高三数学试卷

高三数学测试试卷

考试范围：xxx；考试时间：xxx分钟；出题人：xxx

姓名：___________班级：___________考号：___________

题号一二三总分

得分

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息

2．请将答案正确填写在答题卡上

评卷人得分

一、选择题

1.某多面体的三视图如下图所示（网格纸上小正方形的边长为1），则该

多面体的表面积为（）

A．B．C．12D．

2.已知圆：，平面区域Ω：．若圆心，

且圆与轴相切，则的最大值为（）

A．B．C．D．

3.已知，，由程序框图输出的值为（）

A．B．C．D．

4.见右侧程序框图，若输入，则输出结果是

A．51B．49C．47D．45

5.已知，则（）

A．或0B．或0C．D．

6.设f(x)＝3x－x2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是()

A．（0,1）B．（1,2）C．(－2，－1)D．(－1,0)

7.如图所示，D是△ABC的边AB的中点，则向量＝()

A．－＋B．－－C．－D．＋

8.已知复数（其中，是虚数单位）是纯虚数，则的值为（）

A．B．C．D．

9.已知为锐角)，则（）

A．

B．

C．

D．

10.已知球面的三个大圆所在平面两两垂直，则以三个大圆的交点为顶点

的八面体的体积与球体积之比为（）

A．1:B．1:2C．2:D．4:3

11.的外接圆的圆心为,，则等于（）

A．B．C．D．

12.已知，则这四个数的大小关系是（）

A．a

B．a>b>c>d

C．d

D．b>a>c>d

13.设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂

足．如果直线AF的斜率为,那么|PF|=

A．B．8C．D．16

14.某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是

A．3B．4C．5D．6

15.已知点A（-1,0）,B(1,3),向量=（2k-1,2）,若则实数k的值为

（）

A．-2B．-1C．1D．2

16.设直线与纵轴有直线所围成的封闭图形为区域，不等式

组所确定的区域为，在区域内随机取一点，该点恰好在区

域的概率为（）

A．B．C．D．以上答案均不正确

17.一个递增的等差数列，前三项的和，且成

等比数列，则数列的公差为()

A．B．3C．2D．1

18.复数的实部与虚部之和为（）

A．-3

B．-11

C．6

D．4

19.如图所示是用模拟方法估计圆周率值的程序框图，表示估计的结果，

则图中空白框内应填入（）

A．B．C．D．

20.设实数，满足约束条件已知的最大值是7，

最小值是，则实数的值为（）

A．B．C．D．

评卷人得分

二、填空题

21.若正实数满足32，则的最小值为.

22.在直角坐标系xOy中，点P(xP，yP)和点Q(xQ，yQ)满足，按此规则由

点P得到点Q，称为直角坐标平面的一个“点变换”．此变换下，若＝m，

∠POQ＝q，其中O为坐标原点，则y＝msin(x＋q)的图象在y轴右边第

一个最高点的坐标为▲．

23.在平面直角坐标系中，已知点是椭圆上的一个动点，

点在线段的延长线上，且，则点横坐标的最大值

为.

24.如图2，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若，

则

x=，y=。

25.．已知是圆(为圆心）上的两点，,则=

26.用表示，两个数中的最小值，设（），

则由函数的图象，轴与直线和直线所围成的封闭图形的面

积为_____

27.已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为

________．

28.△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若（a+b-c）

（a+b+c）=ab，则角C=______．

29.执行右边的程序框图，若，则输出的S

30.函数的定义域为_________．

评卷人得分

三、解答题

31.北京市各级各类中小学每年都要进行“学生体质健康测试”，测试总成

绩满分为分，规定测试成绩在之间为体质优秀；在之

间为体质良好；在之间为体质合格；在之间为体质不合格．

现从某校高三年级的名学生中随机抽取名学生体质健康测试成绩，

其茎叶图如下：

（Ⅰ）试估计该校高三年级体质为优秀的学生人数；

（Ⅱ）根据以上名学生体质健康测试成绩，现采用分层抽样的方法，

从体质为优秀和良好的学生中抽取名学生，再从这名学生中选出人．

（ⅰ）求在选出的名学生中至少有名体质为优秀的概率；

（ⅱ）求选出的名学生中体质为优秀的人数不少于体质为良好的人数的

概率．

32.某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆

中每辆车的赔付结果统计如下：

赔付金额

（元）

04000

车辆数

（辆）

520

（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的

概率；

（2）在样本车辆中，车主是新司机的占，在赔付金额为4000元的

样本车辆中，车主是新司机的占，（3）估计在已投保车辆中，新司

机获赔金额为4000元的概率.

33.如图，四边形是☉的内接四边形，不经过点，平分

，经过点的直线分别交的延长线于点，且

，证明：

（1）∽；

（2）是☉的切线.

34.年月日时分秒“嫦娥二号”探月卫星由长征三号丙运载火

箭送入近地点高度约公里、远地点高度约万公里的直接奔月椭圆

(地球球心为一个焦点)轨道Ⅰ飞行。当卫星到达月球附近的特定位置时，

实施近月制动及轨道调整，卫星变轨进入远月面公里、近月面公里

(月球球心为一个焦点)的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，之后卫星再次择机变轨

进入以为圆心、距月面公里的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，并开展相关技

术试验和科学探测。已知地球半径约为公里，月球半径约为公

里。

（Ⅰ）比较椭圆轨道Ⅰ与椭圆轨道Ⅱ的离心率的大小；

（Ⅱ）以为右焦点,求椭圆轨道Ⅱ的标准方程。

35.(本小题满分12分)设，是两个相互垂直的单位向量，且

，.

（1）若，求的值；

（2）若，求的值.

参考答案

1.A

【解析】

由三视图知多面体放在棱长为的正方体中．如图，则表面积为

．故本题答案选．

点睛：本题主要考查几何体的三视图.已知几何体的三视图,求组成此几何

体的的实物图问题,进一步求几何体的表面积,体积等.一般都是结合正视

图和侧视图在俯视图上操作,这是因为正视图反映了物体的长与高,侧视图

反映了物体的宽与高,俯视图反映了物体的长与宽,但要注意组合体是由哪

几个基本几何体生成的,并注意它们的生成方式,特别是它们的交线位置.

2.B

【解析】

试题分析：作出不等式组对应的平面区域如图：

∵圆与x轴相切，∴由图象知，即圆心在直线上，

若最大，则只需要最大即可，

由图象知当位于直线与的交点时，最大，

此时两直线的交点坐标为，此时，

故的最大值为，

故选B．

考点：简单线性规划

【方法点晴】本题主要考查线性规划的应用，利用圆和x轴相切，求出

b，以及数形结合是解决本题的关键．根据圆与x轴相切，得到b=1，作

出不等式组对应的平面区域，利用数形结合进行判断即可．

3.D

【解析】

试题分析：,，∴

,∴，由程序图可知求两个数的最大值，输出的是最小的一个

数，∴，故选：B．

考点：1．定积分；2．程序框图．

4.A

【解析】

执行程序框图，第一次执行循环体后，，不满足退出循环的

条件；第二次执行循环体后，，不满足退出循环的条件；第

三次执行循环体后，，不满足退出循环的条件；第四次执行

循环体后，，不满足退出循环的条件；

第五次执行循环体后，，不满足退出循环的条件；第六次

执行循环体后，，满足退出循环的条件，输出的值为，

故选A.

5.A

【解析】，所以

,解得或,

或，

又

当时，

当时，,

故选A.

6.D

【解析】

试题分析：由题意知又函数的零点存在定

理知，使函数f(x)有零点的区间是(－1,0).

考点：本小题主要考查零点存在定理的应用，考查学生的推理能力.

点评：只要连续函数在某个区间上两端点处的函数值异号，则在这个区

间上一定有零点.

7.A

【解析】=－＋

8.B

【解析】,是纯虚数,所以，解得

，经检验满足，故选B.

9.A

【解析】

试题分析：.

考点：三角恒等变换.

10.A

【解析】设球的半径为R，把正八面体分成两个正四棱锥，

四棱锥的底面的正方形的对角线长2R，可得正方形边长为R，

底面正方形面积为2R2，

四棱锥的高为R，

正八面体的体积为：2R22R=R3

所以正八面体的体积与球体积之比为：

（R3）：（πR3）=1：π

故选A．

11.C

【解析】由AB，AC及BC的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形ABC

为直角三角形，即A为直角，可得BC为圆的直径，O为BC中点，利用

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，根据BC的长求出AO及

CO的长都是，再由AC的长，在三角形AOC中设出∠AOC=α，利

用余弦定理求出cosα的值，然后利用平面向量的数量积运算法则表示出

所求的式子，利用诱导公式化简后，将各自的值代入即可求出值为，

选C

12.C

【解析】∵是减函数，3.5<4.1，

，

∴，

，

，

∴c.

故选：C.

13.B

【解析】

试题分析：，准线，直线令得

，

考点：抛物线定义及性质

点评：求抛物线上的点到焦点的距离转化为求该点到准线的距离

14.B

【解析】

试题分析：根据题意,由于条件中给定的初始量k=0,s=0;那么得到s=1,k=1;

依次得到s="1+2=3,k=2;"依次得到s=1+2+23="11,k=3;"依次得到

s=1+2+23+24>100,k=4;此时终止循环得到k的值为4，故答案为B.

考点：程序框图

点评：主要是考查了程序框图的运用,理解循环结构的运用,属于基础题.

15.B

【解析】略

16.B

【解析】

画出由曲线与纵轴及直线所围成的封闭图形区域（阴影部

分），以及不等式组所确定的区域，如图所示，

则在区域内随机取一点，该点恰好在区域的概率为：．故

选：B．

17.C

【解析】略

18.B

【解析】

试题分析：，∴复数的实部与虚部

之和为。故选B。

考点：复数的四则运算。

19.C

【解析】

试题分析：由程序框图可知，表示落入圆内的个数，由

，整理得.故正确答案为C.

考点：1.程序框图；2.几何概型的应用.

20.D

【解析】

试题分析：当即时，在点取得最大值,由

，当，即时,在点取得最

大值，由

（舍），

故选D.

考点：线性规划．

【方法点晴】本题考查线性规划问题，灵活性较强，属于较难题型．考

生应注总结解决线性规划问题的一般步骤（1）在直角坐标系中画出对应

的平面区域，即可行域；（2）由目标函数变形为；

（3）作平行线：将直线平移，使直线与可行域有交点，且观察

在可行域中使最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标；（4）

求出最优解：将（3）中求出的坐标代入目标函数，从而求出的最大

（小）值.

21.16

【解析】，（当且仅当，

即时取等）.

考点：基本不等式.

22.(，)

【解析】略

23.15

【解析】

试题分析：设，由，得，

，研究点横坐

标的最大值，仅考虑，（当且仅当

时取“=”）．

考点：向量的数量积的运算及基本不等式的运用．

24.；

【解析】作，设，，

由解得故

25.2

【解析】因为点A,B是圆C上的两点，那么根据|AB|=2，则

,可知ACB=600，

解得为2.

26.

【解析】略

27.－

【解析】设△ABC的三边a，b，c成公比为的等比数列，

∴b＝a，c＝2a.

则cosC＝＝＝－

28.

【解析】由，得，即，

则，又,.

考点：余弦定理.

29.

【解析】略

30.或

【解析】令,解得或,故填或

.

31.（Ⅰ）100；（Ⅱ）（ⅰ），（ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）由茎叶图可知抽取的30名学生中体质优秀的有10人，

所以优秀率为，用总数乘以优秀率即可得优秀的总人数。（Ⅱ）由茎

叶图可知抽取的30名学生中体质优秀的有10人，体质为良好的15人。

所以样本中体质为优秀和良好的学生的比为。分层抽样的特点是在各

层按比例抽取，所以抽取的5人中有3人体质为良好有2人体质为优秀。

（ⅰ）和（ⅱ）中的概率均属古典概型，用例举法分别求基本事件总数

和所求事件包含的基本事件数即可。

试题解析：解：（Ⅰ）根据抽样，估计该校高三学生中体质为优秀的学

生人数有人．3分

（Ⅱ）依题意，体质为良好和优秀的学生人数之比为．

所以，从体质为良好的学生中抽取的人数为，从体质为优秀的学

生中抽取的人数为．6分

（ⅰ）设在抽取的名学生中体质为良好的学生为，，，体质为优

秀的学生为，．

则从名学生中任选人的基本事件有，，，

，，，，，，

个，其中“至少有名学生体质为优秀”的事件有，

，，，，，，

，个．

所以在选出的名学生中至少有名学生体质为优秀的概率为．10

分

（ⅱ）“选出的名学生中体质为优秀的人数不少于体质为良好的人数”的

事件有，，个．

所以选出的名学生中体质为优秀的人数不少于体质为良好的人数的概率

为．13分

考点：1分层抽样；2古典概型.

32.（1）0.27；（2）0.24.

【解析】

试题分析：（1）设表示事件“赔付金额为3000元”，表示事件“赔付

金额为4000元”，以频率估计概率求得，，在根据投保金额为

2800，赔付金额大于投保金额对应的情形时3000元和4000元，问题就

得以解决；

（2）设表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，分别求出样本车

辆中车主为新司机人数和赔付金额为4000元的车辆中车主为新司机人数，

在求出其频率，最后利用频率表示概率.

试题解析：

（1）设表示事件“赔付金额为3000元”，表示事件“赔付金额为4000

元”，以频率估计概率得：

，，

由于投保金额为2800，赔付金额大于投保金额对应的情形时3000元和

4000元，所以其概率为：

设表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车

主为新司机的有，而赔付金额为4000元的车辆中车主为新

司机的有

所以样本中车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为

由频率估计概率得

考点：古典概型及其概率计算公式.

33.（1）借助于两个三角形中两个角对应相等来加以证明。

（2）利用切割线定理来得到证明

【解析】

试题分析：（1）根据题意，由于四边形是☉的内接四边形，

不经过点，平分，经过点的直线分别交的延长线于

点，且，根据同弧所对的圆周角相等，以及内角平分线

的性质可知，那么对于三角形ABC,与三角形CDF中有两组角对应相等，

B=D，A=C，得到∽；

（2）根据相似的结论可知,同时，那么可知，

，因此可知是☉的切线.

考点：相似三角形，切线的证明

点评：主要是考查了圆的内部的性质以及三角形相似的证明，属于基础

题。

34.(Ⅰ).(Ⅱ)

【解析】

试题分析：

思路分析：(Ⅰ)设椭圆轨道Ⅰ的半焦距为,半长轴的长为,建立方程组

,解得,,确定.

设椭圆轨道Ⅱ的半焦距为,半长轴的长为,建立方程组

,

解得,,确定.比较大小。

(Ⅱ)利用“待定系数法”。

解：(Ⅰ)设椭圆轨道Ⅰ的半焦距为,半长轴的长为,则

,解得,,∴.

设椭圆轨道Ⅱ的半焦距为,半长轴的长为,则,

解得,,∴.故.

(Ⅱ)依题意设椭圆轨道Ⅱ的标准方程为,则由⑴知,

,故所求椭圆轨道Ⅱ的标准方程为

考点：椭圆的标准方程及其几何性质

点评：中档题，利用a,c的关系，确定椭圆方程，确定离心率的大小，

是解答此类问题的一般解法。

35.解法一：（1）由，且，故存在唯一的实数，使得，

即

…6分

（2），，即

，，…12分

解法二：∵，是两个相互垂直的单位向量，

∴、，…4分

⑴∵，∴，解得；…8分

⑵，，即，解得。…12分

【解析】略