数学周报

中国教育学会中学数学教学专业委员会

“《数学周报》杯"2009年全国初中数学竞赛试题参考答案

一、选择题（共5小题，每小题7分,共35分。以下每道小题均给出了代

号为A，B，C,D的四个选项,其中有且只有一个选项是正确的.请将正确选项的

代号填入题后的括号里,不填、多填或错填都得0分）

1．已知非零实数a，b满足，则等于（）．

（A）－1（B）0（C)1(D）2

【答】C．

解：由题设知a≥3，所以，题设的等式为,于是,从而＝1．

2．如图，菱形ABCD的边长为a，点O是对角线AC上的一点，且OA＝a，

OB＝OC＝OD＝1，则a等于（）．

（A）（B)（C）1（D)2

【答】A．

解:因为△BOC∽△ABC，所以，即

，

所以,．

由，解得．

3．将一枚六个面编号分别为1，2，3，4，5，6的质地均匀的正方体骰子先

后投掷两次，记第一次掷出的点数为，第二次掷出的点数为，则使关于x,y的方

程组只有正数解的概率为（)．

（A)（B）（C）（D）

【答】D．

解：当时，方程组无解．

当时，方程组的解为

由已知，得即或

由，的实际意义为1,2，3,4,5，6，可得

共有5×2＝10种情况；或共3种情况．

又掷两次骰子出现的基本事件共6×6＝36种情况,故所求的概率为．

4．如图1所示,在直角梯形ABCD中，AB∥DC，。动点P从点

B出发,沿梯形的边由B→C→D→A运动.设点P运动的路程为x，△ABP的面积

为y.把y看作x的函数,函数的图像如图2所示，则△ABC的面积为(）．

（A）10（B）16（C）18（D)32

【答】B．

解：根据图像可得BC＝4，CD＝5，DA＝5，进而求得AB＝8，故

S△ABC

＝×8×4＝16。

5．关于x，y的方程的整数解(x，y）的组数为（）．

(A）2组（B）3组（C）4组（D）无穷多组

【答】C．

解：可将原方程视为关于的二次方程，将其变形为

．

由于该方程有整数根，则判别式≥，且是完全平方数．

由≥，

解得≤．于是

014916

显然，只有时,是完全平方数，符合要求．

当时，原方程为，此时；

当y＝－4时，原方程为,此时．

所以,原方程的整数解为

二、填空题（共5小题，每小题7分,共35分）

6．一个自行车轮胎,若把它安装在前轮，则自行车行驶5000km后报废；若

把它安装在后轮，则自行车行驶3000km后报废，行驶一定路程后可以交换前、

后轮胎．如果交换前、后轮胎，要使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这

（第4题）

（第2题）

图1

图2

辆车将能行驶km．

【答】3750．

解：设每个新轮胎报废时的总磨损量为k，则安装在前轮的轮胎每行驶1km

磨损量为，安装在后轮的轮胎每行驶1km的磨损量为。又设一对新轮胎交换位

置前走了xkm，交换位置后走了ykm.分别以一个轮胎的总磨损量为等量关系列

方程，有

两式相加,得，

则．

7．已知线段AB的中点为C，以点A为圆心，AB的长为半径作圆,在线段

AB的延长线上取点D，使得BD＝AC；再以点D为圆心,DA的长为半径作圆,与

⊙A分别相交于F，G两点，连接FG交AB于点H,则的值为．

解:如图,延长AD与⊙D交于点E,连接AF，EF．

由题设知，,在△FHA和△EFA中,

，

所以Rt△FHA∽Rt△EFA，

.

而,所以。

8．已知是满足条件的五个不同的整数，若是关于x的方程的整数根，则的值

为．

【答】10．

解：因为，且是五个不同的整数，所有也是五个不同的整数．

又因为,所以

．

由，可得．

9．如图，在△ABC中，CD是高，CE为的平分线．若AC＝15，BC＝20，

CD＝12，则CE的长等于．

【答】．

解：如图，由勾股定理知AD＝9，BD＝16，所以AB＝AD＋BD＝25．

故由勾股定理逆定理知△ACB为直角三角形，且．

作EF⊥BC，垂足为F．设EF＝x，由，得CF＝x，于是BF＝20－x．由于

EF∥AC,所以

,

即，

解得．所以．

10．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是:每个人心里都想好一个数，

并把自己想好的数如实地告诉他两旁的两个人，然后每个人将他两旁的两个人告

诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数

是．

【答】．

解:设报3的人心里想的数是，则报5的人心里想的数应是．

于是报7的人心里想的数是，报9的人心里想的数是，报1的人心里想的

数是，报3的人心里想的数是．所以

，

解得．

三、解答题（共4题，每题20分，共80分）

11．已知抛物线与动直线有公共点，，

且.

（1）求实数t的取值范围;

（2）当t为何值时，c取到最小值,并求出c的最小值。

解:（1）联立与，消去y得二次方程

①

有实数根，，则．所以

=＝．②

………………5分

（第9题）

（第10题）

（第7题）

把②式代入方程①得

．③

………………10分

t的取值应满足

≥0，④

且使方程③有实数根，即

＝≥0，⑤

解不等式④得≤-3或≥1，解不等式⑤得≤≤.

所以，t的取值范围为

≤≤。⑥

………………15分

（2)由②式知。

由于在≤≤时是递增的,所以，当

时,.………………20分

12．已知正整数满足，且，求满足条件的所有可能的正整数的和．

解:由可得．，且

．

………………5分

因为是奇数，所以等价于,又因为，所以等价于．因此有，于是可得．

………………15分

又，所以．因此，满足条件的所有可能的正整数的和为

11＋192（1＋2＋…＋10）＝10571．………………20分

13．如图，给定锐角三角形ABC，，AD,BE是它的两条高，过点作△ABC的

外接圆的切线，过点D，E分别作的垂线,垂足分别为F,G．试比较线段DF和EG

的大小，并证明你的结论．

解法1:结论是．下面给出证明．………………5分

因为，所以Rt△FCD∽Rt△EAB．于是可得

．

同理可得．

………………10分

又因为，所以有，于是可得

．………………20分

解法2：结论是．下面给出证明．

………………5分

连接DE，因为,所以A，B，D，E四点共圆，故

．………………10分

又l是⊙O的过点C的切线，所以．………………15分

所以,，于是DE∥FG，故DF＝EG．

………………20分

14．n个正整数满足如下条件：；

且中任意n－1个不同的数的算术平均数都是正整数．求n的最大值．

解：设中去掉后剩下的n－1个数的算术平均数为正整数，．即．

于是，对于任意的1≤≤n，都有

,

从而．………………5分

由于是正整数,故

．………………10分

由于

≥，

所以，≤2008，于是n≤45。

结合,所以，n≤9．………………15分

另一方面，令，…，,

，则这9个数满足题设要求．

综上所述,n的最大值为9。………………20分

（第13A题）

（第13A题）