2013天津高考数学

2017年天津市高考数学试卷(理

科)

第2页（共25页）

2017年天津市高考数学试卷（理科）

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）

∩C=（）

A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，5}D．{x∈R|﹣1≤x≤5}

2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值

为（）

A．B．1C．D．3

3．（5分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输

出N的值为（）

A．0B．1C．2D．3

4．（5分）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

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C．充要条件D．既不充分也不必要条件

5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为．若

经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为

（）

A．=1B．=1C．=1D．=1

6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log

2

5.1），

b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（）

A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．b＜a＜cD．b＜c＜a

7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f

（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）

A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣

C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=

8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）

≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）

A．[﹣，2]B．[﹣，]C．[﹣2，2]D．[﹣2，]

二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为．

10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积

为18，则这个球的体积为．

11．（5分）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公

共点的个数为．

12．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为．

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13．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ

∈R），且=﹣4，则λ的值为．

14．（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有

一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有个．（用数字作答）

三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤．

15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，

a=5，c=6，sinB=．

（Ⅰ）求b和sinA的值；

（Ⅱ）求sin（2A+）的值．

16．（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，

且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．

（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列

和数学期望；

（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．

17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，

N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．

（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；

（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线

段AH的长．

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18．（13分）已知{a

n

}为等差数列，前n项和为S

n

（n∈N+），{b

n

}是首项为2的

等比数列，且公比大于0，b

2

+b

3

=12，b

3

=a

4

﹣2a

1

，S

11

=11b

4

．

（Ⅰ）求{a

n

}和{b

n

}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{a

2n

b

2n﹣1

}的前n项和（n∈N+）．

19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率

为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．

（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），

直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．

20．（14分）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区

间（1，2）内有一个零点x

0

，g（x）为f（x）的导函数．

（Ⅰ）求g（x）的单调区间；

（Ⅱ）设m∈[1，x

0

）∪（x

0

，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x

0

）﹣f（m），求证：

h（m）h（x

0

）＜0；

（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x

0

）

∪（x

0

，2]，满足|﹣x

0

|≥．

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2017年天津市高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）

∩C=（）

A．{2}B．{1，2，4}C．{1，2，4，5}D．{x∈R|﹣1≤x≤5}

【分析】由并集概念求得A∪B，再由交集概念得答案．

【解答】解：∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，

又C={x∈R|﹣1≤x≤5}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．

故选：B．

【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．

2．（5分）设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=x+y的最大值

为（）

A．B．1C．D．3

【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可．

【解答】解：变量x，y满足约束条件的可行域如图：

目标函数z=x+y结果可行域的A点时，目标函数取得最大值，

由可得A（0，3），目标函数z=x+y的最大值为：3．

故选：D．

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【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应

用．

3．（5分）阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输

出N的值为（）

A．0B．1C．2D．3

【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可．

【解答】解：第一次N=24，能被3整除，N=≤3不成立，

第二次N=8，8不能被3整除，N=8﹣1=7，N=7≤3不成立，

第三次N=7，不能被3整除，N=7﹣1=6，N==2≤3成立，

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输出N=2，

故选：C

【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决

本题的关键．

4．（5分）设θ∈R，则“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的（）

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

【分析】运用绝对值不等式的解法和正弦函数的图象和性质，化简两已知不等

式，结合充分必要条件的定义，即可得到结论．

【解答】解：|θ﹣|＜⇔﹣＜θ﹣＜⇔0＜θ＜，

sinθ＜⇔﹣+2kπ＜θ＜+2kπ，k∈Z，

则（0，）⊂[﹣+2kπ，+2kπ]，k∈Z，

可得“|θ﹣|＜”是“sinθ＜”的充分不必要条件．

故选：A．

【点评】本题考查充分必要条件的判断，同时考查正弦函数的图象和性质，运

用定义法和正确解不等式是解题的关键，属于基础题．

5．（5分）已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左焦点为F，离心率为．若

经过F和P（0，4）两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为

（）

A．=1B．=1C．=1D．=1

【分析】由双曲线的离心率为，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=

±x，根据直线的斜率公式，即可求得c的值，求得a和b的值，即可求得双曲

线方程．

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【解答】解：设双曲线的左焦点F（﹣c，0），离心率e==，c=a，

则双曲线为等轴双曲线，即a=b，

双曲线的渐近线方程为y=±x=±x，

则经过F和P（0，4）两点的直线的斜率k==，

则=1，c=4，则a=b=2，

∴双曲线的标准方程：；

故选B．

【点评】本题考查双曲线的简单几何性质，等轴双曲线的应用，属于中档题．

6．（5分）已知奇函数f（x）在R上是增函数，g（x）=xf（x）．若a=g（﹣log

2

5.1），

b=g（20.8），c=g（3），则a，b，c的大小关系为（）

A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．b＜a＜cD．b＜c＜a

【分析】由奇函数f（x）在R上是增函数，则g（x）=xf（x）偶函数，且在（0，

+∞）单调递增，则a=g（﹣log

2

5.1）=g（log

2

5.1），则2＜﹣log

2

5.1＜3，1＜

20.8＜2，即可求得b＜a＜c

【解答】解：奇函数f（x）在R上是增函数，当x＞0，f（x）＞f（0）=0，且

f′（x）＞0，

∴g（x）=xf（x），则g′（x）=f（x）+xf′（x）＞0，

∴g（x）在（0，+∞）单调递增，且g（x）=xf（x）偶函数，

∴a=g（﹣log

2

5.1）=g（log

2

5.1），

则2＜﹣log

2

5.1＜3，1＜20.8＜2，

由g（x）在（0，+∞）单调递增，则g（20.8）＜g（log

2

5.1）＜g（3），

∴b＜a＜c，

故选C．

【点评】本题考查函数奇偶性，考查函数单调性的应用，考查转化思想，属于

基础题．

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7．（5分）设函数f（x）=2sin（ωx+φ），x∈R，其中ω＞0，|φ|＜x．若f

（）=2，f（）=0，且f（x）的最小正周期大于2π，则（）

A．ω=，φ=B．ω=，φ=﹣

C．ω=，φ=﹣D．ω=，φ=

【分析】由题意求得，再由周期公式求得ω，最后由若f（）=2求得φ

值．

【解答】解：由f（x）的最小正周期大于2π，得，

又f（）=2，f（）=0，得，

∴T=3π，则，即．

∴f（x）=2sin（ωx+φ）=2sin（x+φ），

由f（）=，得sin（φ+）=1．

∴φ+=，k∈Z．

取k=0，得φ=＜π．

∴，φ=．

故选：A．

【点评】本题考查由三角函数的部分图象求解析式，考查y=Asin（ωx+φ）型

函数的性质，是中档题．

8．（5分）已知函数f（x）=，设a∈R，若关于x的不等式f（x）

≥|+a|在R上恒成立，则a的取值范围是（）

A．[﹣，2]B．[﹣，]C．[﹣2，2]D．[﹣2，]

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【分析】讨论当x≤1时，运用绝对值不等式的解法和分离参数，可得﹣x2+x

﹣3≤a≤x2﹣x+3，再由二次函数的最值求法，可得a的范围；讨论当x＞1时，

同样可得﹣（x+）≤a≤+，再由基本不等式可得最值，可得a的范围，

求交集即可得到所求范围．

【解答】解：当x≤1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，

即为﹣x2+x﹣3≤+a≤x2﹣x+3，

即有﹣x2+x﹣3≤a≤x2﹣x+3，

由y=﹣x2+x﹣3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最大值﹣；

由y=x2﹣x+3的对称轴为x=＜1，可得x=处取得最小值，

则﹣≤a≤①

当x＞1时，关于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，

即为﹣（x+）≤+a≤x+，

即有﹣（x+）≤a≤+，

由y=﹣（x+）≤﹣2=﹣2（当且仅当x=＞1）取得最大值﹣2；

由y=x+≥2=2（当且仅当x=2＞1）取得最小值2．

则﹣2≤a≤2②

由①②可得，﹣≤a≤2．

故选：A．

【点评】本题考查分段函数的运用，不等式恒成立问题的解法，注意运用分类

讨论和分离参数法，以及转化思想的运用，分别求出二次函数和基本不等式求

最值是解题的关键，属于中档题．

二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.

9．（5分）已知a∈R，i为虚数单位，若为实数，则a的值为﹣2．

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【分析】运用复数的除法法则，结合共轭复数，化简，再由复数为实数的条

件：虚部为0，解方程即可得到所求值．

【解答】解：a∈R，i为虚数单位，

===﹣i

由为实数，

可得﹣=0，

解得a=﹣2．

故答案为：﹣2．

【点评】本题考查复数的乘除运算，注意运用共轭复数，同时考查复数为实数

的条件：虚部为0，考查运算能力，属于基础题．

10．（5分）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积

为18，则这个球的体积为．

【分析】根据正方体和球的关系，得到正方体的体对角线等于直径，结合球的

体积公式进行计算即可．

【解答】解：设正方体的棱长为a，

∵这个正方体的表面积为18，

∴6a2=18，

则a2=3，即a=，

∵一个正方体的所有顶点在一个球面上，

∴正方体的体对角线等于球的直径，

即a=2R，

即R=，

则球的体积V=π•（）3=；

故答案为：．

【点评】本题主要考查空间正方体和球的关系，利用正方体的体对角线等于直

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径，结合球的体积公式是解决本题的关键．

11．（5分）在极坐标系中，直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公

共点的个数为2．

【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离d，与半径比

较即可得出位置关系．

【解答】解：直线4ρcos（θ﹣）+1=0展开为：4ρ+1=0，

化为：2x+2y+1=0．

圆ρ=2sinθ即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y

﹣1）2=1．

∴圆心C（0，1）到直线的距离d==＜1=R．

∴直线4ρcos（θ﹣）+1=0与圆ρ=2sinθ的公共点的个数为2．

故答案为：2．

【点评】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的位置关系、点

到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

12．（5分）若a，b∈R，ab＞0，则的最小值为4．

【分析】两次利用基本不等式，即可求出最小值，需要注意不等式等号成立的

条件是什么．

【解答】解：a，b∈R，ab＞0，

∴≥

=

=4ab+≥2=4，

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当且仅当，

即，

即a=，b=或a=﹣，b=﹣时取“=”；

∴上式的最小值为4．

故答案为：4．

【点评】本题考查了基本不等式的应用问题，是中档题．

13．（5分）在△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ

∈R），且=﹣4，则λ的值为．

【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用、表示出，

再根据平面向量的数量积列出方程求出λ的值．

【解答】解：如图所示，

△ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=2，

=2，

∴=+

=+

=+（﹣）

=+，

又=λ﹣（λ∈R），

∴=（+）•（λ﹣）

=（λ﹣）•﹣+λ

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=（λ﹣）×3×2×cos60°﹣×32+λ×22=﹣4，

∴λ=1，

解得λ=．

故答案为：．

【点评】本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题，是中档题．

14．（5分）用数字1，2，3，4，5，6，7，8，9组成没有重复数字，且至多有

一个数字是偶数的四位数，这样的四位数一共有1080个．（用数字作答）

【分析】根据题意，要求四位数中至多有一个数字是偶数，分2种情况讨论：

①、四位数中没有一个偶数数字，②、四位数中只有一个偶数数字，分别求出

每种情况下四位数的数目，由分类计数原理计算可得答案．

【解答】解：根据题意，分2种情况讨论：

①、四位数中没有一个偶数数字，即在1、3、5、7、9种任选4个，组成一共

四位数即可，

有A

5

4=120种情况，即有120个没有一个偶数数字四位数；

②、四位数中只有一个偶数数字，

在1、3、5、7、9种选出3个，在2、4、6、8中选出1个，有C

5

3•C

4

1=40种取

法，

将取出的4个数字全排列，有A

4

4=24种顺序，

则有40×24=960个只有一个偶数数字的四位数；

则至多有一个数字是偶数的四位数有120+960=1080个；

故答案为：1080．

【点评】本题考查排列、组合的综合应用，注意要分类讨论．

第16页（共25页）

三.解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演

算步骤．

15．（13分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a＞b，

a=5，c=6，sinB=．

（Ⅰ）求b和sinA的值；

（Ⅱ）求sin（2A+）的值．

【分析】（Ⅰ）由已知结合同角三角函数基本关系式求得cosB，再由余弦定理求

得b，利用正弦定理求得sinA；

（Ⅱ）由同角三角函数基本关系式求得cosA，再由倍角公式求得sin2A，cos2A，

展开两角和的正弦得答案．

【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，∵a＞b，

故由sinB=，可得cosB=．

由已知及余弦定理，有=13，

∴b=．

由正弦定理，得sinA=．

∴b=，sinA=；

（Ⅱ）由（Ⅰ）及a＜c，得cosA=，∴sin2A=2sinAcosA=，

cos2A=1﹣2sin2A=﹣．

故sin（2A+）==．

【点评】本题考查正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用，考查倍角公式的

应用，是中档题．

16．（13分）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，

且在各路口遇到红灯的概率分别为，，．

第17页（共25页）

（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列

和数学期望；

（Ⅱ）若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率．

【分析】（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出对应的概率值，

写出它的分布列，计算数学期望值；

（Ⅱ）利用相互独立事件同时发生的概率公式计算所求事件的概率值．

【解答】解：（Ⅰ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3；

则P（X=0）=（1﹣）×（1﹣）（1﹣）=，

P（X=1）=×（1﹣）×（1﹣）+（1﹣）××（1﹣）+（1﹣）×（1

﹣）×=，

P（X=2）=（1﹣）××+×（1﹣）×+××（1﹣）=，

P（X=3）=××=；

所以，随机变量X的分布列为

X0123

P

随机变量X的数学期望为E（X）=0×+1×+2×+3×=；

（Ⅱ）设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，

则所求事件的概率为

P（Y+Z=1）=P（Y=0，Z=1）+P（Y=1，Z=0）

=P（Y=0）•P（Z=1）+P（Y=1）•P（Z=0）

=×+×

=；

所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为．

【点评】本题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题，是中档

题．

第18页（共25页）

17．（13分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．点D，E，

N分别为棱PA，PC，BC的中点，M是线段AD的中点，PA=AC=4，AB=2．

（Ⅰ）求证：MN∥平面BDE；

（Ⅱ）求二面角C﹣EM﹣N的正弦值；

（Ⅲ）已知点H在棱PA上，且直线NH与直线BE所成角的余弦值为，求线

段AH的长．

【分析】（Ⅰ）取AB中点F，连接MF、NF，由已知可证MF∥平面BDE，NF∥平

面BDE．得到平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；

（Ⅱ）由PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．可以A为原点，分别以AB、AC、AP所在

直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．求出平面MEN与平面CME的一个法向

量，由两法向量所成角的余弦值得二面角C﹣EM﹣N的余弦值，进一步求得正弦

值；

（Ⅲ）设AH=t，则H（0，0，t），求出的坐标，结合直线NH与直线BE

所成角的余弦值为列式求得线段AH的长．

【解答】（Ⅰ）证明：取AB中点F，连接MF、NF，

∵M为AD中点，∴MF∥BD，

∵BD⊂平面BDE，MF⊄平面BDE，∴MF∥平面BDE．

∵N为BC中点，∴NF∥AC，

又D、E分别为AP、PC的中点，∴DE∥AC，则NF∥DE．

∵DE⊂平面BDE，NF⊄平面BDE，∴NF∥平面BDE．

又MF∩NF=F．

∴平面MFN∥平面BDE，则MN∥平面BDE；

第19页（共25页）

（Ⅱ）解：∵PA⊥底面ABC，∠BAC=90°．

∴以A为原点，分别以AB、AC、AP所在直线为x、y、z轴建立空间直角坐标系．

∵PA=AC=4，AB=2，

∴A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，4，0），M（0，0，1），N（1，2，0），E

（0，2，2），

则，，

设平面MEN的一个法向量为，

由，得，取z=2，得．

由图可得平面CME的一个法向量为．

∴cos＜＞=．

∴二面角C﹣EM﹣N的余弦值为，则正弦值为；

（Ⅲ）解：设AH=t，则H（0，0，t），，．

∵直线NH与直线BE所成角的余弦值为，

∴|cos＜＞|=||=||=．

解得：t=4．

∴当H与P重合时直线NH与直线BE所成角的余弦值为，此时线段AH的长

为4．

第20页（共25页）

【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查了利用空间向量求解空间角，

考查计算能力，是中档题．

18．（13分）已知{a

n

}为等差数列，前n项和为S

n

（n∈N+），{b

n

}是首项为2的

等比数列，且公比大于0，b

2

+b

3

=12，b

3

=a

4

﹣2a

1

，S

11

=11b

4

．

（Ⅰ）求{a

n

}和{b

n

}的通项公式；

（Ⅱ）求数列{a

2n

b

2n﹣1

}的前n项和（n∈N+）．

【分析】（Ⅰ）设出公差与公比，利用已知条件求出公差与公比，然后求解{a

n

}

和{b

n

}的通项公式；

（Ⅱ）化简数列的通项公式，利用错位相减法求解数列的和即可．

【解答】解：（I）设等差数列{a

n

}的公差为d，等比数列{b

n

}的公比为q．

由已知b

2

+b

3

=12，得b

1

（q+q2）=12，而b

1

=2，所以q+q2﹣6=0．

又因为q＞0，解得q=2．所以，b

n

=2n．

由b

3

=a

4

﹣2a

1

，可得3d﹣a

1

=8①．

由S

11

=11b

4

，可得a

1

+5d=16②，

联立①②，解得a

1

=1，d=3，由此可得a

n

=3n﹣2．

所以，数列{a

n

}的通项公式为a

n

=3n﹣2，数列{b

n

}的通项公式为b

n

=2n．

（II）设数列{a

2n

b

2n﹣1

}的前n项和为T

n

，

由a

2n

=6n﹣2，b

2n﹣1

=4n，有a

2n

b

2n﹣1

=（3n﹣1）4n，

故T

n

=2×4+5×42+8×43+…+（3n﹣1）4n，

4T

n

=2×42+5×43+8×44+…+（3n﹣1）4n+1，

上述两式相减，得﹣3T

n

=2×4+3×42+3×43+…+3×4n﹣（3n﹣1）4n+1

==﹣（3n﹣2）4n+1﹣8

得T

n

=．

所以，数列{a

2n

b

2n﹣1

}的前n项和为．

【点评】本题考查等差数列以及等比数列的应用，数列求和的方法，考查计算

能力．

第21页（共25页）

19．（14分）设椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F，右顶点为A，离心率

为．已知A是抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，F到抛物线的准线l的距离为．

（I）求椭圆的方程和抛物线的方程；

（II）设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于A），

直线BQ与x轴相交于点D．若△APD的面积为，求直线AP的方程．

【分析】（I）根据椭圆和抛物线的定义、性质列方程组求出a，b，p即可得出

方程；

（II）设AP方程为x=my+1，联立方程组得出B，P，Q三点坐标，从而得出直线

BQ的方程，解出D点坐标，根据三角形的面积列方程解出m即可得出答案．

【解答】（Ⅰ）解：设F的坐标为（﹣c，0）．

依题意可得，

解得a=1，c=，p=2，于是b2=a2﹣c2=．

所以，椭圆的方程为x2+=1，抛物线的方程为y2=4x．

（Ⅱ）解：直线l的方程为x=﹣1，设直线AP的方程为x=my+1（m≠0），

联立方程组，解得点P（﹣1，﹣），故Q（﹣1，）．

联立方程组，消去x，整理得（3m2+4）y2+6my=0，解得y=0，或y=

﹣．

∴B（，）．

第22页（共25页）

∴直线BQ的方程为（﹣）（x+1）﹣（）（y﹣）=0，

令y=0，解得x=，故D（，0）．

∴|AD|=1﹣=．

又∵△APD的面积为，∴×=，

整理得3m2﹣2|m|+2=0，解得|m|=，∴m=±．

∴直线AP的方程为3x+y﹣3=0，或3x﹣y﹣3=0．

【点评】本题考查了椭圆与抛物线的定义与性质，直线与椭圆的位置关系，属

于中档题．

20．（14分）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区

间（1，2）内有一个零点x

0

，g（x）为f（x）的导函数．

（Ⅰ）求g（x）的单调区间；

（Ⅱ）设m∈[1，x

0

）∪（x

0

，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x

0

）﹣f（m），求证：

h（m）h（x

0

）＜0；

（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x

0

）

∪（x

0

，2]，满足|﹣x

0

|≥．

【分析】（Ⅰ）求出函数的导函数g（x）=f′（x）=8x3+9x2﹣6x﹣6，求出极值

点，通过列表判断函数的单调性求出单调区间即可．

（Ⅱ）由h（x）=g（x）（m﹣x

0

）﹣f（m），推出h（m）=g（m）（m﹣x

0

）﹣f（m），

令函数H

1

（x）=g（x）（x﹣x

0

）﹣f（x），求出导函数H′

1

（x）利用（Ⅰ）知，

推出h（m）h（x

0

）＜0．

（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，令m=，函数h（x）

=g（x）（m﹣x

0

）﹣f（m）．

第23页（共25页）

由（Ⅱ）知，当m∈[1，x

0

）时，当m∈（x

0

，2]时，通过h（x）的零点．转化

推出|﹣x

0

|=≥=．推出

|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．然后推出结果．

【解答】（Ⅰ）解：由f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a，可得g（x）=f′（x）=8x3+9x2

﹣6x﹣6，

进而可得g′（x）=24x2+18x﹣6．令g′（x）=0，解得x=﹣1，或x=．

当x变化时，g′（x），g（x）的变化情况如下表：

x（﹣∞，﹣1）

（﹣1，）（，+∞）

g′（x）+﹣+

g（x）↗↘↗

所以，g（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣1），（，+∞），单调递减区间是（﹣

1，）．

（Ⅱ）证明：由h（x）=g（x）（m﹣x

0

）﹣f（m），得h（m）=g（m）（m﹣x

0

）﹣

f（m），

h（x

0

）=g（x

0

）（m﹣x

0

）﹣f（m）．

令函数H

1

（x）=g（x）（x﹣x

0

）﹣f（x），则H′

1

（x）=g′（x）（x﹣x

0

）．

由（Ⅰ）知，当x∈[1，2]时，g′（x）＞0，

故当x∈[1，x

0

）时，H′

1

（x）＜0，H

1

（x）单调递减；

当x∈（x

0

，2]时，H′

1

（x）＞0，H

1

（x）单调递增．

因此，当x∈[1，x

0

）∪（x

0

，2]时，H

1

（x）＞H

1

（x

0

）=﹣f（x

0

）=0，可得H

1

（m）＞0即h（m）＞0，

令函数H

2

（x）=g（x

0

）（x﹣x

0

）﹣f（x），则H′

2

（x）=g′（x

0

）﹣g（x）．由

（Ⅰ）知，g（x）在[1，2]上单调递增，故当x∈[1，x

0

）时，H′

2

（x）＞0，

H

2

（x）单调递增；当x∈（x

0

，2]时，H′

2

（x）＜0，H

2

（x）单调递减．因此，

当x∈[1，x

0

）∪（x

0

，2]时，H

2

（x）＞H

2

（x

0

）=0，可得得H

2

（m）＜0即h（x

0

）

＜0，．

所以，h（m）h（x

0

）＜0．

第24页（共25页）

（Ⅲ）对于任意的正整数p，q，且，

令m=，函数h（x）=g（x）（m﹣x

0

）﹣f（m）．

由（Ⅱ）知，当m∈[1，x

0

）时，h（x）在区间（m，x

0

）内有零点；

当m∈（x

0

，2]时，h（x）在区间（x

0

，m）内有零点．

所以h（x）在（1，2）内至少有一个零点，不妨设为x

1

，则h（x

1

）=g（x

1

）（

﹣x

0

）﹣f（）=0．

由（Ⅰ）知g（x）在[1，2]上单调递增，故0＜g（1）＜g（x

1

）＜g（2），

于是|﹣x

0

|=≥=．

因为当x∈[1，2]时，g（x）＞0，故f（x）在[1，2]上单调递增，

所以f（x）在区间[1，2]上除x

0

外没有其他的零点，而≠x

0

，故f（）≠0．

又因为p，q，a均为整数，所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数，

从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1．

所以|﹣x

0

|≥．所以，只要取A=g（2），就有|﹣x

0

|≥．

【点评】本题考查函数的导数的综合应用，函数的单调性以及函数的最值的求

法，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，是难度比较大的题目．

第25页（共25页）

参与本试卷答题和审题的老师有：sxs123；qiss；maths；双曲线；铭灏2016；

沂蒙松；742048；danbo7801（排名不分先后）

菁优网

2017年6月9日