动量公式

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jz*

[目标定位]1.理解动量的概念，知道动量和动量变化量均为矢量，会计算一维情况下的动量

变化量.2.知道冲量的概念，知道冲量是矢量.3.理解动量定理的确切含义，掌握其表达式.4.会

用动量定理解释碰撞、缓冲等生活中的现象.

一、动量

1.定义

运动物体的质量和速度的乘积叫动量；公式p＝mv；单位：千克·米/秒，符号：kg·m/s.

2.矢量性

方向与速度的方向相同.运算遵循平行四边形定则.

3.动量的变化量

(1)定义：物体在某段时间内末动量与初动量的矢量差(也是矢量)，Δp＝p′－p(矢量式).

(2)动量始终保持在一条直线上时的运算：选定一个正方向，动量、动量的变化量都用带有正、

负号的数值表示，从而将矢量运算简化为代数运算(此时的正、负号仅代表方向，不代表大小).

深度思考

质量相同的两个物体动能相同，它们的动量也一定相同吗？

答案不一定.动量是矢量，有方向，而动能是标量，无方向.质量相同的两个物体动能相同，

速度大小一定相同，但速度方向不一定相同.

例1关于动量的概念，下列说法中正确的是()

A.动量大的物体，惯性一定大

B.动量大的物体，运动一定快

C.动量相同的物体，运动方向一定相同

D.动量相同的物体，动能也一定相同

解析物体的动量由质量及速度共同决定，动量大的物体质量不一定大，惯性也不一定大，

A错；动量大的物体速度不一定大，B错；动量相同指的是动量的大小和方向都相同，而动

量的方向就是物体运动的方向，故动量相同的物体运动方向一定相同，C对；有动量和动能

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jz*

的关系p＝2mEk知，只有质量相同的物体动量相同时，动能才相同，故D错.

答案C

动量与动能的区别与联系：

(1)区别：动量是矢量，动能是标量，质量相同的两物体，动量相同时动能一定相同，但动能

相同时，动量不一定相同.

(2)联系：动量和动能都是描述物体运动状态的物理量，大小关系为Ek＝

p2

2m

或p＝2mEk.

例2质量为0.5kg的物体，运动速度为3m/s，它在一个变力作用下速度变为7m/s，方向

和原来方向相反，则这段时间内动量的变化量为()

A.5kg·m/s，方向与原运动方向相反

B.5kg·m/s，方向与原运动方向相同

C.2kg·m/s，方向与原运动方向相反

D.2kg·m/s，方向与原运动方向相同

解析以原来的运动方向为正方向，由定义式Δp＝mv′－mv得Δp＝(－7×0.5－3×0.5)kg·m/s

＝－5kg·m/s，负号表示Δp的方向与原运动方向相反.

答案A

关于动量变化量的求解

(1)若初、末动量在同一直线上，则在选定正方向的前提下，可化矢量运算为代数运算.

(2)若初、末动量不在同一直线上，运算时应遵循平行四边形定则.

二、冲量

1.定义：力与力的作用时间的乘积.公式：I＝Ft.单位：牛顿·秒，符号：N·s.

2.矢量性：方向与力的方向相同.

3.物理意义：反映力的作用对时间的积累.

深度思考

水平面上的物体所受水平拉力F随时间t的变化情况如图1所示，求0～8s时间内拉力的冲

量.

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jz*

图1

答案变力的冲量的计算：图中给出了力随时间变化的图象，可用面积法求变力的冲量.0～8

s时间内拉力的冲量I＝F1Δt1＋F2Δt2＋F3Δt3＝18N·s.

例3如图2所示，在倾角α＝37°的斜面上，有一质量为5kg的物体沿斜面滑下，物体与

斜面间的动摩擦因数μ＝0.2，求物体下滑2s的时间内，物体所受各力的冲量.(g取10m/s2，

sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)

图2

解析重力的冲量：IG＝G·t＝mg·t＝5×10×2N·s＝100N·s，方向竖直向下.

支持力的冲量：IFN＝FN·t＝mgcosα·t＝5×10×0.8×2N·s＝80N·s，

方向垂直斜面向上.

摩擦力的冲量：IFf＝Ff·t＝μmgcosα·t＝0.2×5×10×0.8×2N·s＝16N·s，方向沿斜面向上.

答案见解析

求各力的冲量或者合力的冲量，首先判断是否是恒力，若是恒力，可直接用力与作用时间的

乘积，若是变力，可考虑以下方法求解：

(1)利用动量定理求解.

(2)若力与时间成线性关系变化，则可用平均力求变力的冲量.

(3)若给出了力随时间变化的图象，可用面积法求变力的冲理.

三、动量定理

1.内容：物体在一个过程始末的动量变化量等于它在这个过程中所受力的冲量.

2.公式：mv′－mv＝F(t′－t)或p′－p＝I.

3.动量定理的理解：

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jz*

(1)动量定理的表达式mv′－mv＝F·Δt是矢量(填“矢量”或“标量”)式，等号包含了大小相

等、方向相同两方面的含义.

(2)动量定理反映了合外力的冲量是动量变化的原因.

(3)公式中的F是物体所受的合外力，若合外力是变力，则F应是合外力在作用时间内的平均

值.

深度思考

在日常生活中，有不少这样的例子：跳高时在下落处要放厚厚的海绵垫子，跳远时要跳在沙

坑中，这样做的目的是什么？

答案物体的动量变化量一定时，力的作用时间越短，力就越大；力的作用时间越长，力就

越小，这样做可以延长作用的时间，以减小地面对人的冲击力.

例4篮球运动员通常要伸出两臂迎接传来的篮球.接球时，两臂随球迅速收缩至胸前，这样

做可以()

A.减小球对手的冲量

B.减小球对人的冲击力

C.减小球的动量变化量

D.减小球的动能变化量

解析篮球运动员接球的过程中，手对球的冲量等于球的动量的变化量，大小等于球入手时

的动量，接球时，两臂随球迅速收缩至胸前，并没有减小球对手的冲量，也没有减小球的动

量变化量，更没有减小球的动能变化量，而是因延长了手与球的作用时间，从而减小了球对

人的冲击力，B正确.

答案B

利用动量定理解释现象的问题主要有三类：

(1)Δp一定，t短则F大，t长则F小.

(2)F一定，t短则Δp小，t长则Δp大.

(3)t一定，F大则Δp大，F小则Δp小.

例5质量m＝70kg的撑竿跳高运动员从h＝5.0m高处落到海绵垫上，经Δt1＝1s后停止，

则该运动员身体受到的平均冲力约为多少？如果是落到普通沙坑中，经Δt2＝0.1s停下，则

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jz*

沙坑对运动员的平均冲力约为多少？(g取10m/s2)

解析以全过程为研究对象，初、末动量的数值都是0，所以运动员的动量变化量为零，根

据动量定理，合力的冲量为零，根据自由落体运动的知识，物体下落到地面上所需要的时间

是t＝

2h

g

＝1s

从开始下落到落到海绵垫上停止时，

mg(t＋Δt1)－FΔt1＝0

代入数据，解得F＝1400N

下落到沙坑中时，mg(t＋Δt2)－F′Δt2＝0

代入数据，解得F′＝7700N.

答案1400N7700N

应用动量定理定量计算的一般步骤：

(1)选定研究对象，明确运动过程.

(2)进行受力分析和运动的初、末状态分析.

(3)选定正方向，根据动量定理列方程求解.

1.(对动量的理解)关于动量，下列说法正确的是()

A.速度大的物体，它的动量一定也大

B.动量大的物体，它的速度一定也大

C.只要物体运动的速度大小不变，物体的动量也保持不变

D.质量一定的物体，动量变化越大，该物体的速度变化一定越大

答案D

解析动量由质量和速度共同决定，只有质量和速度的乘积大，动量才大，选项A、B均错

误；动量是矢量，只要速度方向变化，动量也发生变化，选项C错误；由Δp＝mΔv知D正

确.

2.(对冲量的理解)如图3所示，质量为m的小滑块沿倾角为θ的斜面向上滑动，经过时间t1

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jz*

速度为零然后又下滑，经过时间t2回到斜面底端，滑块在运动过程中受到的摩擦力大小始终

为F1.在整个过程中，重力对滑块的总冲量为()

图3

θ(t1＋t2)θ(t1－t2)

(t1＋t2)D.0

答案C

解析谈到冲量必须明确是哪一个力的冲量，此题中要求的是重力对滑块的总冲量，根据冲

量的定义式I＝Ft，因此重力对滑块的总冲量应为重力乘以作用时间，所以IG＝mg(t1＋t2)，即

C正确.

3.(动量定理的理解和应用)(多选)一个小钢球竖直下落，落地时动量大小为0.5kg·m/s，与地

面碰撞后又以等大的动量被反弹.下列说法中正确的是()

A.引起小钢球动量变化的是地面给小钢球的弹力的冲量

B.引起小钢球动量变化的是地面对小钢球弹力与其自身重力的合力的冲量

C.若选向上为正方向，则小钢球受到的合冲量是－1N·s

D.若选向上为正方向，则小钢球的动量变化是1kg·m/s

答案BD

4.(动量定理的理解和应用)高空作业须系安全带，如果质量为m的高空作业人员不慎跌落，

从开始跌落到安全带对人刚刚产生作用前人下落的距离为h(可视为自由落体运动).此后经历

时间t安全带达到最大伸长量，若在此过程中该作用力始终竖直向上，则该段时间安全带对

人的平均作用力多大？

答案

m2gh

t

＋mg

解析对自由落体运动，有：h＝

1

2

gt2

1

解得：t1＝

2h

g

规定向下为正方向，对运动的全过程，根据动量定理，有：

mg(t1＋t)－Ft＝0

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jz*

解得：F＝

m2gh

t

＋mg.

题组一对动量和冲量的理解

1.(多选)下列关于动量的说法中，正确的是()

A.动能不变，物体的动量一定不变

B.做匀速圆周运动的物体，其动量不变

C.一个物体的速率改变，它的动量一定改变

D.一个物体的运动状态发生变化，它的动量一定改变

答案CD

解析动能不变，若速度的方向变化，动量就变化，选项A错误.做匀速圆周运动的物体的速

度方向时刻变化，所以其动量时刻变化，B错.速度的大小、方向有一个量发生变化都认为速

度变化，动量也变化，C对.运动状态发生变化即速度发生变化，D对.

2.下列说法正确的是()

A.动能为零时，物体一定处于平衡状态

B.物体受到恒力的冲量也可能做曲线运动

C.物体所受合外力不变时，其动量一定不变

D.动量相同的两个物体，质量大的动能大

答案B

3.(多选)在任何相等时间内，物体动量的变化总是相等的运动可能是()

A.匀速圆周运动B.匀变速直线运动

C.自由落体运动D.平抛运动

答案BCD

4.如图1所示甲、乙两种情况中，人用相同大小的恒定拉力拉绳子，使人和船A均向右运动，

经过相同的时间t，图甲中船A没有到岸，图乙中船A没有与船B相碰，则经过时间t()

图1

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A.图甲中人对绳子拉力的冲量比图乙中人对绳子拉力的冲量小

B.图甲中人对绳子拉力的冲量比图乙中人对绳子拉力的冲量大

C.图甲中人对绳子拉力的冲量与图乙中人对绳子拉力的冲量一样大

D.以上三种情况都有可能

答案C

解析甲、乙两种情况下人对绳子的拉力相等，由冲量的定义式p＝Ft可知，两冲量相等，

只有选项C是正确的.

5.“蹦极”运动中，长弹性绳的一端固定，另一端绑在人身上，人从几十米高处跳下，将蹦

极过程简化为人沿竖直方向的运动.从绳恰好伸直，到人第一次下降至最低点的过程中，下列

分析正确的是()

A.绳对人的冲量始终向上，人的动量先增大后减小

B.绳对人的拉力始终做负功，人的动能一直减小

C.绳恰好伸直时，绳的弹性势能为零，人的动能最大

D.人在最低点时，绳对人的拉力等于人所受的重力

答案A

解析由于绳对人的作用力一直向上，故绳对人的冲量始终向上，由于人在下降中速度先增

大后减小，故动量先增大后减小，故A正确；在该过程中，拉力与运动方向始终相反，绳子

的力一直做负功，但由分析可知，人的动能先增大后减小，故B错误；绳子恰好伸直时，绳

子的形变量为零，弹性势能为零，但此时人的动能不是最大，故C错误；人在最低点时，绳

子对人的拉力一定大于人受到的重力，故D错误.

题组二动量定理的理解及定性分析

6.(多选)从同样高度落下的玻璃杯，掉在水泥地上容易打碎，而掉在草地上不容易打碎，其原

因是()

A.掉在水泥地上的玻璃杯动量大，而掉在草地上的玻璃杯动量小

B.掉在水泥地上的玻璃杯动量改变大，掉在草地上的玻璃杯动量改变小

C.掉在水泥地上的玻璃杯动量改变快，掉在草地上的玻璃杯动量改变慢

D.掉在水泥地上的玻璃杯与地面接触时，相互作用时间短，而掉在草地上的玻璃杯与地面接

触时，相互作用时间长

答案CD

解析杯子是否被撞碎，取决于撞击地面时，地面对杯子的撞击力大小.规定竖直向上为正方

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向，设玻璃杯下落高度为h，它们从h高度落地瞬间的速度大小为2gh，设玻璃杯的质量为

m，则落地前瞬间的动量大小为p＝m2gh，与水泥或草地接触Δt时间后，杯子停下，在此

过程中，玻璃杯的动量变化Δp＝－(－m2gh)相同，再由动量定理可知(F－mg)·Δt＝－(－

m2gh)，所以F＝

m2gh

Δt

＋mg.由此可知，Δt越小，玻璃杯所受撞击力越大，玻璃杯就越容

易碎，杯子掉在草地上作用时间较长，动量变化慢，作用力小，因此玻璃杯不易碎.

7.(多选)下面关于动量和冲量的说法，正确的是()

A.物体所受合外力冲量越大，它的动量也越大

B.物体所受合外力冲量不为零，它的动量一定要改变

C.物体动量增量的方向，就是它所受合外力的冲量方向

D.物体所受合外力冲量越大，它的动量变化就越大

答案BCD

解析由动量定理可知，物体所受合外力的冲量，其大小等于动量的变化量的大小，方向与

动量增量的方向相同，故A项错，B、C、D项正确.

8.如图2所示，一铁块压着一纸条放在水平桌面上，当以速度v抽出纸条后，铁块掉到地面

上的P点，若以速度2v抽出纸条，则铁块落地点为()

图2

A.仍在P点

B.在P点左侧

C.在P点右侧不远处

D.在P点右侧原水平位移的两倍处

答案B

解析以速度2v抽出纸条时，纸条对铁块的作用时间减短，而纸条对铁块的作用力相同，故

与以速度v抽出相比，纸条对铁块的冲量I减小，铁块获得的动量减小，平抛的初速度减小，

水平射程减小，故落在P点的左侧.

题组三动量定理的定量计算

9.质量为m的钢球自高处落下，以速度大小v1碰地，竖直向上弹回，碰撞时间极短，离地的

速度大小为v2.在碰撞过程中，地面对钢球的冲量的方向和大小为()

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A.向下，m(v1－v2)B.向下，m(v1＋v2)

C.向上，m(v1－v2)D.向上，m(v1＋v2)

答案D

解析钢球以大小为v1的竖直速度与地面碰撞后以大小为v2的速度反弹.钢球在与地面碰撞

过程的初、末状态动量皆已确定.根据动量定理便可以求出碰撞过程中钢球受到的冲量.设垂直

地面向上的方向为正方向，对钢球应用动量定理得Ft－mgt＝mv2－(－mv1)＝mv2＋mv1

由于碰撞时间极短，t趋于零，则mgt趋于零.所以Ft＝m(v2＋v1)，即弹力的冲量方向向上，

大小为m(v2＋v1).

10.(多选)一个质量为0.18kg的垒球，以25m/s的水平速度飞向球棒，被球棒打击后反向水

平飞回，速度大小变为45m/s，设球棒与垒球的作用时间为0.01s.下列说法正确的是()

A.球棒对垒球的平均作用力大小为1260N

B.球棒对垒球的平均作用力大小为360N

C.球棒对垒球做的功为126J

D.球棒对垒球做的功为36J

答案AC

解析设球棒对垒球的平均作用力为F，由动量定理得F·t＝m(vt－v0)，取末速度方向为正

方向，则vt＝45m/s，v0＝－25m/s，代入上式得F＝1260N.由动能定理得W＝

1

2

mv2

t－

1

2

mv2

0

＝126J，故A、C正确.

11.如图3所示，质量为1kg的钢球从5m高处自由下落，又反弹到离地面3.2m高处，若钢

球和地面之间的作用时间为0.1s，求钢球对地面的平均作用力大小.(g取10m/s2)

图3

答案190N

解析钢球落到地面时的速度大小为v0＝2gh1＝10m/s，反弹时向上运动的速度大小为vt

＝2gh2＝8m/s，分析钢球和地面的作用过程，取向上为正方向，因此有v0的方向为负方向，

vt的方向为正方向，再根据动量定理得(FN－mg)t＝mvt－(－mv0)，代入数据解得FN＝190N，

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jz*

由牛顿第三定律知钢球对地面的平均作用力大小为190N.

12.一辆轿车强行超车时，与另一辆迎面驶来的轿车相撞，两车车身因相互挤压，皆缩短了0.5

m，据测算两车相撞前速度约为30m/s，则：

(1)假设两车相撞时人与车一起做匀减速运动，试求车祸中车内质量约60kg的人受到的平均

冲力的大小；

(2)若此人系有安全带，安全带在车祸过程中与人体的作用时间是1s，求这时人体受到的平

均冲力的大小.

答案(1)5.4×104N(2)1.8×103N

解析(1)两车相撞时认为人与车一起做匀减速运动直到停止，位移为0.5m.

设运动的时间为t，则由x＝

v0

2

t得，t＝

2x

v0

＝

1

30

s.

根据动量定理得Ft＝Δp＝－mv0，

解得F＝

－mv0

t

＝

－60×30

1

30

N＝－5.4×104N，与运动方向相反.

(2)若此人系有安全带，则F′＝

－mv0

t′

＝

－60×30

1

N＝－1.8×103N，与运动方向相反.

13.将质量为m＝1kg的小球，从距水平地面高h＝5m处，以v0＝10m/s的水平速度抛出，

不计空气阻力，g取10m/s2.求：

(1)抛出后0.4s内重力对小球的冲量；

(2)平抛运动过程中小球动量的增量Δp；

(3)小球落地时的动量p′.

答案(1)4N·s方向竖直向下

(2)10N·s方向竖直向下

(3)102kg·m/s方向与水平方向的夹角为45°

解析(1)重力是恒力，0.4s内重力对小球的冲量

I＝mgt＝1×10×0.4N·s＝4N·s，方向竖直向下.

(2)由于平抛运动的竖直分运动为自由落体运动，

故h＝

1

2

gt2，

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jz*

落地时间t＝

2h

g

＝1s.

小球飞行过程中只受重力作用，所以合外力的冲量为

I＝mgt＝1×10×1N·s＝10N·s，方向竖直向下.

由动量定理得Δp＝I＝10N·s，方向竖直向下.

(3)小球落地时竖直分速度为

vy＝gt＝10m/s.

由速度合成知，落地速度

v＝v2

0＋v2

y＝102＋102m/s＝102m/s，

所以小球落地时的动量大小为

p′＝mv＝102kg·m/s.