北虹高级中学

2022-2023学年高三上数学期末模拟试卷

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再

选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知非零向量a、b，若

2ba

且

23abb

，则向量b在向量a方向上的投影为（）

A

．

3

2

bB

．

1

2

bC

．

3

2

bD

．

1

2

b

2．如图，PA平面

ABCD

，

ABCD

为正方形，且PAAD，

E

，

F

分别是线段

PA

，

CD

的中点，则异面直线

EF

与

BD

所成角的余弦值为（）

A

．

2

6

B

．

3

3

C

．

3

6

D

．

2

3

3．已知

△

ABC

中，

22BCBABC，

．点

P

为

BC

边上的动点，则PCPAPBPC

的最小值为（）

A

．

2B

．

3

4

C

．2

D

．

25

12



4．

“2b”

是

“

函数2231fxbbx

（



为常数）为幂函数

”

的（）

A

．充分不必要条件

B

．必要不充分条件

C

．充要条件

D

．既不充分又不必要条件

5．已知复数

z

满足：

((1)11)izi

，则

z

的共轭复数为（）

A

．12iB

．1iC

．

1iD

．12i

6．已知

F

是双曲线22:4||Ckxyk（

k

为常数）的一个焦点，则点

F

到双曲线

C

的一条渐近线的距离为（）

A

．

2

k

B

．

4

k

C

．

4D

．

2

7．若复数

z

满足i2iz，则

z

（）

A

．2B

．3C

．

2D

．5

8．关于圆周率



，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验

.

受其启发，某同学通

过下面的随机模拟方法来估计



的值：先用计算机产生2000个数对,xy

，其中

x

，

y

都是区间0,1

上的均匀随机

数，再统计

x

，

y

能与1构成锐角三角形三边长的数对,xy

的个数

m

﹔最后根据统计数

m

来估计



的值

.

若435m，

则



的估计值为（）

A

．

3.12B

．3.13C

．3.14D

．3.15

9．在复平面内，复数

2i

i

z



（i为虚数单位）对应的点位于（）

A

．第一象限

B

．第二象限

C

．第三象限

D

．第四象限

10．设实数满足条件则的最大值为（）

A

．

1B

．

2C

．

3D

．

4

11．函数

cos

()

22xx

xx

fx







在

,

22











上的图象大致为（）

A

．

B

．

C

．

D

．

12．已知函数

()sin()(0,0)

3

fxx





满足

()(),()

12

fxfxf



=1

，则

()

12

f





等于（）

A

．

-

2

2

B

．

2

2

C

．

-

1

2

D

．

1

2

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．如图，在复平面内，复数

1

z

，

2

z

对应的向量分别是OA，OB，则

1

2

z

z



_______.

14．点

0

P

是曲线3lnyxxk（

kR

）图象上的一个定点，过点

0

P

的切线方程为

410xy

，则实数

k

的值

为

______.

15．在ABC中，角

A

，

B

，

C

的对边分别为

a

，

b

，

c

，且2coscoscosaCbCcB，则C________.

16．已知268765432

876543210

(1)()()xxaaxaxaxaxaxaxaxaxaaR

，若

1

0a

，则

012345678

aaaaaaaaa

________.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（12分）已知函数2()22lnfxbxaxx．

（

1

）若曲线

()yfx

在

(1,(1))f

处的切线为

24yx

，试求实数

a

，b的值；

（

2

）当1b时，若

()yfx

有两个极值点

1

x

，

2

x

，且

12

xx

，

5

2

a

，若不等式

12

()fxmx

恒成立，试求实数

m

的取值范围．

18．（12分）己知0a，0b，0c.

（

1

）求证：

44

4224

22

abab

aabb

ab







；

（

2

）若1abc，求证：333abcabbcac.

19．（12分）如图，在平面直角坐标系

xOy

中，已知椭圆

C

：

22

22

1

xy

ab

(

a

＞

b

＞

0)

的离心率为

1

2

．且经过点

(1

，

3

2

)

，

A

，

B

分别为椭圆

C

的左、右顶点，过左焦点

F

的直线

l

交椭圆

C

于

D

，

E

两点（其中

D

在

x

轴上方）．

（

1

）求椭圆

C

的标准方程；

（

2

）若

△

AEF

与

△

BDF

的面积之比为

1

：

7

，求直线

l

的方程．

20．（12分）设直线l与抛物线22xy交于

,AB

两点，与椭圆

22

1

42

xy

交于

,CD

两点，设直线

,OA,OB,OCOD

（O为坐标原点）的斜率分别为

1

,k

2

,k

3

,k

4

k

，若OAOB.

（

1

）证明：直线l过定点，并求出该定点的坐标；

（

2

）是否存在常数，满足

1234

kkkk

？并说明理由

.

21．（12分）在直角坐标系

xQy

中，曲线

1

C

的参数方程为

22cos

,

42sin

x

y















（



为参数），以坐标原点为极点，

x

轴

的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线

2

C

的极坐标方程为

4sin

.

(1)

把

1

C

的参数方程化为极坐标方程：

(2)

求

1

C

与

2

C

交点的极坐标0,02

.

22．（10分）在世界读书日期间，某地区调查组对居民阅读情况进行了调查，获得了一个容量为

200

的样本，其中城

镇居民

140

人，农村居民

60

人

.

在这些居民中，经常阅读的城镇居民有

100

人，农村居民有

30

人

.

（

1

）填写下面列联表，并判断能否有

99%

的把握认为经常阅读与居民居住地有关？

城镇居民农村居民合计

经常阅读

10030

不经常阅读

合计

200

（

2

）调查组从该样本的城镇居民中按分层抽样抽取出

7

人，参加一次阅读交流活动，若活动主办方从这

7

位居民中随

机选取

2

人作交流发言，求被选中的

2

位居民都是经常阅读居民的概率

.

附：

2

2

()

()()()()

nadbc

K

abcdacbd







，其中nabcd.

2

0

PKk

0.100.050.0250.0100.0050.001

0

k

2.7063.8415.0246.6357.87910.828

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、

D

【解析】

设非零向量a与b的夹角为，在等式

23abb

两边平方，求出cos的值，进而可求得向量b在向量a方向上

的投影为

cosb

，即可得解

.

【详解】

2ba

，由

23abb

得

2223abb，整理得22220aabb，

2

2222cos40aaaa，解得

1

cos

2



，

因此，向量b在向量a方向上的投影为

1

cos

2

bb.

故选：

D.

【点睛】

本题考查向量投影的计算，同时也考查利用向量的模计算向量的夹角，考查计算能力，属于基础题

.

2、

C

【解析】

分别以

AB

，

AD

，

AP

所在直线为

x

轴，

y

轴，

z

轴，建立如图所示的空间直角坐标系

Axyz

,

再利用向量法求异面直

线

EF

与

BD

所成角的余弦值

.

【详解】

由题可知，分别以

AB

，

AD

，

AP

所在直线为

x

轴，

y

轴，

z

轴，建立如图所示的空间直角坐标系

Axyz

.

设2AD.

则

|24|3

(2,2,0),(1,2,1),cos,

6

86

BDEFBDEF







.

故异面直线

EF

与

BD

所成角的余弦值为

3

6

.

故选：

C

【点睛】

本题主要考查空间向量和异面直线所成的角的向量求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平

.

3、

D

【解析】

以

BC

的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得1010BC，，，

，设0PaAxy，，，

，运用向量的坐标表示，

求得点

A

的轨迹，进而得到关于

a

的二次函数，可得最小值．

【详解】

以

BC

的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，

可得1010BC，，，

，设0PaAxy，，，

，

由2BABC，

可得120222xyx，，

，即

20xy，

，

则101100PCPAPBPCaxaaay，，

21312332axaaaaa

2125

3

612

a









，

当

1

6

a

时，PCPAPBPC

的最小值为

25

12



．

故选

D

．

【点睛】

本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题．

4、

A

【解析】

根据幂函数定义，求得b的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断

.

【详解】

∵当函数2231afxbbx

为幂函数时，22311bb

，

解得2b或

1

2



，

∴“2b”

是

“

函数2231afxbbx

为幂函数

”

的充分不必要条件

.

故选：

A.

【点睛】

本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题

.

5、

B

【解析】

转化(1)11izi

，为

1

1

1

i

z

i







，利用复数的除法化简，即得解

【详解】

复数

z

满足：(1)11izi

所以

21

1

1

12

i

i

zi

i









1zi

1zi

故选：

B

【点睛】

本题考查了复数的除法和复数的基本概念，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题

.

6、

D

【解析】

分析可得k0,

再去绝对值化简成标准形式

,

进而根据双曲线的性质求解即可

.

【详解】

当0k时

,

等式224||kxyk不是双曲线的方程；当k0时

,224||4kxykk,

可化为

22

1

44

yx

k





,

可得虚

半轴长2b,

所以点

F

到双曲线

C

的一条渐近线的距离为

2.

故选：

D

【点睛】

本题考查双曲线的方程与点到直线的距离

.

属于基础题

.

7、

D

【解析】

把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式计算

.

【详解】

解：由题意知，i2iz，



2

2

212

12

1

ii

ii

zi

ii









，

∴2

212i125z，

故选：

D.

【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法

.

8、

B

【解析】

先利用几何概型的概率计算公式算出

x

，

y

能与1构成锐角三角形三边长的概率，然后再利用随机模拟方法得到

x

，

y

能与1构成锐角三角形三边长的概率，二者概率相等即可估计出



.

【详解】

因为

x

，

y

都是区间0,1

上的均匀随机数，所以有01x，

01y

，若

x

，

y

能与1构成锐角三角形三边长，

则

22

1

1

xy

xy











，由几何概型的概率计算公式知

11

435

4

1

1142000

m

P

n











，

所以

435

4(1)

2000

3.13.

故选：

B.

【点睛】

本题考查几何概型的概率计算公式及运用随机数模拟法估计概率，考查学生的基本计算能力，是一个中档题

.

9、

C

【解析】

化简复数为abi

(a

、

)bR

的形式，可以确定

z

对应的点位于的象限．

【详解】

解：复数2

2

2(2)

(2)12

iii

ziii

ii





故复数

z

对应的坐标为1,2

位于第三象限

故选：C．

【点睛】

本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题．

10、

C

【解析】

画出可行域和目标函数，根据目标函数的几何意义平移得到答案

.

【详解】

如图所示：画出可行域和目标函数，

，即，表示直线在轴的截距加上1，

根据图像知，当时，且时，有最大值为.

故选：.

【点睛】

本题考查了线性规划问题，画出图像是解题的关键

.

11、

C

【解析】

根据函数的奇偶性及函数在

0

2

x





时的符号，即可求解

.

【详解】

由

cos

()()

22xx

xx

fxfx







可知函数

()fx

为奇函数

.

所以函数图象关于原点对称，排除选项

A

，

B

；

当

0

2

x





时，cos0x，

cos

()

22

0

xx

xx

fx







＞

，排除选项

D

，

故选：

C

.

【点睛】

本题主要考查了函数的奇偶性的判定及奇偶函数图像的对称性，属于中档题

.

12、

C

【解析】

设fx

的最小正周期为T，可得,nTnN，则*2,nnN，再根据

1

12

f











得

*2,,

26

knkZnN





，又

0

3





，则可求出122nk，进而可得

()

12

f



.

【详解】

解：设fx

的最小正周期为T，因为

()()fxfx

，

所以,nTnN，所以*

2

,Tn

n





N

，

所以*2,nnN，

又

1

12

f











，所以当

12

x



时，

2

62

xnk





，

*2,,

26

knkZnN





，因为

0

3





02

263

kn





，

整理得1123nk，因为12nkZ，

122nk，

2212

266

kk





，则

2

662

nk





2

63

n

k





所以

()sin2

12126

sin

66

fn

n

























1

sin2sin

3662

k













.

故选：

C.

【点睛】

本题考查三角形函数的周期性和对称性，考查学生分析能力和计算能力，是一道难度较大的题目

.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、

12i

【解析】

试题分析：由坐标系可知

12

2,zizi1

2

2

12

z

i

i

zi





考点：复数运算

14、

1

【解析】

求出导函数，由切线斜率为

4

即导数为

4

求出切点

0

P

横坐标，再由切线方程得纵坐标后可求得k．

【详解】

设

0

(,)Pxy

，

由题意

3

1y

x





，∴

3

14

x



，1x，

4113y

，即

0

(1,3)P

，

∴33ln11k，2k．

故答案为：

1

．

【点睛】

本题考查导数的几何意义，函数图象某点处的切线的斜率就是该点处导数值．本题属于基础题．

15、

3



【解析】

利用正弦定理将边化角，即可容易求得结果

.

【详解】

由正弦定理可知，2sincossincossincossinACBCCBA



1

,0,,sin,cos

2

ACAC

，即

3

C



.

故答案为：

3



.

【点睛】

本题考查利用正弦定理实现边角互化，属基础题

.

16、

1

【解析】

由题意先求得

a

的值，可得2687

8710

(1)(3)xxaxaxaxa

，再令1x，可得结论．

【详解】

已知2687654321

876543210

(1)()()xxaaxaxaxaxaxaxaxaxaaR

，

65

1

260aaa

，

3a

，

2687

8710

(1)(3)xxaxaxaxa

，

令1x，可得8

012345678

2256aaaaaaaaa

，

故答案为：

1

．

【点睛】

本题主要考查二项式定理的应用，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的

x

赋值，求展开式的系数

和，可以简便的求出答案，属于基础题．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（

1

）6ab；（

2

）

9

ln2

8

m

．

【解析】

（

1

）根据题意，求得

(1),'(1)ff

的值，根据切点在切线上以及斜率等于

'(1)f

，构造方程组求得

,ab

的值；

（

2

）函数fx

有两个极值点，等价于方程210xax的两个正根

1

x

，

2

x

，不等式

12

fxmx

恒成立，等价于



1

2

fx

m

x



恒成立，1

2

()fx

x

3

1111

22lnxxxx

，令3

1

22ln,(0)

2

hxxxxxx

，求出导数，判断单调性，

即可得到

()hx

的范围，即

m

的范围

.

【详解】

（

1

）由题可知121462fba

，

2

22fxbxa

x







，12222fba



，联立可得6ab．

（

2

）当1b时，222lnfxxaxx

，

221

2

22

xax

fxxa

xx





，

fx

有两个极值点

1

x

，

2

x

，且

12

xx

，

1

x

，

2

x

是方程210xax的两个正根，

12

5

2

xxa

，

12

1xx

，

不等式

12

fxmx

恒成立，即



1

2

fx

m

x



恒成立，

2

3232

1111

1111112111

22

()22ln

22ln22ln

fxxaxx

xaxxxxxxxxx

xx





3

1111

22lnxxxx

，

由

12

5

2

xxa

，

12

1xx

，得

1

1

15

2

x

x



，

1

1

0

2

x

，

令3

1

22ln,(0)

2

hxxxxxx

，232ln0hxxx



，

hx

在

1

0,

2









上是减函数，

19

ln2

28

hxh









，故

9

ln2

8

m

．

【点睛】

该题考查的是有关导数的问题，涉及到的知识点有导数的几何意义，函数的极值点的个数，构造新函数，应用导数研

究函数的值域得到参数的取值范围，属于较难题目

.

18、（

1

）证明见解析（

2

）证明见解析

【解析】

（

1

）采用分析法论证，要证

44

4224

22

abab

aabb

ab







，分式化整式为22422444abaabbabab

，

再利用立方和公式转化为6655ababab，再作差提取公因式论证

.

（

2

）由基本不等式得33333313,13,13ababbcbcacac，再用不等式的基本性质论证

.

【详解】

（

1

）要证

44

4224

22

abab

aabb

ab







，

即证22422444abaabbabab

，

即证6655ababab，

即证66550ababab，

即证55()()0aababb，

即证55()0abab

，

该式显然成立，当且仅当ab时等号成立，

故

44

4224

22

abab

aabb

ab







.

（

2

）由基本不等式得3333abcabc，

33333313,13,13ababbcbcacac，

当且仅当1abc时等号成立

.

将上面四式相加，可得33333333333abcabcabbcac，

即333abcabbcac.

【点睛】

本题考查证明不等式的方法、基本不等式，还考查推理论证能力以及化归与转化思想，属于中档题

..

19、（

1

）

22

1

43

xy

（

2

）

33

44

yx

．

【解析】

（

1

）利用离心率和椭圆经过的点建立方程组，求解即可

.

（

2

）把面积之比转化为纵坐标之间的关系，联立方程结合韦达定理可求

.

【详解】

解：（

1

）设焦距为

2

c

，由题意知：

22

222

19

1

4

1

2

ab

bac

c

a





















；解得

2

2

4

3

1

a

b

c

















，所以椭圆的方程为

22

1

43

xy

.

（

2

）由（

1

）知：

F

(

﹣

1

，

0)

，设

l

：

1xmy

，

D

(

1

x，

1

y

)

，

E

(

2

x

，

2

y

)

，

2

y

＜

0

＜

1

y

1

1

12

2

2

1

()

3

7

2

=7

1

3

()()

2

BDF

AEF

acy

Sy

yy

Sy

acy









△

△

①，

22

22

1

(34)690

3412

xmy

mymy

xy













，

2144(1)0m，

12

2

6

34

m

yy

m





②；

12

2

9

34

yy

m







③；

由①②得：

2

2

9

2(34)

m

y

m







，

1

2

21

00

2(34)

m

ym

m





，

代入③得：

2

2

222

189916

4(34)349

m

m

mm







，又0m，故

4

3

m，

因此，直线

l

的方程为

33

44

yx．

【点睛】

本题主要考查椭圆方程的求解及椭圆中的面积问题，椭圆方程一般利用待定系数法，建立方程组进行求解，面积问题

的合理转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养

.

20、（

1

）证明见解析（

0

，

2

）；（

2

）存在，理由见解析

【解析】

（

1

）设直线

l

的方程为

y

=

kx

+b

代入抛物线的方程，利用

OA

⊥

OB

，求出

b

，即可知直线过定点（

2

）由斜率公式分别

求出

12

kk

，

34

kk

，联立直线与抛物线，椭圆，再由根与系数的关系得

12

xx

，

12

xx

，

34

xx

，

34

xx

代入

12

kk

，

34

kk

，化简即可求解

.

【详解】

（

1

）证明：由题知，直线

l

的斜率存在且不过原点，

故设

:(0),lykxbb

11

,,Axy

22

,Bxy

由

22

ykxb

xy











可得2220xkxb，

1212

2,2xxkxxb

.

,OAOB

0OAOB，

2

12

121212

0

4

xx

xxyyxx，

故2b

所以直线

l

的方程为

2ykx

故直线

l

恒过定点

(0,2)

.

（

2

）由（

1

）知

12

2,xxk

12

4xx

12

12

12

yy

kk

xx



12

12

22kxkx

xx





12

22

2k

xx





12

12

2

2

xx

k

xx





k

设

33

,,Cxy

44

,Dxy

由22

2

1

42

ykx

xy















可得2212840kxkx

，

34

2

8

,

12

k

xx

k



34

2

4

12

xx

k





3

4

34

34

y

y

kk

xx



3

4

34

2

2

kx

kx

xx







34

22

2k

xx





34

34

2

2

xx

k

xx





2k



1234

1

2

kkkk

，即存在常数

1

2



满足题意

.

【点睛】

本题主要考查了直线与抛物线、椭圆的位置关系，直线过定点问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

21、（

1

）24cos8sin160ppp；（

2

）

1

C

与

2

C交点的极坐标为

4,

2









，和

22,

4









【解析】

（

1

）先把曲线

1

C

化成直角坐标方程，再化简成极坐标方程；

（

2

）联立曲线

1

C

和曲线

2

C的方程解得即可

.

【详解】

(1)

曲线

1

C

的直角坐标方程为：22244xy，即2248160xyxy.

1

C

的参数方程化为极坐标

方程为24cos8sin160ppp；

(2)

联立

248160

4

ppcospsin

psin















可得：

4

22

2

4

p

p































或

，

1

C

与

2

C

交点的极坐标为

4,

2









，和

22,

4









.

【点睛】

本题考查了参数方程，直角坐标方程，极坐标方程的互化，也考查了极坐标方程的联立，属于基础题

.

22、（

1

）见解析，有

99%

的把握认为经常阅读与居民居住地有关

.

（

2

）

10

21

【解析】

（

1

）根据题中数据得到列联表，然后计算出2K，与临界值表中的数据对照后可得结论；（

2

）由题意得概率为古典概

型，根据古典概型概率公式计算可得所求

.

【详解】

（

1

）由题意可得：

城镇居民农村居民合计

经常阅读

10030130

不经常阅读

403070

合计

14060200

则

2

2

200(100304030)

8.4776.635

1406013070

K







，

所以有

99%

的把握认为经常阅读与居民居住地有关

.

（

2

）在城镇居民

140

人中，经常阅读的有

100

人，不经常阅读的有

40

人

.

采取分层抽样抽取

7

人，则其中经常阅读的有

5

人，记为A、

B

、C、D、E；

不经常阅读的有

2

人，记为X、Y.

从这

7

人中随机选取

2

人作交流发言，所有可能的情况为AB，AC，AD，AE，AX，AY，BC，BD，BE，BX，

BY，CD，CE，CX，CY，DE，DX，DY，EX，EY，XY，共

21

种，

被选中的2位居民都是经常阅读居民的情况有10种，



所求概率为

10

21

P.

【点睛】

本题主要考查古典概型的概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的关键，考查学生的计算能力

.

对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，使得满足条件的事件个数除以总的事件个数即可，

属于中档题

.