黄金分割点是多少

第一章书法与数学学科的融合

第一节黄金分割的由来与审美

教学目的：

1.理解数学上的黄金分割的由来与发展

2.体会黄金分割与审美

设计意图：

学生通过对数学上的黄金分割的研究，欣赏生活中的美，体会黄金分割具有

严格的比例性、和谐性、丰富的美学价值。感悟黄金分割与书法的关系，尝试把

黄金分割比应用到书法的学习与创作中。

教学过程：

审美引入：世界上有无数的艺术瑰宝，尽管历尽沧桑，在今天却仍然拥有神奇的

魔力来吸引世界各国的人前来参观拜访。例如希腊的帕特农神庙，美神维纳斯的

断臂雕像，蒙娜丽莎意味深长的微笑以及神秘古老的紫禁城……这些世界上的杰

作，究竟为何有着这样大的魅力，并且可以经久不衰地将这种魅力延续下去呢？

科学家们经过仔细考究后发现，它们之中有一个共同特点，就是都运用到了

黄金分割比。既然黄金分割比在这么多艺术作品中可见，那么，什么是黄金分割

比呢？

一、黄金分割比的介绍

1．定义：把任一线段分割成两段，使，这样的分割叫黄金分割，

这样的比值叫黄金比。（可以有两个分割点）

2．求黄金比

解：设黄金比为x，不妨设全段长为1

则大段=x，小段=1-x

故有

解得，其正根为

AB

1-xx

黄金分割是一种数学上的比例关系，黄金分割具有严格的比例性、和谐性，

蕴藏着丰富的美学价值。

3.斐波那契数列

与黄金分割相关的一个例子就是斐波那契数列：l，l，2，3，5，8，13，21，

34，55，89，144，···。有趣的是：这样一个完全是自然数的数列，通项公式却

是用无理数来表达的。而且当n趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值的小数

部分越来越逼近黄金分割比。斐波那契数列具有以下一些特点：（1）数列中任

一数字都是由前两个数字之和构成。（2）数列中前一数字与后一数字之比例，趋

近于一固定常数，即；后一数字与前一数字之比例，趋近于。（3）与互为倒数，

其乘积则约等于l。

4.黄金分割的发展

黄金分割比历史悠久。由于公元前6世纪古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正

五边形和正十边形的作图，因此现代数学家们推断当时毕达哥拉斯学派已经触及

甚至掌握了黄金分割。

公元前4世纪，古希腊数学家欧多克索斯第一个系统研究了这一问题，并建

立起比例理论。

公元前300年前后欧几里得撰写《几何原本》时吸收了欧多克索斯的研究成

果，进一步系统论述了黄金分割，成为最早的有关黄金分割的论著。

中世纪后，黄金分割被披上神秘的外衣，意大利数家帕乔利称中末比为神

圣比例，并专门为此著书立说。德国天文学家开普勒称黄金分割为神圣分割。

到19世纪黄金分割这一名称才逐渐通行。黄金分割数有许多有趣的性质，

人类对它的实际应用也很广泛。最著名的例子是优选学中的黄金分割法或法，是

由美国数学家基弗于1953年首先提出的，70年代在中国推广。

二、黄金分割与审美（黄金比）

黄金分割之所以称为“黄金”分割，是比喻这一“分割”如黄金一样珍贵。

黄金比，是工艺美术、建筑、摄影等许多艺术门类中审美的因素之一，它表现了

恰到好处的“和谐”。

1.与人体

近年来，在研究黄金分割与人体关系时，发现了人体结构中有14个“黄金点”

如：(1)肚脐：头顶－足底之分割点；

(2)咽喉：头顶－肚脐之分割点；

(3)膝关节：肚脐－足底之分割点；

(4)肘关节：肩关节－中指尖之分割点；

与高跟鞋

高跟鞋是许多爱美女性的珍宝。对于广大女士来说，比起漂亮的脸蛋和新潮

的服饰，拥有一双适合自己而又出众的高跟鞋更能衬托出自己的气质，吸引人们

的眼球。可是，黄金分割比跟挑选高跟鞋又有什么关系呢？

其实，女性穿高跟鞋的目的就是为了让身材看起来更匀称，而这“匀称”之

中就符合了黄金分割比的规律。对于人体来说，躯干（肚脐到脚底的长度）与身

高的比越接近黄金分割数时，就会给人一种美的感觉。很可惜，一般人的躯干与

身高比都低于这个数值，大约只有~左右，而穿上高跟鞋就可以增加躯干，从而

改变这一比值，使得躯干与身高的比值更接近黄金分割的标准，从而产生美的效

应.如，某女孩的身高为160cm，她的原本躯干与身高比为，那么当这位女孩穿

上高度为4cm的高跟鞋时，其躯干与身高的比值将被提高到左右；当其高跟鞋高

度为时，可以使得这一比值恰好接近，从而获到最佳美感。这同样可以解释为何

古希腊维纳斯女塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双腿，使之与身高的

比值为，从而能够创造艺术美。另外，芭蕾舞演员总是以脚尖落地，这是因为当

芭蕾演员踮起脚尖起舞时，正是为了增加躯干的高度，从而展现符合的身段比例

的最优美的艺术形象，所以以脚尖平衡为特色的芭蕾舞会给人一种美的感觉，其

艺术的魅力也是与黄金分割密切联系的。

2.与建筑艺术

如：埃及的金字塔，高（137米）与底边长（227米）之比为

古希腊的巴特农神殿，塔高与工作厅高之比为340∶553≈

埃菲尔铁塔在距离地面57米，115米和276米处，各有一个平台，计算表

明：（300-115）/300=。所得比值与黄金比相差甚微，由此可见，埃菲尔铁塔第

二层平台的位置，非常接近于全塔高度的黄金分割点，从图中可以看出，第二层

平台正是埃菲尔铁塔张开的四条腿开始收拢的转折点。

3.与美观矩形

中国的国旗、生活中建筑物的门窗、画框、十字架、扑克牌和书籍等,他们

长和宽的比例都十分接近于“黄金分割率”。

五角星中线段的比率都符合黄金分割率,这使得它成为了黄金分割的首要代

表。正是因为这个原因,五角星总是被作为美丽与完美的象征,并与女神和神圣的

女性联系在一起。

4.与摄影

风景照片中，地平线位置的安排

5.与战略部署

你有没有听说过，黄金分割比还与炮火连天、硝烟弥漫、血肉横飞的惨烈、

残酷的战场也有着不解之缘，在军事上也显示出它巨大而神秘的力量？其实，在

我国历史上很早发生的一些战争中，就无不遵循着的规律。

数百年来，人们对成吉思汗的蒙古骑兵，为什么能像飓风扫落叶般地席卷欧

亚大陆颇感费解，因为仅用游牧民族的彪悍勇猛、残忍诡谲、善于骑射以及骑兵

的机动性这些理由，都还不足以对此做出令人完全信服的解释。或许还有别的更

为重要的原因？经过研究发现，蒙古骑兵的战斗队形与西方传统的方阵大不相

同，在他的五排制阵型中,重骑兵和轻骑兵为2∶3，人盔马甲的重骑兵为2，快

捷灵活的轻骑兵为3，两者在编配上恰巧符合黄金分割律。你不能不佩服那位马

背军事家的天才妙悟，被这样的天才统帅统领的大军，不纵横四海、所向披靡，

那才怪呢。

在海湾战争中，据军事专家估计，如果共和国卫队的装备和人员，经空中轰

炸损失达到或超过30%，就将基本丧失战斗力。为了使伊军的损耗达到这个临界

点，美英联军一再延长轰炸时间，持续38天，直到摧毁了伊拉克在战区内428

辆坦克中的38%、2280辆装甲车中的32%、3100门火炮中的47%，这时伊军实力

下降至60%左右，这正是军队丧失战斗力的临界点。也就是将伊拉克军事力量削

弱到黄金分割点上后，美英联军才抽出“沙漠军刀”砍向萨达姆，在地面作战只

用了100个小时就达到了战争目的。这场战役也因此被誉为“沙漠风暴”。

6.与自然的巧合

生活中能见到的植物常常有一种特殊的美感，比如说向日葵的花盘，菠萝的

外表皮以及枫叶的叶脉和叶子宽度的比例。仔细观察就会发现其中处处蕴涵着一

种特殊的关系，那就是黄金比例。

葵花籽在向日葵的花盘上呈相反的弧线状排列。仔细观察，我们可以找到一

些曲线，通常顺时针旋转的有89条，而逆时针方向的则有55条。也有的向日葵

是55，34或者144，89的组合，这是由花盘的大小决定的。如果我们把每一组

的比值进行比较，就会发现他们越来越接近，大自然的鬼斧神工处处都留下了黄

金分割的痕迹。

科学家们还发现，植物中像牡丹、月季、荷花、菊花等观赏性花卉含苞欲放

时，花蕾呈直的椭圆形，且长短轴的比例大约接近于黄金分割。经过观察可以发

现，在有些植物的茎上，两张相邻的叶片的夹角是°，这恰好是把圆周分成1:

的两条半径的夹角，研究发现这种角度对植物通风和采光效果最佳。

第二节黄金分割与书法

教学目的：

1.感悟黄金分割与书法的关系

2.掌握黄金分割在书法上的应用，并创造性地发挥、应用到书法学习中

设计意图：

通过本节课的教学，要求学生领悟黄金分割与书法的关系，把黄金分割比应

用到书法的学习与创作中，开发学生的创新思维，提高学生的创造能力。

教学过程：

黄金分割表现了恰到好处的“和谐”，那么对我们学习书法又有什么启发呢？

在书法练习纸的格子中，常见到的回宫格、九宫格都是按黄金分割原理画出

来的，做为练书法的参考线，在造字中更是大量地应用了黄金分割。

1.书法黄金律是当代书法大师——启功先生的一大发明。

因为书法具有空间性和时间性两大特性，在我们解读书法黄金率的时候，必

须符合汉字书写的要素——方块。亦即从方块的四边都做黄金分割，这样便形成

特有的黄金分割图形，如下图

图中中心部分的四个交叉点，可依次标为ABCD。这ABCD四个交叉点即是汉

字结体的中心区。启功先生是一代宗师，他对欧、柳诸体书法有深入独到的研究，

他用简明易懂的语言对楷书、行书作出了“横不平、竖不直、有紧有松”的精辟

概括。并告诉我们，行楷书体的中心不是在ABCD四个分割点上，而是在其稍上

稍左的位置，即如上图。依照行楷字的中心位置应在ABCD四个交叉点或叫四个

聚处并稍上稍左的位置上，从而克服了以往米字格、九宫格所造成的字中心在正

中的死板现象，使所写的字更灵活更生动。

我们在以上图所标分割点都是按照方块的每边亦即上下左右四条线段的长

度按千位计算的，这在剖析方法上可以，在实际操作上则不可行。

因为米字格、九宫格都是较少的数，或九格，或八十一格，操作容易。因此，

可以把图中每一边（线段）的三段数字382、236、382化简：即找出三个数的最

大公约数，三个数的近似最大公约数为77，这样382简化成5，236简化成3，

这样此条线段的三部分就成了：5、3、5.如图

因此，应用黄金分割的书法图格便是书法13格，图中四个点就是楷书行书

字的中心区，并稍上稍左的结字中心区，就是结字黄金率。具体应用方法，可去

看启功大师的论述。

2.黄金分割与楷书传统间架结构法则

黄自元“九十二法”中，对楷书左右结构的字有四个大的法则：左旁小者齐

其上，右旁小者齐其下，让左者左昂右低，让右者右伸左缩。其实际意义是：左

边偏旁短小则左旁上靠，右边偏旁短小则右旁下靠，因为无论是左旁小还是右旁

小，都不可能真的一刀切成“齐其上”或者“齐其下”，否则就不协调，怎样才

最协调呢？根据黄金分割原理，左旁小的字应该是左旁的视觉重心对准右旁的上

黄金分割点，右旁小的字右旁的视觉重心对准左旁的下黄金分割点。

怎样确定偏旁的视觉重心呢？首先黄金分割点的位置可以凭我们的练习和

美感来把握，其次在书写过程中还能够通过偏旁视觉重心的调节来使一个字更趋

近于结构法则，比如右旁小的字，如果左旁已经完成，其下黄金点已确定，那么

我们在写右旁的时候可以通过上下位置、笔画粗细的变化使其重心趋于与左旁下

黄金点对齐。

上述的“左旁小”“右旁小”其实是指小且短的偏旁，对小而不短的偏旁（如

木和亻旁），则适合将字的左右旁所站位置按黄金比划分，同理，对上下结构而

上下不均的字也按上大或下大按黄金比例书写（即九十二法所谓的“中分而稍加

绕宜”）。如“十”字，竖笔的上下比例为时最为美观；“中”字的行草写法，

如竖笔把左右两部分按分割，整个字会显得潇洒有致；很多上下结构的字和左右

结构的字也一样，如果其比例为，将会十分和谐。

3.黄金分割与钢笔横行书写的章法

由于横行书写在人们日常应用中极为普遍，而汉字又大都是右下角收笔而左

上角起笔，因此横行书写的章法一直让人忌讳（这里的章法不敢含毛笔自右而左

的作品创作，而仅指日常应用的自左而右的章法，因此冠以“钢笔”限制），九

十年代，一批钢笔书法专家对此展开了研讨，有的认为应齐上线，有的认为应齐

下线，还有的提出“中线贯通”之说，我想这个问题的解决，必须从美学原理、

民族审美心理上加以反复论证，并经得起实践检验，才能为人们工作、生活中的

书写提供帮助。从根本上讲，汉字书法的美是建立在稳定和平衡的审美心理基础

上的，从人的心理需求“五层次”理论来看，安全也是最基础的层面，故必先有

平正才能谈变化。把一排字挂在顶线上给人的感觉当然不安全，千偏一律地把脚

下切齐，如一排人死死地把双脚踩在地上，虽然安稳但缺少动感，显得呆板，这

与艺术的审美属性不符，中线贯通则既不安稳又有些呆板，从构图上说，正中是

一个很特殊的位置，每字的重心都取横格中线也说不过去，而如果字的重心高于

横格中线则字又处于险地，这样一来答案就开始明朗了，即：横行的脉络应在横

格中线与底线之间。

那么具体应在什么位置呢？显然应在横格高度的下黄金分割点上。这样横写

一行字，根据黄金原理，在横格中视觉最美，从位置上分析既不失平稳又不显死

板，横格的顶部也自然地留出了行间距。需要强调的是，位于这条黄金脉络上的

只是单个字的重心，而字的高矮肥瘦仍可随章法节奏安排，笔画形态也可以根据

需要多姿多彩，不影响字体的选择也不约束风格和个性。

4.黄金分割与字画

中国书法，是一门线条分割空间的艺术，也大量充斥着的信息。

神奇的！

，一把打开艺术之门的钥匙！

教学反思：

我从生活审美引入，激发了学生学习的兴趣，让学生自己动手求解黄金分割

比，小组讨论黄金分割与数学中的斐波那契数列的关系，加深了学生对黄金分割

的理解，通过黄金分割与审美的教学进一步提高了学生的审美水平，使学生对黄

金分割在书法中的应用有了初步的认识。但学生的创新思维有待开发，学生的创

造能力有待提高。