直线 射线 线段

宜线AS(或mA)

线段、射线、直线(基础)知识讲解

【学习目标】

1•在现实情境中进一步理解线段、射线、直线，并会用不同的方法表示；

2.通过操作活动，了解“两点确定一条直线”的几何事实，积累数学活动经验，并初步掌握用尺规作图法作出相关

线段；

3.能够运用几何事实解释和解决具体情境中的实际问题；

4.通过从事观察、比较、概括等活动，发展抽象思维能力和有条理的数学表达能力•

【要点梳理】

要点一、线段、射线、直线的概念及表示

1.概念：绷紧的琴弦、黑板的边沿都可以近似地看作线段，如果把“线段”作为最简单、最基本原始概念，则用“线

段”定义射线和直线如下：

(1)将线段向一个方向无限延长就形成了射线.

(2)将线段向两个方向无限延长就形成了直线.

要点诠释：

(1)线段有两个端点，可以度量，可以比较长短.

(2)射线只向一方无限延伸，有一个端点，不能度量，不能比较大小

(3)直线是向两方无限延伸的，无端点，不可度量，不能比较大小

(4)线段、射线、直线都没有粗细.

2.表示方法：如图1、图2、图3，线段、射线、直线的表示方法都有两种：它们都可以用两个大写字母表示，也可

以一个小写字母表示

线段BA(afSAB)

EI1

射线/

图2

要点诠释:

(1)从表示方法上看，虽然它们都可以用一个小写字母表示，也可以用两个大写字母表示，

但直线取的是直线上任意两点的字母，线段用的是两个端点的字母，射线用的是一个端点和

任意一点的字母，而直线和线段的两个大写字母没有顺序之分，但射线的两个大写字母有顺

序之分，第一个大写字母必须是表示端点.即端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线.如下图4中射线OA射线0B

是不同的射线；端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线•如下图5中射线0A、射线0B、射线0C都表示同

一条射线.

图4

7ABC

图5

(2)表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样.

3.线段、射线、直线的区别与联系

线段射线直线

图示aaa

AB0AAB]

表示方法

线段AB或线段a射线0A或射线a直线AB或直线a

端点两个一个

无

长度可度量不可度量不可度量

延伸性不向两方延伸向一方无限延伸向两方无限延伸

要点二、基本事实

1.直线：过两点有且只有一条直线•简单说成：两点确定一条直线.

要点诠释：

(1)点和直线的位置关系有两种：

①点在直线上，或者说直线经过这个点•如图6中，点0在直线I上，也可以说成是直线I经过点0;

②点在直线外，或者说直线不经过这个点•如图6中，点P在直线I夕卜，也可以说直线I

不经过点P.

(2)两条不同直线相交：当两条不同的直线只有一个公共点时，称这两条直线相交，这个

公

共点叫做它们的交点•

2.线段：两点之间的所有连线中，线段最短•简记为：两点之间，线段最短.如图7所示，在A,B两点所连的线

中，线段AB的长度是最短的.

要点诠释：

(1)连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离.

(2)两条线段可能无公共点，可能有一个公共点，也可能有无穷多个公共点要点三、比较线段的长短

1.尺规作图的定义：仅用圆规和没有刻度的直尺作图的方法叫做尺规作图.要点诠释：

AB

CD

AB=CD

(1)只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.

(2)直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧•只可以用它来将两个点连在」起，不可以在上面画刻度.

(3)圆规可以开至无限宽，但上面也不能有刻度•它只可以拉

开成之前构造过的长度.

2.线段的中点：如下图，若点B在线段AC上，且把线段AC分成相等的两条线段AB与BQ这时点B叫做线段

AC的中点.

ABC

要点诠释:

(1)若点B是线段AC的中点，则点B一定在线段AC上且AB=CB=1AC,或AC=2AB

2

=2BC.

(2)类似地，还有线段的三等分点、四等分点等.

3.用尺规作线段或比较线段

(1)作一条线段等于已知线段：用圆规作一条线段等于已知线段.例如：下图所示，用

圆规在射线AC上截取AB=a.

要点诠释：几何中连结两点，即画出以这两点为端点的线段

(2)线段的比较:

叠合比较法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合

端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短•如下图:

卓」¥J

CD直B

AB>CDAB

要点诠释：线段的比较方法除了叠合比较法外，还可以用度量比较法.

【典型例题】

类型一、相关概念

费、、、

1.下列说法中，正确的是().

A.射线0A与射线A0是同一条射线.

B•线段AB与线段BA是同一条线段.

C.过一点只能画一条直线.

D.三条直线两两相交，必有三个交点.

【答案】B

【解析】射线0A的端点是0,射线A0的端点是A,所以射线0A与射线A0不是同一条射线，故A错误；过一点能

画无数条直线，所以C错误；三条直线两两相交，有三个交点或一个交点(三条直线相交于一点时)，所以D错误；

线段AB与线段BA是同一条线段，所以B正确.

【总结升华】直线和线段用两个大写字母表示时,与字母的前后顺序无关，但射线必须是表

.延长射线AB

C.直线AB的端点之一是A

•延长射线0A到C

射线和直线的条数，并把它们分别表示出来

示端点的字母写在前面，不能互换.

举一反三:

【变式1】以下说法中正确的是

A.延长线段AB到C

【答案】A

【变式2】如图所示，请分别指出图中的线段、

【答案】

解：如下图所示，在直线上点A左侧和点C右侧分别任取点X和Y.

ABC

IIII■IXY

图中有6条射线：射线AX射线AY射线BX射线BY射线CX射线CY.

有3条线段：线段AB(或BA)、线段BC(或CB)、线段AC(或CA)

有1条直线：直线AC(或AB,BC).

类型二、有关作图

2•如图所示，线段a,b,且a>b.

用圆规和直尺画线段：(1)a+b;(2)a-b.

【答案与解析】

解：⑴画法如图⑴，画直线AF,在直线AF上画线段AB=a,再在AB的延长线上画线段BC=b,线段AC就是a

与b的和，记作AC=a+b.

(2)画法如图(2)，画直线AF,在直线AF上画线段AB=a,再在线段AB上画线段BD=b,线段AD就是a与b的

差，记作AD=a-b.

ABCFAD3F

(1)(2)

【总结升华】在画线段时，为使结果更准确，一般用直尺画直线，用圆规量取线段的长度.举一反三：

【变式1】下列语句正确的是()•

A.画直线AB=10cm.B.画直线AB的垂直平分线•

C.画射线0B=3cm.D.延长线段AB到C使BC=AB.

【答案】D

【高清课堂：直线、射线、线段397363按语句画图3(3)】

【变式2】用直尺作图：P是直线a外一点，过点P有一条线段b与直线a不相交.【答案】

解：.

类型三、有关条数及长度的计算

Os如图，AB、CD为平面内任意三点都不在同一条直线上的四点，那么过其中两点，

【答案】6条直线

【解析】由两点确定一条直线知，点A与B,C,D三点各确定一条直线，同理点B与CD各

确定一条直线，C与D确定一条直线，综上：共有直线：3+2+1=6(条).

【总结升华】平面上有n个点，其中任意三点不在一条直线上，则最多确定的直线条数为：

123...(n-1^n(^1).

2

举一反三：

【变式1】如图所示，已知线段AB上有三个定点C、DE.

(1)图中共有几条线段？'■--

(2)如果在线段CD上增加一点，则增加了几条线段？你能从中发现什么规律吗？

【答案】

解：⑴线段的条数：4+3+2+1=10(条)；

(2)如果在线段CD上增加一点P,贝UP与其它五个点各组成一条线段，因此，增加了5

条线段•

(注解：若在线段AB上增加一点，则增加2条线段，此时线段总条数为1+2;若再增加一点，则又增加了3条线

段，此时线段总条数为1+2+3;…；当线段AB上增加到n个点(即

1

增加n—2个点)时，线段的总条数为1+2+……+(n—1)=n(n—1).)

2

【变式2】如图直线m上有4个点AB、C、D,则图中共有______________________条射线.

__丄*_1J」_〜m

ASCD

【答案】8

4.如图所示，AB=40，点C为AB的中点，点D为CB上的一点，点E是BD的中点，且EB=5，求

CD的长.

ACDEB

【思路点拨】显然CD=CB-BD要求CD的长，应先确定CB和BD的长.

【答案与解析】

解：因为AB=40，点C为AB的中点，

11

所以CBAB40=20.

22

因为点E为BD的中点，EB=5,

所以BD=2EB=10.所以CD=CB-BD=20-10=10.

【总结升华】求线段的长度，注意围绕线段的和、差、倍、分展开，若每一条线段长度均已确定，所求问题便可迎刃

而解.

【高清课堂：直线、射线、线段397363画图计算例2】

举一反三：

【变式】在直线I上按指定方向依次取点A、BCD,且使AB:BCCD=23:4,如图所

示，若AB的中点M与CD的中点N的距离是15cm,求AB的长.

AMBCND

【答案】

解：依题意，设AB=2xcm，那么BC=3xcm,CD=4xcm.则有：

MN=BM+BC+CN=x+3x+2x=15

5

解得：X=—

2

5

所以AB=2x=2—=5cm.

2

类型四、最短问题

5.如图所示，在一条笔直公路a的两侧，分别有AB两个村庄，现要在公路a

上建

一个汽车站C,使汽车站到A、B两村的距离之和最小，问汽车站C的位置应如何确定？

【答案与解析】解：如图，连接AB与直线a交于点C,这个点C的位置就是符合条件的汽车站的位置.

【总结升华】“两点之间线段最短”在实际生活中有广泛的应用，此类问题要与线段的性质联系起来，这里线段最短

是指线段的长度最短，连接两点的线段的长度叫做两点间的距离，

线段是图形，线段长度是数值.

举一反三：

【变式】(1)如图1所示，把原来弯曲的河道改直，AB两地间的河道长度有什么变化?

(2)如图2,公园里设计了曲折迂回的桥，这样做对游人观赏湖面风光有什么影响？与修一座

直的桥相比，这样做是否增加了游人在桥上行走的路程？说出上述问题中的道理.

【答案】

解：(1)河道的长度变小了.

(2)由于“两点之间，线段最短”，这样做增加了游人在桥上行走的路程，有利于游人

更好地观赏湖面风光，起到“休闲”的作用.