等比数列求和

1

等比数列的前n项和（第一课时）

一、教材分析

1.从在教材中的地位与作用来看

《等比数列的前n项和》是数列这一章中的一个重要内容，从教材的编写顺序上来看，

等比数列的前n项和是第三章“数列”第五节的内容，一方面它是“等差数列的前n项和”

与“等比数列”内容的延续、与前面学习的函数等知识也有着密切的联系，另一方面它又为

进一步学习“数列的极限”等内容作准备。就知识的应用价值上来看，它不仅在现实生活中

有着广泛的实际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类

比、化归、分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学

素养。就内容的人文价值上来看，等比数列的前n项和公式的探究与推导需要学生观察、分

析、归纳、猜想，有助于培养学生的创新思维和探索精神,是培养学生应用意识和数学能力

的良好载体。

2.从学生认知角度来看

从学生的思维特点看，很容易把本节内容与等差数列前n项和从公式的形成、特点等方

面进行类比，这是积极因素，应因势利导．不利因素是：本节公式的推导与等差数列前n

项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于q=1这一特殊

情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的过程中容易出错。

3.学情分析

教学对象是刚进入高中的学生，虽然具有一定的分析问题和解决问题的能力，逻辑思维

能力也初步形成，但由于年龄的原因，对问题的分析缺乏深刻性和严谨性。

4.重点、难点

教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运用．

教学难点：公式的推导方法和公式的灵活运用．

公式推导所使用的“错位相减法”是高中数学数列求和方法中最常用的方法之一，它

蕴含了重要的数学思想，所以既是重点也是难点。

二、目标分析

1．知识与技能目标：理解等比数列的前n项和公式的推导方法；掌握等比数列的前n

项和公式并能运用公式解决一些简单问题。

2.过程与方法目标：通过公式的推导过程，培养学生猜想、分析、综合的思维能力，

提高学生的建模意识及探究问题、分析与解决问题的能力，体会公式探求过程中从特殊到一

般的思维方法，渗透方程思想、分类讨论思想及转化思想，优化思维品质。

2

3．情感态度与价值观：通过经历对公式的探索，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝

试、勇于探索、敢于创新，磨练思维品质，从中获得成功的体验，感受思维的奇异美、结构

的对称美、形式的简洁美、数学的严谨美。用数学的观点看问题，一些所谓不可理解的事就

可以给出合理的解释，从而帮助我们用科学的态度认识世界。

三、教学方法与教学手段

本节课属于新授课型，主要利用计算机和实物投影等辅助教学，

采用启发探究，合作学习，自主学习等的教学模式.

四、教学过程分析

学生是认知的主体，也是教学活动的主体，设计教学过程必须遵循学生的认知规律，

引导学生去经历知识的形成与发展过程，结合本节课的特点，我按照自主学习的教学模式来

设计如下的教学过程，目的是在教学过程中促使学生自主学习，培养自主学习的习惯和意识，

形成自主学习的能力。

1．创设情境，提出问题

在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大舍罕为赞赏，对

他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64个方格上，第一格放1粒小麦，

第二格放2粒，第三格放4粒，往后每一格都是前一格的两倍，直至第64格．国王觉得太

容易了，就同意了他的要求。国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊．为什么

呢？大家想一下，这个国王能够满足宰相的要求吗？

【教师提问】

同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？引导学生写出麦粒总数．带着这样的问题，

学生会动手算了起来，他们想到用计算器依次算出各项的值，然后再求和．这时我对他们的

这种思路给予肯定．

2．学生探究，解决情境

在肯定他们的思路后，我接着问：1，2，22，…，263是什么数列？有何特征？

应归结为什么数学问题呢？

探讨1：，记为（1）式，注意观察每一项的特征，有何联

系？（学生会发现，后一项都是前一项的2倍）

探讨2：如果我们把每一项都乘以2，就变成了它的后一项，（1）式两边同乘以2则

有，记为（2）式．比较（1）(2）两式，你有什么发现？

【设计意图】留出时间让学生充分地比较，等比数列前n项和的公式推导关键是变“加”

为“减”，在教师看来这是很显然的事，但在学生看来却是“不可思议”的，因此教学中应

着力在这儿做文章，从而培养学生的辩证思维能力．

解决情境问题：经过比较、研究，学生发现：（1）、（2）两式有许多相同的项，把两

式相减，相同的项就可以消去了，得到：。老师强调指出：这就是错位相减法，并

2363

64

设s=1+2+2+2++2

s236364

64

2=2+2+2++2+2

64

64

21s

3

要求学生纵观全过程，反思：为什么（1）式两边要同乘以2呢？

【设计意图】经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，不禁惊呼：真是太简洁了，

让学生在探索过程中，充分感受到成功的情感体验，从而增强学习数学的兴趣和学好数学的

信心，同时也为推导一般等比数列前n项和提供了方法。

3．类比联想，解决问题

这时我再顺势引导学生将结论一般化，设等比数列为

n

a，公比为q，如何求它的前n

项和？让学生自主完成，然后对个别学生进行指导。

一般等比数列前n项和：

?

1321



nnn

aaaaaS

即

?

1

1

2

1

2

111



nn

n

qaqaqaqaaS

方法1：错位相减法



















nn

n

nn

n

qaqaqaqaqaqS

qaqaqaqaaS

1

1

1

3

1

2

11

1

1

2

1

2

111





q

qa

qaaSq

n

n

n





1

)1(

)1(1

11

这里的q能不能等于1？等比数列中的公比能不能为1？q=1时是什么数列？此时sn=？

























1

1

1

)1(

1

1

qna

q

q

qa

S

n

n

在学生推导完成之后，我再问：由n

n

qaaSq

11

)1(得

q

qaa

S

n

n





1

11

【设计意图】在教师的指导下，让学生从特殊到一般，从已知到未知，步步深入，让学

生自己探究公式，从而体验到学习的愉快和成就感。

4．讨论交流，延伸拓展

探究等比数列前n项和公式，还有其它方法吗？我们知道,

那么我们能否利用这个关系而求出Sn呢？

方法2：提取公比q

1

1

2

1

2

111





nn

n

qaqaqaqaaS

）（

2

1111





n

qaqaaqa

）（

1

11





n

n

qaSqa

n

n

qaaSq

11

)1(

根据等比数列的定义又有234n

123n-1

aaaa

=====q

aaaa

，能否联想到等比定理从而求出sn

呢？

方法3：利用等比定理

2n-1n-2

n11111111

s=a+aq+aq++aq=a+q(a+aq++aq)

4



1

2

a

a



2

3

a

a



3

4

a

a

q

a

a

n

n



1

nn

n

n

n

aS

aS

q

aaa

aaa













1

1

21

32

qaaSq

nn



1

)1(

……

【设计意图】以疑导思，激发学生的探索欲望，营造一个让学生主动观察、思考、讨论的氛

围.以上两种方法都可以化归到

11



nn

qsaS,这其实就是关于

n

S的一个递推式，递推数

列有非常重要的研究价值，是研究性学习和课外拓展的极佳资源，它源于课本，又高于课本，

对学生的思维发展有促进作用.领悟数学应用价值，从特殊到一般,从模仿到创新，有利于学

生的知识迁移和能力提高。

5．巩固提高，深化认识

（1）口答：

在公比为q的等比数列}{

n

a中

若

3

1

,

3

2

1

qa

，则

n

S________，若

11

1

qa，

，则

n

S________

若

1

a=—15，

4

a=96，求q及

4

S，

若

2

1

4,

2

1

1

33

Sa，求

1

a及q.

（2）判断是非：

①

21

)21(1

)2(8421

1









n

n



（）

②

21

)21(1

22221

32







n

n



（）

③若

0c

且

1c

，则



n

cccc

2642



2

22

1

])(1[

c

cc

n





（）

【设计意图】对公式的再认识，剖析公式中的基本量及结构特征，识记公式,并加强计

算能力的训练。

6．例题讲解，形成技能

例1．求和naaaa321

例2．求等比数列,

16

1

,

8

1

,

4

1

,

2

1

的第5项到第10项的和．

方法1：观察、发现：

4101065

SSaaa．

方法2：此等比数列的连续项从第5项到第10项构成一个新的等比数列：首项为

16

5

a，公比为2q，项数为

6n

．

变式1：求



32

1

5,

16

1

4,

8

1

3,

4

1

2

2

1

1，

的前n项和．

变式2：求



32

5

,

16

4

,

8

3

,

4

2

,

2

1

的前n项和．

【设计意图】采用变式教学设计题组，深化学生对公式的认识和理解，通过直接套用公

5

式、变式运用公式、研究公式特点这三个层次的问题解决，促进学生新的数学认知结构的形

成．通过以上形式，让全体学生都参与教学，以此培养学生自主学习的意识．解题时，以学

生分析为主，教师适时给予点拨。

7.总结归纳，加深理解

以问题的形式出现，引导学生回顾公式、推导方法，鼓励学生积极回答，然后老师再

从知识点及数学思想方法两方面总结。

【设计意图】以此培养学生的口头表达能力，归纳概括能力。

8．课后作业，分层练习

必做：练习3（1）习题3.5第1题

选作：

（2）画一个边长为2cm的正方形,再将这个正方形各边的中点相连得到第2个正方形,

依此类推,这样一共画了10个正方形,求这10个正方形的面积的和。

【设计意图】布置弹性作业以使各个层次的学生都有所发展.让学有余力的学生有思考

的空间，便于学生开展自主学习。

五、评价分析

本节课通过三种推导方法的研究，使学生从不同的思维角度掌握了等比数列前n项和

公式．错位相减：变加为减，等价转化；递推思想：纵横联系，揭示本质；等比定理：回归

定义，自然朴实．学生从中深刻地领会到推导过程中所蕴含的数学思想，培养了学生思维的

深刻性、敏锐性、广阔性、批判性．同时通过精讲一题，发散一串的变式教学，使学生既巩

固了知识，又形成了技能，在此基础上，通过民主和谐的课堂氛围，培养了学生自主学习、

合作交流的学习习惯，也培养了学生勇于探索、不断创新的思维品质，形成学习能力。

六、教学设计说明

1．情境设置生活化.

本着新课程的教学理念，考虑到高一学生的心理特点以及初、高中教学的衔接，让学生

学生初步了解“数学来源于生活”，采用故事的形式创设问题情景，意在营造和谐、积极的

学习气氛，激发学生主动探究的欲望。

2．问题探究活动化．

教学中本着以学生发展为本的理念，充分给学生想的时间、说的机会以及展示思维过程

的舞台，通过他们自主学习、合作探究,展示学生解决问题的思想方法，共享学习成果，体

验数学学习成功的喜悦.通过师生之间不断合作和交流，发展学生的数学观察能力和语言表

达能力，培养学生思维的发散性和严谨性。

3．辨析质疑结构化．

在理解公式的基础上,及时进行正反两方面的“短、平、快”填空和判断是非练习.通过

总结、辨析和反思，强化了公式的结构特征，促进学生主动建构，有助于学生形成知识模块，

.23nx+2x+3x++nx思考题(1):求和

6

优化知识体系。

4．巩固提高梯度化．

例题通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力；由教科书中的例题改编而

成，并进行适当的变式,可以提高学生的模式识别的能力，培养学生思维的深刻性和灵活性。

5．思路拓广数学化．

从整理知识提升到强化方法，由课内巩固延伸到课外思考，变“知识本位”为“学生本

位”，使数学学习成为提高学生素质的有效途径。以生活中的实例作为思考，让学生认识到

数学来源于生活并应用于生活，生活中处处有数学．

6．作业布置弹性化．

通过布置弹性作业，为学有余力的学生提供进一步发展的空间，有利于丰富学生的知识，

拓展学生的视野，提高学生的数学素养．