垂径定理

垂径定理—知识讲解（基础）

责编：常春芳

【学习目标】

1.理解圆的对称性；

2.掌握垂径定理及其推论；

3.利用垂径定理及其推论进行简单的计算和证明.

【要点梳理】

知识点一、垂径定理

1.垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.

2.推论

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

要点诠释：

(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即

(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.

知识点二、垂径定理的拓展

根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：

（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；

（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；

（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.

要点诠释：

在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，

在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平

分的弦不能是直径）

【典型例题】

类型一、应用垂径定理进行计算与证明

1．如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，且AB＝6cm，OD＝4cm，则DC的长为（）

A．5cmB．2.5cmC．2cmD．1cm

【思路点拨】

欲求CD的长，只要求出⊙O的半径r即可，可以连结OA，在Rt△AOD中，由勾股定理求出OA.

【答案】D；

【解析】连OA，由垂径定理知

1

3cm

2

ADAB，

所以在Rt△AOD中，2222435AOODAD（cm）．

所以DC＝OC－OD＝OA－OD＝5－4＝1（cm）.

【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形。

举一反三：

【高清ID号：356965关联的位置名称（播放点名称）：例4-例5】

【变式】如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，且AE=3cm，BE=5cm，求圆心O到弦CD距离。

【答案】1cm．

2．（2015•巴中模拟）如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE

交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长．

【答案与解析】

解：∵E为弧AC的中点，

∴OE⊥AC，

∴AD=AC=4cm，

∵OD=OE﹣DE=（OE﹣2）cm，OA=OE，

∴在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2

即OA

2=（OE﹣2）2+42

，

又知0A=OE，解得：OE=5，

∴OD=OE﹣DE=3cm．

【点评】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形.

举一反三：

【高清ID号：356965关联的位置名称（播放点名称）：例2-例3】

【变式】已知：如图，割线AC与圆O交于点B、C，割线AD过圆心O.若圆O的半径是5，且30DAC，

AD=13.求弦BC的长.

【答案】6.

类型二、垂径定理的综合应用

3．如图1，某公园的一座石拱桥是圆弧形(劣弧)，其跨度为24m，拱的半径为13m，则拱高为（）

A．5mB．8mC．7mD．

53

m

【思路点拨】

解决此题的关键是将这样的实际问题转化为数学问题，即能够把题目中的已知条件和要求的问

题转化为数学问题中的已知条件和问题．

【答案】B；

【解析】如图2，

AB

表示桥拱，弦AB的长表示桥的跨度，C为

AB

的中点，

CD⊥AB于D，CD表示拱高，O为

AB

的圆心，根据垂径定理的推论可知，

C、D、O三点共线，且OC平分AB．

在Rt△AOD中，OA＝13，AD＝12，则OD2＝OA2－AD2＝132－122＝25．

∴OD＝5，

∴CD＝OC－OD＝13－5＝8，即拱高为8m．

【点评】在解答有关弓形问题时，首先应找弓形的弧所在圆的圆心，然后构造直角三角形，运用垂径定

理（推论）及勾股定理求解.

4．（2015•蓬溪县校级模拟）如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，

弦CD是水位线，CD∥AB，且AB=26m，OE⊥CD于点E．水位正常时测得OE：CD=5：24

（1）求CD的长；

（2）现汛期来临，水面要以每小时4m的速度上升，则经过多长时间桥洞会刚刚被灌满？

【答案与解析】

解：（1）∵直径AB=26m，

∴OD=，

∵OE⊥CD，

∴，

∵OE：CD=5：24，

∴OE：ED=5：12，

∴设OE=5x，ED=12x，

∴在Rt△ODE中（5x）2+（12x）2=132

，

解得x=1，

∴CD=2DE=2×12×1=24m；

（2）由（1）得OE=1×5=5m，

延长OE交圆O于点F，

∴EF=OF﹣OE=13﹣5=8m，

∴，即经过2小时桥洞会刚刚被灌满．

【点评】此题主要考查了垂径定理的应用以及勾股定理等知识，求阴影部分面积经常运用求出空白面积

来解决．

举一反三：

【变式】有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB=60m，水面到拱顶距离CD=18m，

当洪水泛滥时，水面距拱顶不超过3m时拱桥就有危险，现在水面宽MN=32m时是否需要采取紧急措施？

请说明理由．

【答案】不需要采取紧急措施

设OA=R，在Rt△AOC中，AC=30，OC=OD-CD=R-18，

R2=302+(R-18)2，R2=900+R2-36R+324，

解得R=34(m).

连接OM，设DE=x，在Rt△MOE中，ME=16，

342=162+(34-x)2，

x2-68x+256=0，

解得x1=4，x2=64(不合题意，舍)，

∴DE=4m＞3m，

∴不需采取紧急措施．