2012年上海高考数学

1

2016年上海高考数学〔理科〕真题

一、解答题〔本大题共有14题，总分值56分〕

1.设

xR

，则不等式

31x

的解集为________________

【答案】

(2,4)

【解析】

131x

，即

24x

，故解集为

(2,4)

2.设

32i

i

z





，其中i为虚数单位，则Imz_________________

【答案】

3

【解析】

i(32i)23iz

，故

Im3z

3.

1

l

:

210xy

,

2

l

:

210xy

,则

12

,ll

的距离为__________________

【答案】

25

5

【解析】

22

11

25

5

21

d







4.某次体检，

6

位同学的身高〔单位:米〕分别为

1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77

，则这组数据的中位数是___

〔米〕

【答案】

1.76

5.已知点

(3,9)

在函数

()1xfxa

的图像上，则

()fx

的反函数1()fx

____________

【答案】

2

log(1)x

【解析】319a

，故

2a

，

()12xfx

∴

2

log(1)xy

∴1

2

()log(1)fxx

6.如图，在正四棱柱

1111

ABCDABCD

中，底面

ABCD

的边长为

3

，

1

BD

与底面所成角的大小为

2

arctan

3

，

则该正四棱柱的高等于____________________

【答案】

22

【解析】

32BD

,

1

2

22

3

DDBD

7.方程

3sin1cos2xx

在区间

[0,2π]

上的解为________________

2

【答案】

π5π

,

66

x

【解析】23sin22sinxx

，即22sin3sin20xx

∴

(2sin1)(sin2)0xx

∴

1

sin

2

x

∴

π5π

,

66

x

8.在3

2n

x

x









的二项式中，所有项的二项式系数之和为

256

，则常数项等于_______________

【答案】112

【解析】

2256n

，

8n

通项

884

33

88

2

()(2)

rr

rrrrCxCx

x





取2r

常数项为22

8

(2)112C

9.已知

ABC

的三边长为

3,5,7

，则该三角形的外接圆半径等于________________

【答案】

73

3

【解析】

3,5,7abc

，

2221

cos

22

abc

C

ab





∴

3

sin

2

C

∴

73

2sin3

c

R

C



10.设

0,0ab

，假设关于

,xy

的方程组

1

1

axy

xby











无解，则

ab

的取值范围是_____________

【答案】

(2,)

【解析】由已知，

1ab

，且

ab

，∴

22abab

11.无穷数列



n

a

由

k

个不同的数组成，

n

S

为



n

a

的前

n

项和，假设对任意*nN

，

{2,3}

n

S

，则

k

的最

大

值为___________

【答案】4

12.在平面直角坐标系中，已知

(1,0)A

,

(0,1)B

,P是曲线21yx

上一个动点，则

BPBA

的取值范围

是____________

【答案】[0,12]

【解析】设

(cos,sin)P

,

[0,π]

，(1,1)BA,(cos,sin1)BP

3

π

cos[0,12]sin12sin()1

4

BPBA

13.设

,,abR

,

[0,2π)c

，假设对任意实数

x

都有

π

2sin(3)sin()

3

xabxc

，则满足条件的有序实数组

(,,)abc

的组数为______________

【答案】4

【解析】(i)假设

2a

假设

3b

，则

5π

3

c

；假设

3b

，则

4π

3

c

(ii)假设

2a

，假设

3b

，则

π

3

c

；假设

3b

，则

2π

3

c

共4组

14.如图，在平面直角坐标系

xOy

中，

O

为正八边形

128

AAA

的中心，

1

(1,0)A

，任取不同的两点

,

ij

AA

，

点P满足

0

ij

OPOAOA

，则点P落在第一象限的概率是_______________

【答案】

5

28

【解析】

2

8

55

28C



二、选择题〔本大题共有4题，总分值20分〕

15.设

aR

，则“

1a

”是“21a

”的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件

【答案】A

16.以下极坐标方程中，对应的曲线为右图的是()

A.

65cos

B.

65sin

C.

65cos

D.

65sin

【答案】D

【解析】

π

2



时，



到达最大

4

17.已知无穷等比数列



n

a

的公比为

q

，前

n

项和为

n

S

，且

lim

n

n

SS





，以下条件中，使得*2()

n

SSnN

恒

成立的是()

A.

1

0a

,

0.60.7q

B.

1

0a

,

0.70.6q

C.

1

0a

,

0.70.8q

D.

1

0a

,

0.80.7q

【答案】B

【解析】1

(1)

1

n

n

aq

S

q







,1

1

a

S

q





,

11q

2

n

SS

，即

1

(21)0naq

假设

1

0a

，则

1

2

nq

，不可能成立

假设

1

0a

，则

1

2

nq

，B成立

18.设

(),(),()fxgxhx

是定义域为R的三个函数，对于命题:①假设

()()fxgx

，

()()fxhx

，

()()gxhx

均

为增函数，则

(),(),()fxgxhx

中至少有一个为增函数；②假设

()()fxgx

，

()()fxhx

，

()()gxhx

均

是以T为周期的函数，则

(),(),()fxgxhx

均是以T为周期的函数，以下判断正确的选项是()

A.①和②均为真命题B.①和②均为假命题

C.①为真命题，②为假命题D.①为假命题，②为真命题

【答案】D

【解析】①不成立，可举反例

2,1

)

1

(

3,

xx

fx

xx













,

0

3,0

23,

21

()1

,

x

xx

xx

x

gx





















,

0

(

0

)

2,

,x

h

x

xx

x















②

()()()()fxgxfxTgxT

()()()()fxhxfxThxT

()()()()gxhxgxThxT

前两式作差，可得

()()()()gxhxgxThxT

结合第三式，可得

()()gxgxT

,

()()hxhxT

也有

()()fxfxT

∴②正确

故选D

三、解答题〔本大题共有5题，总分值74分〕解答以下各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要

的步骤．

19.〔此题总分值12分〕将边长为1的正方形

11

AAOO

〔及其内部〕绕

1

OO

旋转一周形成圆柱，如图，

AC

长

为

2

3



，

11

AB长为

3



，其中

1

B

与

C

在平面

11

AAOO

的同侧

(1)求三棱锥

111

COAB

的体积

(2)求异面直线

1

BC

与

1

AA

所成角的大小

【解析】(1)连

11

OB

，则

111113

AOABB





∴

111

OAB

为正三角形

∴

111

3

4OAB

S

5

∴

111111

1

13

312COABOAB

VOOS





(2)设点

1

B

在下底面圆周的射影为B，连

1

BB

，则

11

BBAA∥

∴

1

BBC

为直线

1

BC

与

1

AA

所成角〔或补角〕

11

1BBAA

连

,,BCBOOC

113

ABAB





,

2

3

AC





∴

3

BC





∴

3

BOC





∴

BOC

为正三角形

∴

1BCBO

∴

1

1

tan1

BC

BBC

BB



∴

1

45BBC

∴直线

1

BC

与

1

AA

所成角大小为

45

20．〔此题总分值14分〕

有一块正方形菜地

EFGH

,EH所在直线是一条小河，收货的蔬菜可送到F点或河边运走。于是，菜

地分为两个区域

1

S

和

2

S

，其中

1

S

中的蔬菜运到河边较近，

2

S

中的蔬菜运到F点较近，而菜地内

1

S

和

2

S

的分界线

C

上的点到河边与到F点的距离相等，现建立平面直角坐标系，其中原点

O

为EF的中点，

点F的坐标为

(1,0)

，如图

(1)求菜地内的分界线

C

的方程

(2)菜农从蔬菜运量估计出

1

S

面积是

2

S

面积的两倍，由此得到

1

S

面积的“经验值”为

8

3

。设M是

C

上

纵坐标为1的点，请计算以EH为一边，另一边过点M的矩形的面积，及五边形

EOMGH

的面积，并

判断哪一个更接近于

1

S

面积的经验值

【解析】(1)设分界线上任一点为

(,)xy

，依题意

221(1)xxy

可得2(01)yxx

(2)设

00

(,)Mxy

，则

0

1y

∴

2

0

0

1

44

y

x

∴设所表述的矩形面积为

3

S

，则

3

15

(1)

4

2

2

S

设五边形

EMOGH

面积为

4

S

，则

43

51

2

11311

11

44224OMPMGQ

SSSS

13

851

326

SS

,

41

11811

43126

SS

∴五边形

EOMGH

的面积更接近

1

S

的面积

21．〔此题总分值14分〕此题共2个小题，第1小题总分值6分，第2小题总分值8分

6

双曲线

2

2

2

1(0)

y

xb

b



的左、右焦点分别为

1

F

、

2

F

，直线

l

过

2

F

且与双曲线交于

,AB

两点

(1)假设

l

的倾斜角为

2



，

1

FAB

是等边三角形，求双曲线的渐近线方程

(2)设

3b

，假设

l

的斜率存在，且

11

()0FAFBAB，求

l

的斜率

【解析】(1)由已知2

1

(1,0)Fb

,2

2

(1,0)Fb

取21xb

，得2yb

122

3FFFA

∵2

12

21FFb

,2

2

FAb

∴22213bb

即4222344(32)(2)0bbbb

∴

2b

∴渐近线方程为2yx

(2)假设

3b

，则双曲线为

2

21

3

y

x

∴

1

(2,0)F

,

2

(2,0)F

设

11

(,)Axy

,

22

(,)Bxy

，则

111

(2,)FAxy,

122

(2,)FBxy,

2121

(,)ABxxyy

∴

111212

(4,)FAFBxxyy

2222

11212121

()4()0FAFBABxxxxyy(*)

∵

22

22

12

12

1

33

yy

xx

∴2222

2121

3()yyxx

∴代入(*)式，可得22

2121

4()4()0xxxx

直线

l

的斜率存在，故

21

xx

∴

12

1xx

设直线

l

为

(2)ykx

，代入2233xy

得2222(3)4(43)0kxkxk

∴230k

，且4222164(3)(43)36(1)0kkkk

2

12

2

4

1

3

k

xx

k





∴2

3

5

k

∴

15

5

k

∴直线

l

的斜率为

15

5



22．〔此题总分值16分〕此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分

值6分

已知

aR

，函数

2

1

()log()fxa

x



(1)当

5a

时，解不等式

()0fx

7

(2)假设关于

x

的方程

2

()log[(4)25]0fxaxa

的解集中恰有一个元素，求

a

的取值范围

(3)设

0a

，假设对任意

1

[,1]

2

t

，函数

()fx

在区间

[,1]tt

上的最大值和最小值的差不超过1，求

a

的取值范围

【解析】(1)

2

1

log(5)0

x



1

51

x



41

0(41)0

x

xx

x





∴不等式的解为

{|0xx

或

1

}

4

x

(2)依题意，

22

1

log()log[(4)25]aaxa

x



∴

1

(4)250aaxa

x



①

可得2(4)(5)10axax

即

(1)[(4)1]0xax

②

当

4a

时，方程②的解为

1x

，代入①式，成立

当

3a

时，方程②的解为

1x

，代入①式，成立

当

3a

且

4a

时，方程②的解为

1

1,

4

x

a





假设

1x

为方程①的解，则

1

10aa

x



，即

1a

假设

1

4

x

a





为方程①的解，则

1

240aa

x



，即

2a

要使得方程①有且仅有一个解，则

12a

综上，假设原方程的解集有且只有一个元素，则

a

的取值范围为

12a

或

3a

或

4a

(3)

()fx

在

[,1]tt

上单调递减

依题意，

()(1)1ftft

即

22

11

log()log()1

1

aa

tt





∴

11

2()

1

aa

tt





，即

121

1(1)

t

a

tttt







设

1tr

，则

1

[0,]

2

r

2

1

(1)(1)(2)32

trr

ttrrrr







当

0r

时，

2

0

32

r

rr





当

1

0

2

r

时，2

1

2

32

3

r

rr

r

r







∵函数

2

yx

x



在(0,2)递减

∴

219

4

22

r

r



∴

112

29

3

33

2

r

r





∴

a

的取值范围为

2

3

a

8

23．〔此题总分值18分〕此题共有3个小题，第1小题总分值4分，第2小题总分值6分，第3小题总分

值8分

假设无穷数列

n

a满足：只要*(),

pq

aapqN，必有

11pq

aa



，则称

n

a具有性质P.

(1)假设



n

a

具有性质P.且

1

1a

,

2

2a

,

4

3a

,

5

2a

,

678

21aaa

，求

3

a

；

(2)假设无穷数列



n

b

是等差数列，无穷数列



n

c

是公比为正数的等比数列，

15

1bc

，

51

81bc

，

nnn

abc

，判断

n

a

是否具有性质P，并说明理由；

(3)设



n

b

是无穷数列，已知

1

sin

nnn

aba



*()nN

，求证：“对任意

1

a

，

n

a

都具有性质P”的充要条

件为“



n

b

是常数列”.

【解析】(1)

25

2aa

∴

36

aa

∴

47

3aa

∴

58

2aa

∴

678

2116aaa

∴

3

16a

(2)设



n

b

的公差为

d

，



n

c

的公差为

q

，则

0q

51

480bbd

∴

20d

∴

2019

n

bn

4

5

1

1

81

c

q

c



∴

1

3

q

∴5

1

()

3

n

n

c

∴5

1

2019()

3

n

nnn

abcn

∵

1

82a

,

5

82a

而

2

212748a

,

6

1304

101

33

a

15

aa

但

62

aa

故



n

a

不具有性质P

(3)充分性：假设



n

b

为常数列，设

n

bC

则

1

sin

nn

aCa





假设存在

,pq

使得

pq

aa

，

则

11

sinsin

ppqq

aCaCaa





,

故



n

a

具有性质P

必要性：假设对任意

1

a

，



n

a

具有性质P

则

211

sinaba

设函数

1

()fxxb

,

()singxx

由

(),()fxgx

图像可得，对任意的

1

b

，二者图像必有一个交点

∴一定能找到一个

1

a

，使得

111

sinaba

∴

2111

sinabaa

∴

1nn

aa





9

故

1211

sinsin

nnnnnn

baaaab





∴



n

b

是常数列