°，BD为AC的中线，

∴BD=AC，

∵AG∥BD，BD=FG，

∴四边形BGFD是平行四边形，

∵CF⊥BD，

∴CF⊥AG，

又∵点D是AC中点，

∴DF=AC，

∴BD=DF；

（2）证明：∵BD=DF，

∴四边形BGFD是菱形，

（3）解：设GF=x，则AF=13﹣x，AC=2x，

∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，

∴AF2+CF2=AC2

，即（13﹣x）

2+62=（2x）2

，

解得：x=5，

∴四边形BDFG的周长=4GF=20．