高中文科数学公式

第1页（共10页）

高中文科数学公式及知识点速记

一、函数、导数

1、函数的单调性

(1)设

2121

],,[xxbaxx、那么

],[)(0)()(

21

baxfxfxf在上是增函数；

],[)(0)()(

21

baxfxfxf在上是减函数.

(2)设函数)(xfy在某个区间内可导，若0)(



xf，则)(xf为增函数；若0)(



xf，则)(xf为减

函数.

2、函数的奇偶性

对于定义域内任意的

x

，都有)()(xfxf，则)(xf是偶函数；

对于定义域内任意的

x

，都有)()(xfxf，则)(xf是奇函数。

奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称。

3、函数)(xfy在点

0

x处的导数的几何意义

函数)(xfy在点

0

x处的导数是曲线)(xfy在))(,(

00

xfxP处的切线的斜率)(

0

xf



，相应的切线方

程是

))((

000

xxxfyy



.

*二次函数：（1）顶点坐标为

24

(,)

24

bacb

aa



；（2）焦点的坐标为

241

(,)

24

bacb

aa





4、几种常见函数的导数

①'C0；②1')(nnnxx；③xxcos)(sin'；④xxsin)(cos'；

⑤

aaaxxln)('；⑥xxee')(；⑦

ax

x

aln

1

)(log'；⑧

x

x

1

)(ln'

5、导数的运算法则

（1）'''()uvuv.（2）'''()uvuvuv.（3）

''

'

2

()(0)

uuvuv

v

vv



.

6、会用导数求单调区间、极值、最值

7、求函数yfx的极值的方法是：解方程0fx



．当

0

0fx



时：

(1)如果在

0

x附近的左侧0fx



，右侧0fx



，那么

0

fx是极大值；

(2)如果在

0

x附近的左侧0fx



，右侧0fx



，那么

0

fx是极小值．

指数函数、对数函数

分数指数幂

(1)

m

n

m

naa（0,,amnN，且1n）.

(2)

11m

n

m

n

m

n

a

a

a

（0,,amnN，且1n）.

根式的性质

（1）当

n

为奇数时，n

naa；

当

n

为偶数时，

,0

||

,0

n

n

aa

aa

aa













.

有理指数幂的运算性质

第2页（共10页）

(1)(0,,)rsrsaaaarsQ.

(2)()(0,,)rsrsaaarsQ.

(3)()(0,0,)rrrabababrQ.

注：若a＞0，p是一个无理数，则ap表示一个确定的实数．上述有理指数幂的运算性质，对于无理

数指数幂都适用.

.指数式与对数式的互化式:logb

a

NbaN(0,1,0)aaN.

.对数的换底公式:

log

log

log

m

a

m

N

N

a

(0a,且1a,0m,且1m,0N).

对数恒等式：log

a

NaN(0a,且1a,0N).

推论loglog

m

n

a

a

n

bb

m

(0a,且1a,0N).

常见的函数图象

k<0k>0

y=kx+b

o

y

x

a<0

a>0

y=ax2+bx+c

o

y

x

-1

-2

1

2

y=x+

1

x

o

y

x

0

a>1

1

y=ax

o

y

x

0

a>1

1

y=log

a

x

o

y

x

二、三角函数、三角变换、解三角形、平面向量

8、同角三角函数的基本关系式

22sincos1，tan=





cos

sin

.

9、正弦、余弦的诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

k的正弦、余弦，等于的同名函数，前面加上把看成锐角时该函数的符号；







2

k的正弦、余弦，等于的余名函数，前面加上把看成锐角时该函数的符号。

1sin2sink，cos2cosk，tan2tankk．

2sinsin，coscos，tantan．

3sinsin，coscos，tantan．

4sinsin，coscos，tantan．

口诀：函数名称不变，符号看象限．

5sincos

2













，cossin

2













．6sincos

2













，cossin

2













．

口诀：正弦与余弦互换，符号看象限．

10、和角与差角公式

sin()sincoscossin;

第3页（共10页）

cos()coscossinsin;

tantan

tan()

1tantan









.

11、二倍角公式

sin2sincos.

2222cos2cossin2cos112sin.

2

2tan

tan2

1tan











.

公式变形：

;

2

2cos1

sin,2cos1sin2

;

2

2cos1

cos,2cos1cos2

22

22

















12、函数sin()yx的图象变换

①的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数sinyx的图象；再将函数sinyx

的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1



倍（纵坐标不变），得到函数sinyx的图象；

再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数

sinyx的图象．

②数sinyx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的

1



倍（纵坐标不变），得到函数

sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点向左（右）平移





个单位长度，得到函数

sinyx的图象；再将函数sinyx的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍

（横坐标不变），得到函数sinyx的图象．

13.正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

sinyx

cosyx

tanyx

图象

定义域RR,

2

xxkk













值域1,11,1

R

函

数

性

质

第4页（共10页）

最值

当2

2

xk



k

时，

max

1y；当

2

2

xk





k时，

min

1y．

当2xkk时，

max

1y；当2xk

k时，

min

1y．

既无最大值也无最小值

周期性22



奇偶性奇函数偶函数奇函数

单调性

在2,2

22

kk













k上是增函数；在

3

2,2

22

kk













k上是减函数．

在2,2kkk上是增

函数；在2,2kk

k上是减函数．

在,

22

kk













k上是增函数．

对称性

对称中心,0kk

对称轴

2

xkk





对称中心,0

2

kk













对称轴xkk

对称中心,0

2

k

k











无对称轴

14、辅助角公式

)sin(cossin22xbaxbxay其中

a

b

tan

15.正弦定理：2

sinsinsin

abc

R

ABC

（R为ABC外接圆的半径）.

2sin,2sin,2sinaRAbRBcRC::sin:sin:sinabcABC

16.余弦定理

2222cosabcbcA;2222cosbcacaB;2222coscababC.

17.面积定理

（1）

111

222abc

Sahbhch（

abc

hhh、、分别表示a、b、c边上的高）.

（2）

111

sinsinsin

222

SabCbcAcaB.

18、三角形内角和定理

在△ABC中，有()ABCCAB

222

CAB

222()CAB.

19、

a

与

b

的数量积(或内积)

第5页（共10页）

cos||||baba

20、平面向量的坐标运算

(1)设A

11

(,)xy，B

22

(,)xy,则

2121

(,)ABOBOAxxyy.

(2)设a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy，则ba=

2121

yyxx.

(3)设a=),(yx，则22yxa

21、两向量的夹角公式

设

a

=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy，且0b，则

1212

2222

1122

cos

||||

xxyy

ab

ab

xyxy













(a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy).

22、向量的平行与垂直

设a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy，且b0

ba//ab

1221

0xyxy.

)0(aba0ba

1212

0xxyy.

*平面向量的坐标运算

(1)设a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy，则a+b=

1212

(,)xxyy.

(2)设a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy，则a-b=

1212

(,)xxyy.

(3)设A

11

(,)xy，B

22

(,)xy,则

2121

(,)ABOBOAxxyy.

(4)设a=(,),xyR，则a=(,)xy.

(5)设a=

11

(,)xy,b=

22

(,)xy，则a·b=

1212

xxyy.

三、数列

23、数列的通项公式与前n项的和的关系

1

1

,1

,2n

nn

sn

a

ssn















(数列{}

n

a的前n项的和为

12nn

saaa).

24、等差数列的通项公式

*

11

(1)()

n

aanddnadnN

；

25、等差数列其前n项和公式为

1

()

2

n

n

naa

s





1

(1)

2

nn

nad



2

1

1

()

22

d

nadn.

26、等比数列的通项公式

1*

1

1

()nn

n

a

aaqqnN

q

；

27、等比数列前n项的和公式为

1

1

(1)

,1

1

,1

n

n

aq

q

s

q

naq





















或

1

1

,1

1

,1

n

n

aaq

q

q

s

naq





















.

四、不等式

第6页（共10页）

28、xy

yx





2

。必须满足一正（yx,都是正数）、二定（xy是定值或者yx是定值）、三相等（yx

时等号成立）才可以使用该不等式）

（1）若积xy是定值p，则当yx时和yx有最小值p2；

（2）若和yx是定值

s

，则当yx时积xy有最大值2

4

1

s.

五、解析几何

29、直线的五种方程

（1）点斜式

11

()yykxx(直线l过点

111

(,)Pxy，且斜率为k)．

（2）斜截式ykxb(b为直线l在y轴上的截距).

（3）两点式11

2121

yyxx

yyxx







(

12

yy)(

111

(,)Pxy、

222

(,)Pxy(

12

xx)).

(4)截距式1

xy

ab

(ab、分别为直线的横、纵截距，0ab、)

（5）一般式0AxByC(其中A、B不同时为0).

30、两条直线的平行和垂直

若

111

:lykxb，

222

:lykxb

①

121212

||,llkkbb;

②

1212

1llkk.

31、平面两点间的距离公式

,AB

d22

2121

()()xxyy(A

11

(,)xy，B

22

(,)xy).

32、点到直线的距离

00

22

||AxByC

d

AB







(点

00

(,)Pxy,直线l：0AxByC).

33、圆的三种方程

（1）圆的标准方程222()()xaybr.

（2）圆的一般方程220xyDxEyF(224DEF＞0).

（3）圆的参数方程

cos

sin

xar

ybr















.

*点与圆的位置关系：点

00

(,)Pxy与圆222)()(rbyax的位置关系有三种

若22

00

()()daxby，则dr点P在圆外;dr点P在圆上;dr点P在圆内.

34、直线与圆的位置关系

直线0CByAx与圆222)()(rbyax的位置关系有三种:

0相离rd;

0相切rd;

0相交rd.弦长=222dr

其中

22BA

CBbAa

d





.

35、椭圆、双曲线、抛物线的图形、定义、标准方程、几何性质

椭圆：

22

22

1(0)

xy

ab

ab

，222bca，离心率

2

2

1

cb

e

aa

<1，参数方程是

cos

sin

xa

yb















.

第7页（共10页）

双曲线：1

2

2

2

2



b

y

a

x

(a>0,b>0)，222bac，离心率1

a

c

e，渐近线方程是x

a

b

y.

抛物线：pxy22，焦点)0,

2

(

p

,准线

2

p

x。抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离.

36、双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1）若双曲线方程为1

2

2

2

2



b

y

a

x

渐近线方程：

22

22

0

xy

ab



x

a

b

y.

(2)若渐近线方程为x

a

b

y

0

b

y

a

x

双曲线可设为

2

2

2

2

b

y

a

x

.

(3)若双曲线与1

2

2

2

2



b

y

a

x

有公共渐近线，可设为

2

2

2

2

b

y

a

x

（0，焦点在x轴上，0，

焦点在y轴上）.

37、抛物线pxy22的焦半径公式

抛物线22(0)ypxp焦半径

2

||

0

p

xPF.（抛物线上的点到焦点距离等于它到准线的距离。）

38、过抛物线焦点的弦长pxx

p

x

p

xAB

212122

.

六、立体几何

39.证明直线与直线的平行的思考途径

（1）转化为判定共面二直线无交点；

（2）转化为二直线同与第三条直线平行；

（3）转化为线面平行；

（4）转化为线面垂直；

（5）转化为面面平行.

40．证明直线与平面的平行的思考途径

（1）转化为直线与平面无公共点；

（2）转化为线线平行；

（3）转化为面面平行.

41.证明平面与平面平行的思考途径

（1）转化为判定二平面无公共点；

（2）转化为线面平行；

（3）转化为线面垂直.

42．证明直线与直线的垂直的思考途径

（1）转化为相交垂直；

（2）转化为线面垂直；

（3）转化为线与另一线的射影垂直；

（4）转化为线与形成射影的斜线垂直.

43．证明直线与平面垂直的思考途径

（1）转化为该直线与平面内任一直线垂直；

（2）转化为该直线与平面内相交二直线垂直；

（3）转化为该直线与平面的一条垂线平行；

（4）转化为该直线垂直于另一个平行平面。

44．证明平面与平面的垂直的思考途径

（1）转化为判断二面角是直二面角；

（2）转化为线面垂直；

45、柱体、椎体、球体的侧面积、表面积、体积计算公式

圆柱侧面积=rl2，表面积=

222rrl

圆椎侧面积=rl，表面积=

2rrl

1

3

VSh

柱体

（S是柱体的底面积、h是柱体的高）.

1

3

VSh

锥体

（S是锥体的底面积、h是锥体的高）.

球的半径是R，则其体积3

4

3

VR,其表面积24SR．

46、若点A

111

(,,)xyz，点B

222

(,,)xyz，则

,AB

d=||ABABAB222

212121

()()()xxyyzz

47、点到平面距离的计算（定义法、等体积法）

第8页（共10页）

48、直棱柱、正棱柱、长方体、正方体的性质：侧棱平行且相等，与底面垂直。

正棱锥的性质：侧棱相等，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心。

七、概率统计

49、平均数、方差、标准差的计算

平均数:

n

xxx

xn



21方差:])()()[(

1

22

2

2

1

2xxxxxx

n

s

n



标准差:

])()()[(

1

22

2

2

1

xxxxxx

n

s

n



50、回归直线方程（了解即可）

yabx，其中





11

2

22

11

nn

iiii

ii

nn

ii

ii

xxyyxynxy

b

xxxnx

aybx





























.经过（x，y）点。

51、独立性检验

))()()((

)(2

2

dbcadcba

bdacn

K





（了解即可）

52、古典概型的计算（必须要用列举法

．．．

、列表

．．

法

．

、树状

．．

图

．

的方法把所有基本事件表示出来，不重复、不遗

漏）

八、复数

53、复数的除法运算

22

)()(

))((

))((

dc

iadbcbdac

dicdic

dicbia

dic

bia

















.

54、复数zabi的模||z=||abi=22ab.

55、复数的相等：,abicdiacbd.（,,,abcdR）

56、复数zabi的模（或绝对值）||z=||abi=22ab.

57、复数的四则运算法则

(1)()()()()abicdiacbdi;

(2)()()()()abicdiacbdi;

(3)()()()()abicdiacbdbcadi;

(4)

2222

()()(0)

acbdbcad

abicdiicdi

cdcd







.

58、复数的乘法的运算律

对于任何

123

,,zzzC，有

交换律:

1221

zzzz.

结合律:

123123

()()zzzzzz.

分配律:

1231213

()zzzzzzz.

九、参数方程、极坐标化成直角坐标

55、











y

x





sin

cos















)0(tan

222

x

x

y

yx





十、命题、充要条件

第9页（共10页）

原命题

若p则q

否命题

若┐p则┐q

逆命题

若q则p

逆否命题

若┐q则┐p

互

为

逆

否

互

逆

否

互

为

逆

否

互

互

逆

否

互

充要条件（记p表示条件，q表示结论）

（1）充分条件：若pq，则p是q充分条件.

（2）必要条件：若qp，则p是q必要条件.

（3）充要条件：若pq，且qp，则p是q充要条件.

注：如果甲是乙的充分条件，则乙是甲的必要条件；反之亦然.

56.真值表

十一、直线与平面的位置关系

空间点、直线、平面之间的位置关系

三个公理：

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内

（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

空间中直线与直线之间的位置关系

1空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点；

平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点。

2公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。

3等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

4注意点：

①a'与b'所成的角的大小只由a、b的相互位置来确定，与O的选择无关，为简便，点O一般取在两直

线中的一条上；

②两条异面直线所成的角θ∈；

③当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a⊥b；

④两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。

空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系

1、直线与平面有三种位置关系：

（1）直线在平面内——有无数个公共点

（2）直线与平面相交——有且只有一个公共点

（3）直线在平面平行——没有公共点

ｐｑ非ｐｐ或ｑｐ且ｑ

真真假真真

真假假真假

假真真真假

假假真假假

共面直线

(0,)

2



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直线、平面平行的判定及其性质

直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

2、判断两平面平行的方法有三种：

（1）用定义；

（2）判定定理；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

直线与平面、平面与平面平行的性质

1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

直线、平面垂直的判定及其性质

直线与平面垂直的判定

1、定义：如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，

直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂

足。

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A

梭lβ

B

α

2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β

3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

直线与平面、平面与平面垂直的性质

1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。