2014考研数学二答案

2014年考研数学二真题与解析

一、选择题1—8小题．每小题4分，共32分．

１．当0x时，若)(lnx21，

1

1)cos(x

均是比x高阶的无穷小，则的可能取值范围是（）

（A）),(2（B）),(21（C）),(1

2

1

（D）),(

2

1

0

【详解】xx221~)(ln，是阶无穷小，





2

1

1

2

1

1xx~)cos(是



2

阶无穷小，由题意可知















1

2

1





所以



的可能取值范围是),(21，应该选（B）．

2．下列曲线有渐近线的是

（A）xxysin（B）xxysin2（C）

x

xy

1

sin（D）

x

xy

1

2sin

【详解】对于

x

xy

1

sin，可知1

x

y

x

lim且0

1



x

xy

xx

sinlim)(lim，所以有斜渐近线xy

应该选（C）

3．设函数)(xf具有二阶导数，xfxfxg)())(()(110，则在],[10上（）

（A）当0)('xf时，)()(xgxf（B）当0)('xf时，)()(xgxf

（C）当0



)(xf时，)()(xgxf（D）当0



)(xf时，)()(xgxf

【分析】此题考查的曲线的凹凸性的定义及判断方法．

【详解1】如果对曲线在区间],[ba上凹凸的定义比较熟悉的话，可以直接做出判断．显然

xfxfxg)())(()(110就是联接))(,()),(,(1100ff两点的直线方程．故当0



)(xf时，曲线是凹

的，也就是)()(xgxf，应该选（D）

【详解2】如果对曲线在区间],[ba上凹凸的定义不熟悉的话，可令

xfxfxfxgxfxF)())(()()()()(110，则010)()(FF，且)(")("xfxF，故当

0



)(xf时，曲线是凹的，从而010)()()(FFxF，即0)()()(xgxfxF，也就是

)()(xgxf，应该选（D）

精选文库

--

2

4．曲线











14

7

2

2

tty

tx,

上对应于1t的点处的曲率半径是（）

（Ａ）

50

10

（Ｂ）

100

10

(Ｃ）

1010

（Ｄ）

105

【详解】曲线在点))(,(xfx处的曲率公式

321)'(

"

y

y

K



，曲率半径

K

R

1

．

本题中422t

dt

dy

t

dt

dx

,，所以

tt

t

dx

dy2

1

2

42





，

3

2

2

21

2

2

t

t

t

dx

yd





，

对应于1t的点处13",'yy，所以

1010

1

132







)'(

"

y

y

K，曲率半径1010

1



K

R．

应该选（C）

5．设函数xxfarctan)(，若)(')(xfxf，则



2

2

0xx



lim（）

（Ａ）1（Ｂ）

3

2

（Ｃ）

2

1

（Ｄ）

3

1

【详解】注意（1）

21

1

x

xf



)('，（2）)(arctan,33

3

1

0xoxxxx时．

由于)(')(xfxf．所以可知

x

x

x

xf

f

arctan)(

)('





21

1



，

2

2

)(arctan

arctan

x

xx

，

3

1

3

1

3

33

0

2

0

2

2

0











x

xoxxx

xx

xarxx

xxxx

)()(

lim

)(arctan

tan

limlim



．

6．设),(yxu在平面有界闭区域D上连续，在D的内部具有二阶连续偏导数，且满足0

2







yx

u

及

0

2

2

2

2













y

u

x

u

，则（）．

（A）),(yxu的最大值点和最小值点必定都在区域D的边界上；

（B）),(yxu的最大值点和最小值点必定都在区域D的内部；

（C）),(yxu的最大值点在区域D的内部，最小值点在区域D的边界上；

（D）),(yxu的最小值点在区域D的内部，最大值点在区域D的边界上．

精选文库

--

3

【详解】),(yxu在平面有界闭区域D上连续，所以),(yxu在D内必然有最大值和最小值．并且如果在

内部存在驻点),(

00

yx，也就是0











y

u

x

u

，在这个点处

xy

u

yx

u

B

y

u

C

x

u

A

























22

2

2

2

2

,,，由

条件，显然02BAC，显然),(yxu不是极值点，当然也不是最值点，所以),(yxu的最大值点和最

小值点必定都在区域D的边界上．

所以应该选（A）．

7．行列式

dc

dc

ba

ba

00

00

00

00

等于

（A）2)(bcad（B）2)(bcad（C）2222cbda（D）2222cbda

【详解】

2

0

00

0

0

00

0

00

00

00

00

)(bcad

dc

ba

bc

dc

ba

ad

dc

c

ba

b

dc

d

ba

a

dc

dc

ba

ba



应该选（B）．

8．设

321

,,是三维向量，则对任意的常数lk,，向量

31

k，

32

l线性无关是向量

321

,,

线性无关的

（A）必要而非充分条件（B）充分而非必要条件

（C）充分必要条件（D）非充分非必要条件

【详解】若向量

321

,,线性无关，则

（

31

k，

32

l）K

lk

),,(),,(

321321

10

01























，对任意的常数lk,，矩阵K的秩都等

于2，所以向量

31

k，

32

l一定线性无关．

而当



































































0

0

0

0

1

0

0

0

1

321

,,时，对任意的常数lk,，向量

31

k，

32

l线性无关，但

321

,,线性相关；故选择（A）．

精选文库

--

4

二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上）

9．





1

252

1

dx

xx

．

【详解】





























11

1

228

3

242

1

2

1

2

1

4152

1

)(|arctan

)(

x

x

dx

dx

xx

．

10．设)(xf为周期为4的可导奇函数，且2012,),()('xxxf，则)(7f．

【详解】当20,x时，

Cxxdxxxf2122)()(，由00)(f可知0C，即

xxxf22)(；)(xf为周期为4奇函数，故1117)()()(fff．

11．设),(yxzz是由方程

4

7

22zyxeyz确定的函数，则













2

1

2

1

,

|dz．

【详解】设

4

7

22zyxezyxFyz),,(，1222122yz

z

yz

yx

yeFyzeFF,,，当

2

1

yx

时，0z，

2

1







z

x

F

F

x

z

，

2

1







z

y

F

F

y

z

，所以













2

1

2

1

,

|dzdydx

2

1

2

1

．

12．曲线L的极坐标方程为r，则L在点













22



,),(r处的切线方程为．

【详解】先把曲线方程化为参数方程















sinsin)(

coscos)(

ry

rx

，于是在

2



处，

2

0



yx,，







2

22







|

sincos

cossin

|

dx

dy

，则L在点













22



,),(r处的切线方程为)(0

2

2

xy





，即

.

2

2



xy

13．一根长为1的细棒位于

x

轴的区间10,上，若其线密度122xxx)(，则该细棒的质心坐标

x．

【详解】质心坐标

20

11

3

5

12

11

12

2

1

0

2

1

0

23

1

0

1

0















dxxx

dxxxx

dxx

dxxx

x

)(

)(

)(

)(





．

14．设二次型

3231

2

2

2

1321

42xxxaxxxxxxf),,(的负惯性指数是1，则

a

的取值范围

精选文库

--

5

是．

【详解】由配方法可知

2

3

22

32

2

31

3231

2

2

2

1321

42

42

xaxxaxx

xxxaxxxxxxf

)()()(

),,(





由于负惯性指数为1，故必须要求042a，所以a的取值范围是22,．

三、解答题

15．（本题满分10分）

求极限

)ln(

))((

lim

x

x

dttetx

t

x1

1

1

2

1

1

2







．

【分析】．先用等价无穷小代换简化分母，然后利用洛必达法则求未定型极限．

【详解】

2

11

2

11

1

1

1

1

1

22

2

1

2

1

1

2

2

1

1

2



































x

x

o

x

x

x

xex

x

dttet

x

x

dttet

x

x

x

x

t

x

x

t

x

)((lim

))((lim

))((

lim

)ln(

))((

lim

16．（本题满分10分）

已知函数)(xyy满足微分方程''yyyx122，且02)(y，求)(xy的极大值和极小值．

【详解】

解：把方程化为标准形式得到2211x

dx

dy

y)(，这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边分别积分

可得方程通解为：Cxxyy33

3

1

3

1

，由02)(y得

3

2

C，

即

3

2

3

1

3

1

33xxyy．

令

0

1

1

2

2









y

x

dx

dy

，得1x，且可知

32

2222

2

2

1

1212

)(

)()(

y

xyyx

dx

yd







；

当1x时，可解得1y，01"y，函数取得极大值1y；

当1x时，可解得0y，02"y，函数取得极小值0y．

17．（本题满分10分）

精选文库

--

6

设平面区域004122yxyxyxD.,|),(．计算





D

dxdy

yx

yxx)sin(22

【详解】由对称性可得

4

3

2

1

12

1

2

1

2

1

2

0

22

222222



























D

DDD

drrrddxd

yx

dxdy

yx

yxyx

dxd

yx

yxy

dxd

yx

yxx









sin

)sin(

)sin()()sin()sin(

18．（本题满分10分）

设函数)(uf具有二阶连续导数，)cos(yefzx满足xxeyez

y

z

x

z

2

2

2

2

2

4)cos(











．若

0000)(',)(ff，求)(uf的表达式．

【详解】

设yeuxcos，则)cos()(yefufzx，

yeufyeuf

x

z

euf

x

z

xxyxcos)('cos)(",)('cos











22

2

2

;

yeufyeuf

y

z

yeuf

y

z

xxxcos)('sin)(",sin)('











22

2

2

；

xxxeyefeuf

y

z

x

z

22

2

2

2

2

)cos(")("











由条件xxeyez

y

z

x

z

2

2

2

2

2

4)cos(











，

可知

uufuf)()("4

这是一个二阶常用系数线性非齐次方程．

对应齐次方程的通解为：

uueCeCuf2

2

2

1

)(其中

21

CC,为任意常数．

对应非齐次方程特解可求得为uy

4

1

*．

故非齐次方程通解为ueCeCufuu

4

1

2

2

2

1

)(．

精选文库

--

7

将初始条件0000)(',)(ff代入，可得

16

1

16

1

21

CC,．

所以)(uf的表达式为ueeufuu

4

1

16

1

16

1

22)(．

19．（本题满分10分）

设函数)(),(xgxf在区间ba.上连续，且)(xf单调增加，10)(xg，证明：

（1）baxaxdttg

x

a

,,)(0；

（2）

b

a

dttga

a

dxxgxfdxxf

b

a)()()()(

．

【详解】

（1）证明：因为10)(xg，所以baxdtdttgdx

x

a

x

a

x

a

,)(10．

即baxaxdttg

x

a

,,)(0．

（2）令



x

a

dttga

a

x

a

duufduugufxF)()()()()(，

则可知0)(aF，且











x

a

dttgafxgxgxfxF)()()()()('，

因为,)(axdttg

x

a

0且)(xf单调增加，

所以)()()(xfaxafdttgaf

x

a















．从而

0













)()()()()()()()()('xfxgxgxfdttgafxgxgxfxFx

a

，bax,

也是)(xF在ba,单调增加，则0)()(aFbF，即得到



b

a

dttga

a

dxxgxfdxxf

b

a)()()()(

．

20．（本题满分11分）

设函数10

1

,,)(



x

x

x

xf，定义函数列

)()(xfxf

1

，))(()(xffxf

12

，)),(()(,xffxf

nn1



设

n

S是曲线)(xfy

n

，直线01yx,所围图形的面积．求极限

n

n

nS



lim．

【详解】

x

x

x

x

x

x

xf

xf

xf

x

x

xf

21

1

1

1

11

1

1

21



















)(

)(

)(,)(，,)(

x

x

xf

313

，

精选文库

--

8

利用数学归纳法可得.)(

nx

x

xf

n



1

)

)ln(

()()(

n

n

n

dx

nxn

dx

nx

x

dxxfS

nn













1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

1

0

，

1

1

1

















n

n

nS

n

n

n

)ln(

limlim．

21．（本题满分11分）

已知函数),(yxf满足)(12





y

y

f

，且yyyyyfln)()(),(212，求曲线0),(yxf所成的

图形绕直线1y旋转所成的旋转体的体积．

【详解】

由于函数),(yxf满足)(12





y

y

f

，所以)(),(xCyyyxf22，其中)(xC为待定的连续函数．

又因为yyyyyfln)()(),(212，从而可知yyyCln)()(21，

得到xxyyxCyyyxfln)()(),(212222．

令0),(yxf，可得xxyln)()(212．且当1y时，21

21

xx,．

曲线0),(yxf所成的图形绕直线1y旋转所成的旋转体的体积为

)ln(ln)()(

4

5

22212

1

2

1

2dxxxdxyV

22．（本题满分11分）

设



























3021

1110

4321

A，E为三阶单位矩阵．

（1）求方程组0AX的一个基础解系；

（2）求满足EAB的所有矩阵．

【详解】（1）对系数矩阵A进行初等行变换如下：











































































































3100

2010

1001

3100

1110

4321

1340

1110

4321

3021

1110

4321

A，

得到方程组0AX同解方程组

精选文库

--

9

















43

42

41

3

2

xx

xx

xx

得到0AX的一个基础解系

































1

3

2

1

1

．

（2）显然B矩阵是一个34矩阵，设































444

333

222

111

zyx

zyx

zyx

zyx

B

对矩阵)(AE进行进行初等行变换如下：















































































































1413100

1312010

1621001

1413100

0101110

0014321

1011340

0101110

0014321

1003021

0101110

0014321

)(AE

由方程组可得矩阵B对应的三列分别为































































































1

3

2

1

0

1

1

2

1

4

3

2

1

c

x

x

x

x

，































































































1

3

2

1

0

4

3

6

2

4

3

2

1

c

y

y

y

y

，





























































































1

3

2

1

0

1

1

1

3

4

3

2

1

c

z

z

z

z

，

即满足EAB的所有矩阵为





































321

321

321

321

313431

212321

162

ccc

ccc

ccc

ccc

B

其中

321

ccc,,为任意常数．

23．（本题满分11分）

证明

n

阶矩阵





























111

111

111









与





























n00

200

100









相似．

精选文库

--

10

【详解】证明：设A





























111

111

111









，B





























n00

200

100









．

分别求两个矩阵的特征值和特征向量如下：

1

111

111

111









nnAE







)(









，

所以A的

n

个特征值为0

321



n

n,；

而且A是实对称矩阵，所以一定可以对角化．且





























0

0





~A；

1

00

20

10









nn

n

BE







)(









所以B的

n

个特征值也为0

321



n

n,；

精选文库

--

11

对于1n重特征值0，由于矩阵BBE)(0的秩显然为1，所以矩阵B对应1n重特征值0

的特征向量应该有1n个线性无关，进一步矩阵B存在

n

个线性无关的特征向量，即矩阵B一定可以对

角化，且





























0

0





~B

从而可知

n

阶矩阵





























111

111

111









与





























n00

200

100









相似．