高一数学知识点总结

高一数学重要知识点总结

函数的解析式与定义域

函数及其定义域是不可分割的整体，没有定义域的函数是不存在的，因此，

要正确地写出函数的解析式，必须是在求出变量间的对应法则的同时，求出函数

的定义域.求函数的定义域一般有三种类型：

(1)有时一个函数来自于一个实际问题，这时自变量x有实际意义，求定义域

要结合实际意义考虑。

(2)已知一个函数的解析式求其定义域，只要使解析式有意义即可。

2、函数的值域与最值

函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用何种方法求函数值域都应先

考虑其定义域，求函数值域常用方法如下：

(1)直接法：亦称观察法，对于结构较为简单的函数，可由函数的解析式应

用不等式的性质，直接观察得出函数的值域。

(2)换元法：运用代数式或三角换元将所给的复杂函数转化成另一种简单函

数再求值域，若函数解析式中含有根式，当根式里一次式时用代数换元，当根式

里是二次式时，用三角换元。

3、函数的奇偶性

函数的奇偶性的定义：对于函数f(x)，如果对于函数定义域内的任意一个x，

都有f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x))，那么函数f(x)就叫做奇函数(或偶函数)。

正确理解奇函数和偶函数的定义，要注意两点：(1)定义域在数轴上关于原

点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要不充分条件;(2)f(x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是

定义域上的恒等式.(奇偶性是函数定义域上的整体性质)。

一、知识点总结

1．集合的有关概念。

1）集合(集)：某些指定的对象集在一起就成为一个集合（集）．其中每一个对

象叫元素

注意：①集合与集合的元素是两个不同的概念，教科书中是通过描述给出的，这

与平面几何中的点与直线的概念类似。

②集合中的元素具有确定性、互异性和无序性（{a,b}与{b,a}表示同一个集合）。

③集合具有两方面的意义，即：凡是符合条件的对象都是它的元素；只要是它的

元素就必须符号条件

2）集合的表示方法：常用的有列举法、描述法和图文法

3）集合的分类：有限集，无限集，空集。

4）常用数集：N，Z，Q，R，N*

2．子集、交集、并集、补集、空集、全集等概念。

1）子集：若对x∈A都有x∈B，则AB（或AB）；

2）真子集：AB且存在x0∈B但x0A；记为AB（或，且）

3）交集：A∩B={x|x∈A且x∈B}

4）并集：A∪B={x|x∈A或x∈B}

5）补集：CUA={x|xA但x∈U}

3．弄清集合与元素、集合与集合的关系，掌握有关的术语和符号。

4．有关子集的几个等价关系

①A∩B=AAB；②A∪B=BAB；③ABCuACuB；

④A∩CuB=空集CuAB；⑤CuA∪B=IAB。

5．交、并集运算的性质

①A∩A=A，A∩B=B∩A；②A∪A=A，A∪B=B∪A；

③Cu(A∪B)=CuA∩CuB，Cu(A∩B)=CuA∪CuB；

6．有限子集的个数：设集合A的元素个数是n，则A有2n个子集，2n－1个非

空子集，2n－2个非空真子集。

二、集合知识点整合

集合具有某种特定性质的事物的总体。这里的“事物”可以是人，物品，也可以

是数学元素。例如:1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集:紧急~。2、数学名词。

一组具有某种共同性质的数学元素:有理数的~。3、口号等等。集合在数学概念

中有好多概念，如集合论:集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫

做集合论。康托(Cantor，G.F.P.，1845年—1918年，德国数学家先驱，是集合论

的创始者，目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领域。

集合，在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念?基础概念是不能用其他概念

加以定义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的方法来下“定义”。

集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之

成为一个整体(或称为单体)，这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称为这

一集合的元素(或简称为元)。

元素与集合的关系

元素与集合的关系有“属于”与“不属于”两种。

三、集合与集合之间的关系

某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元素叫有限集，

含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做Φ。空集是任何集合

的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具

有传递性。『说明一下:如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则A称

作是B的子集，写作A?B。若A是B的子集，且A不等于B，则A称作是B的真

子集，一般写作A?B。中学教材课本里将?符号下加了一个≠符号(如右图)，不要

混淆，考试时还是要以课本为准。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』

集合的几种运算法则

并集:以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B的并(集)，记作A∪B(或

B∪A)，读作“A并B”(或“B并A”)，即A∪B={x|x∈A，或x∈B}交集:以属于A

且属于B的元差集表示

素为元素的集合称为A与B的交(集)，记作A∩B(或B∩A)，读作“A交B”(或“B

交A”)，即A∩B={x|x∈A，且x∈B}例如，全集U={1，2，3，4，5}A={1，3，5}B={1，

2，5}。那么因为A和B中都有1，5，所以A∩B={1，5}。再来看看，他们两个

中含有1，2，3，5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么说

A∪B={1，2，3，5}。图中的阴影部分就是A∩B。有趣的是;例如在1到105中不

是3，5，7的整倍数的数有多少个。结果是3，5，7每项减集合

1再相乘。48个。对称差集:设A，B为集合，A与B的对称差集A?B定义为:A?B=(A-B)

∪(B-A)例如:A={a，b，c}，B={b，d}，则A?B={a，c，d}对称差运算的另一种定义

是:A?B=(A∪B)-(A∩B)无限集:定义:集合里含有无限个元素的集合叫做无限集有

限集:令N*是正整数的全体，且N_n={1，2，3，……，n}，如果存在一个正整数

n，使得集合A与N_n一一对应，那么A叫做有限集合。差:以属于A而不属于B

的元素为元素的集合称为A与B的差(集)。记作:AB={x│x∈A，x不属于B}。注:

空集包含于任何集合，但不能说“空集属于任何集合”.补集:是从差集中引出的

概念，指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作

CuA，即CuA={x|x∈U，且x不属于A}空集也被认为是有限集合。例如，全集U={1，

2，3，4，5}而A={1，2，5}那么全集有而A中没有的3，4就是CuA，是A的补

集。CuA={3，4}。在信息技术当中，常常把CuA写成~A。

四、集合元素的性质

1.确定性:每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集

合，例如“个子高的同学”“很小的数”都不能构成集合。这个性质主要用于判

断一个集合是否能形成集合。2.独立性:集合中的元素的个数、集合本身的个数必

须为自然数。3.互异性:集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成{1，1，2}，

等同于{1，2}。互异性使集合中的元素是没有重复，两个相同的对象在同一个集

合中时，只能算作这个集合的一个元素。4.无序性:{a，b，c}{c，b，a}是同一个

集合。5.纯粹性:所谓集合的纯粹性，用个例子来表示。集合A={x|x

集合有以下性质

若A包含于B，则A∩B=A，A∪B=B

集合的表示方法

集合常用大写拉丁字母来表示，如:A，B，C…而对于集合中的元素则用小写的拉

丁字母来表示，如:a，b，c…拉丁字母只是相当于集合的名字，没有任何实际的

意义。将拉丁字母赋给集合的方法是用一个等式来表示的，例如:A={…}的形式。

等号左边是大写的拉丁字母，右边花括号括起来的，括号内部是具有某种共同性

质的数学元素。

常用的有列举法和描述法。1.列举法﹕常用于表示有限集合，把集合中的所有元

素一一列举出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做列举法。{1，2，

3，……}2.描述法﹕常用于表示无限集合，把集合中元素的公共属性用文字﹐符

号或式子等描述出来﹐写在大括号内﹐这种表示集合的方法叫做描述法。{x|P}(x

为该集合的元素的一般形式，P为这个集合的元素的共同属性)如:小于π的正实

数组成的集合表示为:{x|0

4.自然语言常用数集的符号:(1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然

数集)，记作N;不包括0的自然数集合，记作N*(2)非负整数集内排除0的集，也

称正整数集，记作Z+;负整数集内也排除0的集，称负整数集，记作Z-(3)全体整

数的集合通常称作整数集，记作Z(4)全体有理数的集合通常简称有理数集，记作

Q。Q={p/q|p∈Z，q∈N，且p，q互质}(正负有理数集合分别记作Q+Q-)(5)全体

实数的集合通常简称实数集，记作R(正实数集合记作R+;负实数记作R-)(6)复数

集合计作C集合的运算:集合交换律A∩B=B∩AA∪B=B∪A集合结合律(A∩B)∩

C=A∩(B∩C)(A∪B)∪C=A∪(B∪C)集合分配律A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C)A∪(B∩

C)=(A∪B)∩(A∪C)集合德.摩根律集合

Cu(A∩B)=CuA∪CuBCu(A∪B)=CuA∩CuB集合“容斥原理”在研究集合时，会遇

到有关集合中的元素个数问题，我们把有限集合A的元素个数记为card(A)。例

如A={a，b，c}，则card(A)=3card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B)card(A∪B∪

C)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(B∩C)-card(C∩A)+card(A∩B∩C)1885

年德国数学家，集合论创始人康托尔谈到集合一词，列举法和描述法是表示集合

的常用方式。集合吸收律A∪(A∩B)=AA∩(A∪B)=A集合求补律A∪CuA=UA∩

CuA=Φ设A为集合，把A的全部子集构成的集合叫做A的幂集德摩根律

A-(BUC)=(A-B)∩(A-C)A-(B∩C)=(A-B)U(A-C)~(BUC)=~B∩~C~(B∩C)=~BU~C~Φ=E~E=

Φ特殊集合的表示复数集C实数集R正实数集R+负实数集R-整数集Z正整数集

Z+负整数集Z-有理数集Q正有理数集Q+负有理数集Q-不含0的有理数集Q*