正比例和反比例的意义

1

正比例和反比例的意义

知识点一：正比例和反比例的意义

〔1〕正比例

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个

数的比值〔也就是商〕一定，这两种量变叫做成正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。

用字母x和

y

表示两种相关联的量，用

k

表示一定的量，那么正比例关系可以写成：

一定k

x

y



例如，总价随着数量的变化而变化，总价和数量的比的比值〔单价〕是一定的，我们就说，

总价和数量是成正比例的量。

工总

工时

＝工效〔一定〕工总和工时是成正比例的量

路程

时间

＝速度〔一定〕所以路程与时间成正比例。

〔2〕反比例

两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个

数的积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。

用字母x和

y

表示两种相关联的量，用

k

表示一定的量，那么反比例关系可以写成：

x×

y

=

k

〔一定〕

例如，长×宽＝面积〔一定〕长和宽是成反比例的量

每本的页数×装订的本数＝纸的总页数〔一定〕每本的页数和装订的本数是成反比例

的量

知识点二：正比例和反比例有什么相同点和不同点？

〔1〕相同点：正、反比例都是研究两种相关联的量之间的关系，即一种量变化，另一种量

也随着变化。

〔2〕不同点：正比例是两种相关联的量中相对应的两个数的比值〔商〕一定；反比例是两

种相关联的量中相对应的两个数的积一定。

正比例反比例

相同点

2

不

同

点

知识点三：正比例和反比例的图像是一条什么线？

〔1〕正比例关系的图象是一条过原点的直线。

〔2〕反比例关系的量是一条不过原点的曲线。

知识点四：正比例和反比例的判断

3

〔1〕先判断两种量x和

y

是不是相关联的量，即一种量变化，另一种量也随着变化。

〔2〕假设符合一定k

x

y

，则x和

y

成正比例；假设符合x×

y

=k〔一定〕，则x和

y

成

反比例；否则，这两种量就不成比例关系。

【典型例题】

题型一：根据图标填写信息

例1：购买面粉的重量和钱数如下表，根据表填空。

重量〔千克〕123456…

总价〔元〕1.93.85.77.69.511.4…

〔1〕()和()是两种相关联的量，〔〕随着〔〕

的变化而变化。

〔2〕与总价7.6元相对应的重量是〔〕千克；与6千克相对应的总价是

〔〕元。

〔3〕总价与重量中相对应的两个数的比值所表示的意义是〔〕。

〔4〕因为比值一定，所以表中总价和重量叫做成〔〕的量。

题型二：根据关系式正比例反比例的判断

例2：判断下面两种相关联的量成不成比例，如果成比例，成什么比例。

〔1〕瓷砖面积一定，瓷砖的块数和瓷砖的面积。

〔2〕铺地面积一定，每块砖的面积和所需块数。

〔3〕铺地面积一定，方砖的边长和所需块数。

〔1〕生产总时间一定，生产一个零件的时间和个数。

〔2〕生产一个零件的时间一定，生产零件的总时间和个数。

〔1〕圆的周长和半径。

〔2〕圆的周长一定，圆周率和直径。

〔3〕圆的面积和半径的平方。

例3：判断下面各题中的两种量成不成比例〔在括号里填上“成正比例”或“不成正比例”〕。

〔1〕正方形的面积和边长。〔〕

〔2〕比的前项一定，比的后项和比值。〔〕

〔3〕人的体重和身高。〔〕

〔4〕每本书的单价一定，买书的本数与总价。〔〕

〔5〕出粉率一定，小麦的重量和出粉重量。〔〕

〔6〕正方体的体积和棱长。〔〕

〔7〕产品合格率一定，产品合格数和产品总数。〔〕

〔8〕工作时间一定，工作总量和工作效率。〔〕

4

例4：判断下面每题中的两种量成什么比例关系，并说明理由。

〔1〕每公顷施肥量一定，施肥总量与公顷数。

〔2〕每台织布机的每小时织布的米数一定，织布的总米数和所用的小时数。

〔3〕汽车行1千米的耗油量一定，汽车所行路程和总耗油量。

〔4〕同一辆汽车所行驶的路程和车轮转数。

例题9：判断以下各题的两种量是否成比例？如果成，成什么比例？

〔1〕工作效率一定，工作时间和工作总量。〔〕

〔2〕货物总数一定，每次运货吨数和运货次数。〔〕

〔3〕路程一定，已走路程和剩下路程。〔〕

〔4〕圆的半径和面积。〔〕

〔5〕平行四边形的底和面积。〔〕

〔6〕在太阳照射下，同时同地的竿高和影长。〔〕

〔7〕煤的总量一定，每天烧煤量和可烧的天数。〔〕

〔8〕a·b＝c，c一定，a和b。〔〕

〔9〕分数值一定，分子和分母。〔〕

〔10〕路程一定，车轮的直径和转动的周数。〔〕

【稳固练习】

〔1〕比例尺一定，图上距离与实际距离成〔〕比例。

〔2〕圆的半径和面积〔〕比例。

〔3〕三角形的高一定，它的面积和底成〔〕比例。

〔4〕订阅《中国少年报》的钱数和份数成〔〕比例。

〔5〕圆的直径和周长成〔〕比例。

〔6〕差一定，被减数和减数〔〕比例。

〔7〕圆锥的高一定，底面积和它的体积〔〕比例。

(1)每公顷的施肥量一定，施肥总量与公顷数成()比例。

5

(2)要修的路程一定，每天修的路程与天数成()比例。

(3)肥料总数一定，每平方米施肥量和平方米成()比例。

(4)钱的总数一定，铅笔数量和单价成()比例。

(5)制造一批零件的个数一定，制造一个零件的时间和需要的总时间成()

比例。

A．成正比例B．成反比例C．不成比例(1)平行四边形的底一定，高和面

积。()

(2)积一定，一个因数与另一个数。()

(3)一本书的页数一定，已看的页数和没看的页数。()

(4)工作效率一定，工作总量和工作时间。()

下面各题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例，并说明理由。

1、每个小朋友分的饼干数一定，饼干数的总块数和分的人数。

2、每箱梨的重量一定，箱数和总重量。

3、正方形的周长和边长。

4、正方形的面积和边长。

5、读一本书，每天读的页数和读的天数。

6、一箱饮料的数量一定，卖出的和剩下的。

7、三角形的底一定，它的面积和高。

8、每袋面粉的质量一定，面粉的总质量和袋数。

9、一个人的年龄和体重。

10、长方形的周长和宽。

11、长方形的长一定，面积与宽。

12、三角形的高一定，面积与底。

13、圆的面积与半径。

14、正方形的周长和边长。

15、一个班级的男生人数和女生人数。

16、每箱苹果个数一定，运来苹果的箱数与苹果总个数。

17房屋地面的面积一定，铺地砖的块数与每块地砖的面积。

18、每块地砖的面积一定，铺地面积与所需地砖的块数。

19、分子一定，分母和分数值。

6

20、三角形的高一定，它的底和面积。

21、梯形的上底和下底一定，面积和高。

22、圆的周长和直径。

23、车轮的直径一定，所行驶的路程和转数。

24、被乘数一定，乘数和积。

25、积一定，一个因数和另一个因数。

26、除数一定，被除数和商。

27、从甲地到乙地，行驶的速度和所用的时间。

28、每台电视机的价格一定，购买电视机的台数和钱数。

29、圆柱的侧面积一定，它的底面周长和高。

30、小明的身高和他的体重。

10判断下面的两种量成不成比例？成正比例画“○”，成反比例画“△”，

不成比例画“×”。

(1)每小时织布米数一定，织布的总时间和总米数。()

(2)一个人的年龄和他的体重。()

(3)生产总量一定，每天的生产量和生产天数。()

(4)正方形的边长和面积。()

(5)分母一定，分子和分数值。()

11填空：

(1)物品的总价一定，它的单价和数量成()比例。

(2)每公顷的施肥量一定，施肥的公顷数和施肥总量成()比例。

(3)要走的路程一定，已行路程与未行的路程()比例。

(4)比的后项一定，前项和比值成()比例。

(5)甲数是乙数的80%，甲数和乙数成()比例。

(6)圆的半径和它的周长成()比例。

14判断(对的打“√”，错的打“×”)

(1)生产效率一定，生产的总量和生产的时间成反比例。()

(2)出米率一定，大米的重量和稻谷的重量成正比例。()

(3)汽车速度一定，行驶的路程和所用时间成反比例。()

(4)三角形的高一定，它的面积和底不成比例。()

7

(5)被减数一定，减数和差成反比例。()

2、用一批纸装订练习本，每本25页，可以装订400本。如果要装订500本，每本有X页。

题中〔〕量一定，关系式：〔〕○〔〕＝〔〕〔一定〕，〔〕和〔〕成

〔〕比例。

3、一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺，需要640块。如果改用边长0.4米的正

方形地砖，需要Y块。

题中〔〕量一定，关系式：〔〕○〔〕＝〔〕〔一定〕，〔〕和〔〕成

〔〕比例。

题型三：根据图表成正反比例判断

例：李平和同学星期六骑车去郊游，以下图表示她骑车的路程和时间的关系。

(1)李平骑车行驶的路程和时间成正比例吗？为什么？

(2)利用图估计，李平20分钟大约行了多少千米？行20千米大约用了多少

分钟？(答案保留整数)

例：根据表中两种量相对应的比值，判断它们是不是成正比例，并说明理由。

(1)

面粉的袋数(袋)1234

面粉的总重量(千克)255075100

(2)

钢铁的重量(千克)7.815.623.431.2

钢铁的体积(m3)1234

8

【稳固练习】

〔4〕糖果厂包装一批糖果，每袋糖果的粒数和装的袋数如下表：

每袋的粒数12152024…

装的袋数50403025…

每袋糖果的粒数和装的袋数成反比例吗？为什么？

1、仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么？

表格1

数量/本13681020……

总价/元41224324080……

表格2

单价/元1.523456……

总价/元6812162024……

表格3用60元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表：

单价/元1.523456……

9

数量/本4……

题型四：根据比例关系填表

例4：〔1〕根据10

x

y

，填写下表。

〔2〕下表中x和

y

两个量成反比例，请把表格填写完整

〔3〕下表中x和

y

两个量相关联的量，观察规律，请把表格填写完整

【稳固练习】

〔1〕如果x和y成正比例，并且

y

x

＝20。请完成下表。

y20

x1.580.410

在以下图中，描出上题中y与相对应的x的点(注意找几个关键点)，然后连

成线。

(21)已知x和y成正比例关系，请完成以下表格。

y

2035120

x28

x2

1

5

40

y

50.1

x0.50.61

y

1.52.73

10

x608

y642.4

(3)已知x和y成反比例关系，请完成下表。

x0.071.40.2

y1410

〔4〕小英和妈妈的年龄变化情况如下，把表填写完整。

小英的年龄/岁67891011

妈妈的年龄/岁3031

母女的年龄成正比例吗？为什么？

10、某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时┈┈各造纸多少吨？

〔1〕把下表填写完整。

造纸时间/时1234……

造纸吨数/吨1.5……

〔2〕根据表中的数据，在以下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。

吨数/吨

4

3

2

1

0

1234567时间/时

〔3〕造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么？

〔4〕根据图像判断，5小时造纸多少吨？

题型五：比例的扩大缩小

例5：选择。〔把正确答案的序号填在括号里〕

〔1〕如果两种相关联的量成正比例，一种量扩大几倍，另一种量就〔〕相同的倍数。

①扩大②缩小③增加④减少〔2〕如果两种

11

相关联的量成反比例，一种量扩大几倍，另一种量就〔〕相同的倍数。

①扩大②缩小③增加④减少

〔3〕和一定，一个加数和另一个加数〔〕。

①成正比例②成反比例③不成比例

〔4〕正方形的面积和边长〔〕。

①成正比例②成反比例③不成比例

〔5〕甲、乙两车行同一段路程，甲车需3小时，乙车需5小时，甲、乙两车速度的比是〔〕。

①11∶6②3∶5③5∶3

题型六：根据关系式，说出哪种量一定，哪两种量成正比例或反比例。

例：根据下面的关系式，说出哪种量一定，哪两种量成正比例。

(1)总价＝单价×数量。

()一定，()和()成正比例。

(2)长方形面积＝底×高。

()一定，()和()成正比例。

(3)xy＝z。

()一定，()和()成正比例。

(4)铺地面积＝方砖面积×方砖块数。

()一定，()和()成正比例。

(5)路程＝速度×时间。

()一定，()和()成正比例。

已知ab＝c，a、b都不为0。先写两个正比例关系式，再填空。

______()一定，()和()成正比例。

______()一定，()和()成正比例。

(1)速度×时间＝路程。

速度一定，()和()成()比例。

时间一定，()和()成()比例。

路程一定，()和()成()比例。

(2)单价×数量＝总价。

单价一定，()和()成()比例。

12

数量一定，()和()成()比例。

总价一定，()和()成()比例。

4、在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中

当底面周长一定时，〔〕与〔〕成〔〕比例；

当高一定时，〔〕与〔〕成〔〕比例；

当侧面积一定时，〔〕与〔〕成〔〕比例。

5、在被除数、除数、商这三种量中，

当〔〕一定时，〔〕与〔〕成正比例；

当〔〕一定时，〔〕与〔〕成反比例；

6、当a×b＝c〔a、b、c为三种量，且均不为0〕。

()一定，〔〕与〔〕成〔〕比例；

〔〕一定，〔〕与〔〕成〔〕比例；

〔〕一定，〔〕与〔〕成〔〕比例；

拓展

例：假设x和y是两种相关联的量，判断它们是否成比例，成什么比例

〔1〕假设5x=4y，〔x，y均不为0〕，则x和y成〔〕比例。

〔2〕假设

xy

34

，〔x，y均不为0〕，则x和y成〔〕比例。

〔3〕假设

x

y

4

3

，〔x，y均不为0〕，则x和y成〔〕比例。

〔4〕假设xy5，〔x，y均不为0〕，则x和y成〔〕比例。

〔5〕假设

,()

k

yk

x

3

一定

，〔x，y均不为0〕，则x和y成〔〕比例。

【稳固练习】

1.三角形的高一定，它的面积和底〔〕

A.成正比例B.成反比例C.不成比例

2.甲数和乙数互为倒数，则甲数和乙数〔〕

A.成正比例B.成反比例C.不成比例

13

3.a是

b

的

1

5

，那么a与

b

〔〕

A.成正比例B.成反比例C.不成比例

例：如果

a

b·c

＝1(b≠0，c≠0)，那么，当a一定时，b和c成()比例；当b

一定时，a和c成()比例；当c一定时，a和b成()比例。

作业：

一、填空

1、判断分子、分母、分数值一种量一定，另外两种量成什么比例。

（1）分子一定，分母和分数值成_________比例。

（2）分母一定，分子和分数值成_________比例。

（3）分数值一定，分子和分母成_________比例。

2、已知

x

y

=k，当____一定时，另外两种量成反比例。

3、

时间

路程

=_____，当_____一定时，_____和______成正比例。

当_____一定时，_____和______成反比例。

4、已知x、y成反比例，完成表格。

X412

3

2

Y91833.6

5、已知x、y成正比例，完成表格。

X1.53

2

7

6

5

Y

2

1

14.50.15

6、如果6ａ＝５ｂ，那么ａ：ｂ＝___：___，ａ：5＝___：___。

7、有120吨货物，每次运的吨数和运的次数成〔〕比例。

8、总价一定，购买算草本的本数和单价成〔〕比例。

9、工作效率一定，工作总量和工作时间成〔〕比例。

10、汽车每千米耗油量一定，所行的路程和耗油总量成〔〕比例。

二、选择

14

1、如果3x=8y〔x、y都不等于0〕，那么x和y〔〕

A、成正比例B、成反比例

C、不成比例D、以上说法都不对

2、如果

3

x

=

8

y

〔x、y都不等于0〕，那么x和y〔〕

A、成正比例B、成反比例

C、不成比例D、以上说法都不对

3、把一堆化肥装入麻袋中，麻袋的数量和每袋化肥的重量〔〕

A、成正比例B、成反比例

C、不成比例D、以上说法都不对

4、以下表示x和y成反比例的式子是〔〕

A、x+3y=12B、y=4x

C、y=

x

23

D、y=-

2

3

x

5、已知kx=y，且x和y都不为0，当k一定时，x和y〔〕

A、成正比例B、成反比例

C、不成比例D、以上说法都不对

6、三种量a，b，h的关系是b=ah，当b一定时，a和h〔〕

A、成正比例B、成反比例

C、不成比例D、以上说法都不对

7、甲数的

4

3

是乙数，那么甲数与乙数〔〕

A、成正比例B、成反比例

C、不成比例D、以上说法都不对

三、判断题

1、正方形的边长和周长成正比例。〔〕

2、正方形的边长和面积成正比例。〔〕

3、a是b的

7

5

，数a和数b成正比例。〔〕

4、如果4a=3b,那么a∶b=3∶4。〔〕

5、圆的周长一定，直径和圆周率成反比例。〔〕

15

6、

8

A

=B，那么A和B成反比例。〔〕

7、长方体的体积一定，底面积和高成反比例。〔〕

8、如果x与y成反比例，那么3x与y也成反比例。〔〕

9、圆的面积与半径的平方成正比例。〔〕

10、圆锥的体积一定，底面积和高成反比例。〔〕

11、三角形的高一定，底和面积成反比例。〔〕

12、路程一定，车轮的直径与车轮的转数成反比例。〔〕

13、全班总人数一定，出勤人数和出勤率成正比例。〔〕

14、从甲地到乙地，已走路程和未走路程成反比例。〔〕

15、减数一定，被减数和差成正比例。〔〕

四、图表题

1、某场一生产车间的生产情况如下表：

时间〔天〕12345678…

生产量〔吨〕7…

（1）表中有哪两个量？是不是相关联的量？

（2）写出几组这两种量中相对应的两个数的比，求出比值，并比较比值的大小。

（3）说明这个比值所表示的意义。

（4）表中的两种量成正比例吗？为什么？

2、

平行四边形的底〔cm〕12345

平行四边形的高〔cm〕15.67.85.23.93.12

（1）写出两种量中相对应的两个数的积，比较大小。

（2）积的意义是什么？表中相关联的量成什么比例？

16

（3）当底为6cm的时候，高为多少？

判断下面两种相关联的量成不成比例，如果成比例，成什么比例。

1、天数一定，每天烧煤量和烧煤总量〔〕比例。

2、圆的直径和面积〔〕比例。

3、订《少年科学画报》的份数和所需要的钱数〔〕比例。

4、生产时间一定，每小时生产的个数和总个数〔〕比例。

5、被除数一定，除数和商〔〕比例。

6、在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数〔〕比例。

7、正方形的边长和周长〔〕比例。

8、比的后项一定，比的前项和比值〔〕比例。

9、A、B、C三种量的关系是：A=

C

B

。如果B一定，A、C两种量〔〕比例。

如果C一定，A和B两种量〔〕比例。

10、如果Y=10X，X和Y〔〕比例；如果Y=

X

10

，X和Y〔〕比例。

如果

7

X

=Y，X和Y〔〕比例。

11、分数的大小一定，它的分子和分母〔〕比例。

12、全班人数一定，出勤人数和出勤率〔〕比例。

13、正方体一个面的面积和它的外表积〔〕比例。

14、在一定的时间里，做一个零件所用的时间和做零件的个数〔〕比例。

15、圆的半径和面积〔〕比例。

16、圆锥体的高一定，圆锥的底面半径和它的体积〔〕比例。

17、4X=8Y，X和Y〔〕比例。

18、车轮的直径一定，所行的路程和车轮的转数〔〕比例。

19、圆柱的底面半径一定，圆柱的高和圆柱的体积〔〕比例。

17

20、分数值一定，分子和分母〔〕比例。

21、正方形的边长和面积〔〕比例。

22、小麦的总重量一定，出粉率和面粉的重量〔〕比例。

23、三角形的面积一定，底和高〔〕比例。

24、要行一段路程，已行的和未行的路程〔〕比例。

25、长方形的长一定，宽和周长〔〕比例。

26、圆的半径和周长〔〕比例。

27、总产量一定，单产量和数量〔〕比例。

28、在同一时间里，杆高和影长〔〕比例。

29、做一项工程，工作效率和工作时间〔〕比例。

30、汽车从甲地到乙地，行车时间和速度〔〕比例。

二、判断题，对的打√，错的打ⅹ。

1、速度和时间成反比例。〔〕

2、图上距离和实际距离成正比例。〔〕

3、三角形的底一定，它的面积和高不成比例。〔〕

4、图上距离一定，实际距离和比例尺成正比例。〔〕

5、出盐率一定，盐的重量和海水的重量成正比例。〔〕