绝对值不等式

-1-

选修4-5学案1.2.1绝对值不等式

☆学习目标：1.对深化绝对值的定义及其几何意义的理解和掌握;

2.理解关于绝对值三角不等式并会简单应用

☆探究：许多不等关系都涉及到距离的长短、面积或体积的大小、重量，等等，它们都要通过

非负数来表示.因此，研究含有绝对值的不等式具有重要大的意义.

☻建构新知：

1．绝对值的定义：aR，

||a













2.绝对值的几何意义：

⑴实数a的绝对值||a，表示数轴上坐标为a的点A

⑵



两个实数,ab，它们在数轴上对应的点分别为,AB，

那么||ab的几何意义是

☻建构新知：含绝对值不等式的解法

3．设a为正数,根据绝对值的意义，不等式ax的解集是

它的几何意义就是数轴上的点的集合是开区间，如图所示.

4．设a为正数,根据绝对值的意义，不等式ax的解集是

它的几何意义就是数轴上的点的集合是开区间，如图所示.

5．设a为正数,则⑴()fxa;

⑵()fxa;

⑶设0ba,则()afxb.

6．⑴()fx≥()gx；

⑵()()fxgx.

案例学习：

解不等式2|55|1xx．

［题1］解不等式2|55|1xx．

-2-

［收获］1）一元一次不等式、一元二次不等式的解法是我们解不等式的基础，无论是解高次

不等式、绝对值不等式还是解无理根式不等式，最终是通过代数变形后，转化为一元

一次不等式、一元二次不等式组来求解。

2）本题也可用数形结合法来求解。在同一坐标系中画出函数2551yxxy与的图

象，解方程2551xx，再对照图形写出此不等式的解集。

练习:解不等式4|23|7x.

第1变右边的常数变代数式

例2.解不等式(1)213xx;(2)xx213.

［收获］形如|()fx|<()gx，|()fx|>()gx型不等式

这类不等式的简捷解法是等价命题法，即：

①|()fx|<()gx

－()gx<()fx<()gx

②|()fx|>()gx()fx>()gx或()fx<－()gx

练习:解不等式（1）｜x-x2-2｜>x2-3x-4；（2）

2

3

4

x

x

≤1

2.方程2

2

3

x

xx



2

2

3

x

xx







的解集为,不等式

22

||xx

xx



的解集是

第2变含两个绝对值的不等式

［变题2］解不等式（1）|x－1|<|x+

1

|；（2）｜x-2｜+｜x+3｜>5.

若将(1)更改为|x－1|<|x+a|，如何求解？

-3-

［收获］1）形如|

()fx

|<|

()gx

|型不等式

此类不等式的简捷解法是利用平方法，即：

|

()fx

|<|

()gx

|22()()fxgx[()()][()()]fxgxfxgx

<0

2）所谓零点分段法，是指：若数

1

x，

2

x，„„，

n

x分别使含有|x－

1

x|，|x－

2

x|，„„，

|x－

n

x|的代数式中相应绝对值为零，称

1

x，

2

x，„„，

n

x为相应绝对值的零点，零点

1

x，

2

x，„„，

n

x将数轴分为m+1段，利用绝对值的意义化去绝对值符号，得到代数式在各段上

的简化式，从而化为不含绝对值符号的一般不等式来解，即令每项等于零，得到的值作为讨

论的分区点，然后再分区间讨论绝对值不等式，最后应求出解集的并集。零点分段法是解含

绝对值符号的不等式的常用解法，这种方法主要体现了化归、分类讨论等数学思想方法，它

可以把求解条理化、思路直观化

练习1.设函数()14fxxx．

1解不等式()2fx；2求函数()yfx的最值．

2.解不等式(1)52312xx;(2)512xx.

3画出不等式1yx的图形，并指出其解的范围。利用不等式的图形解不等式

111xx;

第3变解含参绝对值不等式

［变题3］解关于x的不等式34422mmmxx

［收获］1）一题有多解，方法的选择更重要。

2）形如|

()fx

|

()fx

|>a(

aR

)型不等式

此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：

①当a>0时，|

()fx

|

－a<

()fx

()fx

|>a

()fx

>a或

()fx

<－a；

②当a=0时，|

()fx

|

()fx

|>a

()fx

≠0

③当a<0时，|

()fx

|

()fx

|>a

()fx

有意义。

练习．关于x的不等式|

kx

－1|≤5的解集为{x|－3≤x≤2}，求

k

的值。

2.（03北京春）若不等式26ax的解集为1,2，则实数a等于()

.A8.B2.C4.D8

-4-

第4变含参绝对值不等式有解、解集为空与恒成立问题

［变题4］若不等式|x－4|+|3－x|

［收获］1）一题有多法，解题时需学会寻找最优解法。

2）fxa有解

min

afx；fxa有解

min

afx；

fxa解集为空集

min

afx；fxa解集为空集

min

afx

fxa恒成立

max

afx;fxa恒成立

max

afx

fxa有解

max

afx；fxa有解

max

afx

fxa解集为空集

max

afx;；fxa解集为空集

max

afx；

fxa恒成立

min

afx。fxa恒成立

min

afx

3．已知a>0,不等式|x-4|+|x-3|

分析（一）



|x-4|+|x-3|



|x-4—(x-3)|=1



当|x-4|+|x-3|1

（二）如图，实数x、3、4在数轴上的对应点分别为P、A、B则有：

y=|x-4|+|x-3|=|PA|+|PB|



|PA|+|PB|



1



恒有y



1

数按题意只须a>1ABP

034x

（三）令y=f(x)=|x-4|+|x-3|作出其图象

由f(x)1

y

3

2

1

034x

（四）考虑|z-4|+|z-3|



c)的几何意义

当a>1时，表示复平面上以3、4为焦点，长轴长为a的椭圆内部，当z为实数时，a>1

原不等式有解



a>1即为所求

（五）可利用零点分段法讨论.

将数轴可分为(-∞，3)，［3，4］，(4，+∞)三个区间.

当x<3时，得(4-x)+(3-x)



x>

7

2

a

.

有解条件为

7

2

a

<3即a>1

当3≤x≤4时得(4-x)+(x-3)1

当x>4时，得(x-4)+(x-3)



x<

7

2

a

有解条件为

7

2

a

>4即a>1

以上三种情况中任一个均可满足题目要求，故求它们的并集，即仍为a>1.

评注：

1、此题运用了绝对值的定义，绝对值不等式的性质，以及绝对值的几何意义等多种方法。

2、构造函数及数形结合的方法，是行之有效的常用方法

变题：

1、若不等式|x-4|+|x-3|>a对于一切实数x恒成立，求a的取值范围

2、若不等式|x-4|-|x-3|

3、若不等式|x-4|-|x-3|>a在R上恒成立，求a的取值范围

-5-

练习：

1.不等式31xx>a，对一切实数x都成立，则实数a的取值范围是

2.对任意实数x，|1||2|xxa恒成立，则a的取值范围是

3.对任意实数x，|1||3|xxa恒成立，则a的取值范围是

4.若关于x的不等式|4||3|xxa的解集不是空集，则a的取值范围是

5．已知{23}Axxa，{Bxx≤10}，且AB





，求实数a的范围.

.6已知方程1|12||12|axx有实数解，则a的取值范围为。

-6-

第5变绝对值不等式与其它知识的横向联系

［变题5］（2003年全国高考试题）已知

0c

.设

:P

函数xcy

在R上单调递减.

:Q

不等式

1|2|cxx

的解集为R.

如果P和

Q

有且仅有一个正确，求c的取值范围.

［思路］此题虽是一道在老教材之下的高考试题，但揭示了“解不等式”一类高考试题

的命题方向.在新教材中，绝对值不等式的解法和二次不等式的解法与集合运算、命题判断都

有一定联系，属于对于学生提出的基本要求内容的范畴，本题将这几部分知识内容有机地结

合在一起，在考查学生基础知识、基本方法掌握的同时，考查了学生命题转换，分类讨论等

能力，在不同的方法下有不同的运算量，较好地体现出了“多考一点想，少考一点算”的命

题原则.

［收获］“解不等式”一类的命题可以有形式上的更新和内容上的变化.结合简易逻辑的概

念和集合的语言来命题，借助集合的运算性质和四个命题的关系来作答，是这个命题的基本

特征，在求解时则主要以化归思想为解题切入点.复习中对于此类问题要引起足够的重视.

1．（2004届湖北省黄冈中学综合测试题）已知条件axp|15:|和条件0

132

1

:

2



xx

q，

请选取适当的实数

a

的值，分别利用所给的两个条件作为A、B构造命题：“若A则B”，并使

得构造的原命题为真命题，而其逆命题为假命题.则这样的一个原命题可以是什么？并说明为

什么这一命题是符合要求的命题.

[分析]本题为一开放性命题，由于能得到的答案不唯一，使得本题的求解没有固定的模

式，考生既能在一般性的推导中找到一个满足条件的a，也能先猜后证，所找到的实数a只需

满足

2

1

5

1



a

，且



5

1a

1即可.这种新颖的命题形式有较强的综合性，同时也是对于四个命

题考查的一种新尝试，如此命题可以考查学生探究问题、解决问题的能力，符合当今倡导研

究性学习的教学方向.

[解答]已知条件

p

即ax15，或ax15，∴

5

1a

x





，或

5

1a

x





，

已知条件

q

即01322xx，∴

2

1

x

，或1x；

令4a，则

p

即

5

3

x

，或1x，此时必有

qp

成立，反之不然.

故可以选取的一个实数是4a，A为

p

，B为

q

，对应的命题是若

p

则

q

，

由以上过程可知这一命题的原命题为真命题，但它的逆命题为假命题.

2．已知

)0(012:2|

3

1

1:|22



mmxxq

x

p，

；

p

是

q

的必要不充分条件，求实数

m

的取值范围.

[分析]本题实为上一命题的姊妹题，将命题的表述重心移至充要条件，使用了学生较为

熟悉的语言形式.充要条件是一个十分重要的数学概念，新教材将这一内容的学习放在第一章，

从而也可能利用第一章的知识内容来命题考查这一概念.本例是一道揉绝对值不等式、二次不

等式的求解与充要条件的运用于一起的较好试题，要求学生能正确运用数学符号，规范数学

学习行为，否则连读题审题都感困难.

[解答]由

，2|

3

1

1|





x

得102x，

由

)0(01222mmxx，得)0(11mmxm，

∴¬

p

即2x，或10x，而¬

q

即mx1，或mx1)0(m；

由¬

p

是¬

q

的必要不充分条件，知¬

q



¬

p

，

设A=}102|{xxx，或，B=)}0(11|{mmxmxx，或，

则有AB



，故

















，

，

，

0

101

11

m

m

m

且不等式中的第一、二两个不等式不能同时取等号，

解得30m，此即为“¬

p

是

q

的必要不充分条件”时实数m的取值范围.

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选修4-5练习含绝对值不等式的解法姓名

解不等式

1、.1122x2、01314x

3、423xx.4、xx21.

5、1422xx6、212xx.

7、42xx8、.631xx

9、21xx10、.24xx

.8解不等式：⑴112xx;⑵

1

1

2







x

x

;

9.求函数46yxx的最小值。

11.已知不等式ax2)0(a

的解集为cxRx1|

，求ca2的值

12.解关于x的不等式2||xaa（aR）

13.解关于x的不等式：①解关于x的不等式31mx；②ax132)(Ra