正三棱锥的定义

棱锥的概念和性质教案

【教学目的】

1．通过棱锥、正棱锥概念的教学，培养学生知识迁移能力及数学表达能力；

2．通过对正棱锥中相关元素的相互转化的研究，提高学生空间想象能力及空

间问题向平面转化的能力．

【教学重点和难点】

教学重点是正棱锥的性质．教学难点是认识及掌握正棱锥中的根本图形．

【教学过程】

一、复习与回忆：

上节课我们学了棱柱的有关知识，当棱柱的上底面缩为一点时，想一想，其

侧面、侧棱有何变化？

如：金字塔、帐蓬等

二、棱锥的概念

要求学生通过上述的实际例子描述棱锥的本质特征。

〔提示学生可以从底面、侧面的形状特点加以描述〕

有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成

的几何体叫做棱锥．

表示：棱锥S-ABCDE或棱锥S-AC．

与棱柱类似，棱锥可以按底面多边形的边数

分为三棱锥，四棱锥，五棱锥，…，n棱锥．

正棱锥的概念及性质．

比照正棱柱定义让学生描述一下正棱锥：

由顶点向底面作垂线，垂足必为底面正多边形的中心的棱锥才是正棱锥．

正棱锥的顶点在底面上的射影是底面正多边形的中心，这是正棱锥的本质特

征，它决定了正棱锥的其它性质．

如图是正五棱锥，你能说出其侧棱、各侧面有何性质吗？

【例题1】：正四棱锥S-ABCD中，底面边长为2，斜高为2．

求：〔1〕侧棱长；

〔2〕棱锥的高；

〔3〕侧棱与底面所成的角；

〔4〕侧面与底面所成的角．

证明：连结SO，由正棱锥性质有SO⊥面ABCD．取BC的中点M，连结SM，OM．因

为等腰△SBC，所以SM⊥BC．在Rt△SMB中，

在Rt△SOM中，

1

2

1

ABOM

，所以SO=3

因为SO⊥面AC，所以∠SBO为侧棱与底面所成的角．在

因为SM⊥BC，OM⊥BC，所以∠SMO为侧面与底面所

=60°．

【例题2】

求：侧棱长及斜高．

证法一：连结OA．

因为正三棱锥V－ABC，VO为高，

取BA的中点D，连结VD，

证法二：求斜高VD时，不在Rt△VAD中完成．可连结DO．

证法三：连结CO并延长交AB于D，连VD，那么AD=BD=3．

【练习】：正三棱锥的侧面与底面所成的角为60°．

求：侧棱与底面所成角的正切．

三、小结：正棱锥的性质：

〔1〕各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形．

〔2〕正棱锥的斜高相等．

〔3〕正棱锥中的几个重要直角三角形及两类角：

①正棱锥的高、侧棱和侧棱在底面上的射影〔正多边形的半径〕组成一个直

角三角形．

②正棱锥的高、斜高和斜高在底面上的射影〔正多边形的边心距〕组成一个

直角三角形．

③正棱锥的侧棱、斜高和正多边形边长的一半组成一个直角三角形．

④正棱锥底面内，正多边形的半径、边心距和边长的一半组成一个直角三角

形．

⑤正棱锥的侧棱与底面所成的角；侧面与底面所成的角．

补充题：：正棱锥的底面边长为a，底面多边形的边心距

为r，棱锥的高为h．求：它的侧棱长．

［提示：如图7，在Rt△SOM中，SM2=h2＋r2．

在Rt△SAM中，