数学难题

1．已知过点（2，﹣3）的直线y=ax+b（a≠0）不经过第一象限，设s=a+2b，则

s的取值范围是（）

A．﹣5≤s≤﹣B．﹣6＜s≤﹣C．﹣6≤s≤﹣D．﹣7＜s≤﹣

2．关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一

元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，①（m﹣1）2+（n﹣1）

2≥2是否正确？；②m﹣n的取值范围为

3．设a为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分．则﹣的值为（）

A．+﹣1B．﹣+1C．﹣﹣1D．++1

4．设直线kx+（k+1）y﹣1=0与坐标轴所构成的直角三角形的面积为S

k

，则

S

1

+S

2

+…+S

2008

=．

5．如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=2x﹣4上运动，当线段AB最

短时，点B的坐标是．

6．如图，△A

1

B

1

A

2

，△A

2

B

2

A

3

，△A

3

B

3

A

4

，…，△A

n

B

n

A

n+1

都是等腰直角三角形，其

中点A

1

、A

2

、…、A

n

在x轴上，点B

1

、B

2

、…、B

n

在直线y=x上，已知OA

1

=1，则

OA

2015

的长为．

7．如图，已知一条直线经过点A（0，2）、点B（1，0），将这条直线向左平移与

x轴、y轴分别交与点C、点D．若DB=DC，则直线CD的函数解析式为．

8．将函数y=﹣6x的图象l

1

向上平移5个单位得直线l

2

，则直线l

2

与坐标轴围

成的三角形面积为．

9．在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（m，3），（3m﹣1，3），若线段

AB与直线y=2x+1相交，则m的取值范围为．

10．方程组的解是．

11．已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于．

12．已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣3x+8=0，则△ABC

的周长是．

13．已知实数x满足，则=．

14．方程x2﹣|x|﹣1=0的根是．

15．已知：a＜0，化简=．

16．=．

17．如果不等式组的解集是1＜x＜2，求：坐标原点到直线y=ax+b距离．

18．用配方法解方程：x2+x﹣2=0．

19．已知方程x2+（m﹣1）x+m﹣10=0的一个根是3，求m的值及方程的另一个根．

参考答案与试题解析

一．选择题（共3小题）

1．（2014•镇江）已知过点（2，﹣3）的直线y=ax+b（a≠0）不经过第一象限，

设s=a+2b，则s的取值范围是（）

A．﹣5≤s≤﹣B．﹣6＜s≤﹣C．﹣6≤s≤﹣D．﹣7＜s≤﹣

【考点】F7：一次函数图象与系数的关系．

【分析】根据直线y=ax+b（a≠0）不经过第一象限，可知a＜0，b≤0，直线y=ax+b

（a≠0）过点（2，﹣3），可知2a+b=﹣3，依此即可得到s的取值范围．

【解答】解：∵直线y=ax+b（a≠0）不经过第一象限，

∴a＜0，b≤0，

∵直线y=ax+b（a≠0）过点（2，﹣3），

∴2a+b=﹣3，

∴a=，b=﹣2a﹣3，

∴s=a+2b=+2b=b﹣≤﹣，

s=a+2b=a+2（﹣2a﹣3）=﹣3a﹣6＞﹣6，

即s的取值范围是﹣6＜s≤﹣．

故选：B．

【点评】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答

本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．

k＞0时，直线必经过一、三象限；

k＜0时，直线必经过二、四象限；

b＞0时，直线与y轴正半轴相交；

b=0时，直线过原点；

b＜0时，直线与y轴负半轴相交．

2．（2015•南充）关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，

关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个

结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n

≤1，其中正确结论的个数是（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

【考点】AB：根与系数的关系；AA：根的判别式．

【专题】16：压轴题．

【分析】①根据题意，以及根与系数的关系，可知两个整数根都是负数；②根据

根的判别式，以及题意可以得出m2﹣2n≥0以及n2﹣2m≥0，进而得解；③可以

采用根与系数关系进行解答，据此即可得解．

【解答】解：①两个整数根且乘积为正，两个根同号，由韦达定理有，x

1

•x

2

=2n

＞0，y

1

•y

2

=2m＞0，

y

1

+y

2

=﹣2n＜0，

x

1

+x

2

=﹣2m＜0，

这两个方程的根都为负根，①正确；

②由根判别式有：

△=b2﹣4ac=4m2﹣8n≥0，△=b2﹣4ac=4n2﹣8m≥0，

∵4m2﹣8n≥0，4n2﹣8m≥0，

∴m2﹣2n≥0，n2﹣2m≥0，

m2﹣2m+1+n2﹣2n+1=m2﹣2n+n2﹣2m+2≥2，

（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2，②正确；

③由根与系数关系可得2m﹣2n=y

1

y

2

+y

1

+y

2

=（y

1

+1）（y

2

+1）﹣1，

由y

1

、y

2

均为负整数，故（y

1

+1）•（y

2

+1）≥0，故2m﹣2n≥﹣1，

同理可得：2n﹣2m=x

1

x

2

+x

1

+x

2

=（x

1

+1）（x

2

+1）﹣1，得2n﹣2m≥﹣1，即2m﹣2n

≤1，故③正确．

故选：D．

【点评】本题主要考查了根与系数的关系，以及一元二次方程的根的判别式，有

一定的难度，注意总结．

3．（2016•邯郸校级自主招生）设a为﹣的小数部分，b为﹣的小数部分．则﹣

的值为（）

A．+﹣1B．﹣+1C．﹣﹣1D．++1

【考点】7A：二次根式的化简求值．

【分析】首先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，

然后代、化简、运算、求值，即可解决问题．

【解答】解：∵﹣

=﹣

=﹣

=

==，

∴a的小数部分=﹣1；

∵﹣

=

=﹣

=

=，

∴b的小数部分=﹣2，

∴﹣=

=

=

=．

故选B．

【点评】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题；解题的关键是灵活运用二

次根式的运算法则来分析、判断、解答．

二．填空题（共13小题）

4．（2012•麻城市校级自主招生）设直线kx+（k+1）y﹣1=0与坐标轴所构成的

直角三角形的面积为S

k

，则S

1

+S

2

+…+S

2008

=．

【考点】F5：一次函数的性质．

【专题】16：压轴题；2A：规律型．

【分析】先依次计算出S

1

、S

2

等的面积，再依据规律求解．

【解答】解：∵kx+（k+1）y﹣1=0

∴当x=0时，y=；当y=0时，x=

∴Sk=××=，

根据公式可知，S

1

+S

2

+…+S

2008

=[﹣+﹣+…+﹣]=（1﹣）=．

【点评】结合题意依次计算出S

1

、S

2

等的面积，再总结规律，易求解．

5．（2012•北海）如图，点A的坐标为（﹣1，0），点B在直线y=2x﹣4上运动，

当线段AB最短时，点B的坐标是（，﹣）．

【考点】F5：一次函数的性质；J4：垂线段最短．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】作AB′⊥BB′，B′即为当线段AB最短时B点坐标，求出AB′的解析

式，与BB′组成方程组，求出其交点坐标即可．

【解答】解：设AB′解析式为y=kx+b，

∵AB′⊥BB′，BB′解析式为y=2x﹣4，k

1

×k

2

=﹣1，

∴2k=﹣1，

k=﹣，于是函数解析式为y=﹣x+b，

将A（﹣1，0）代入y=﹣x+b得，+b=0，b=﹣，

则函数解析式为y=﹣x﹣，

将两函数解析式组成方程组得，

，

解得，故B点坐标为（，﹣）．

故答案为（，﹣）．

【点评】本题考查了一次函数的性质和垂线段最短，找到B′点是解题的关键，

同时要熟悉待定系数法求函数解析式．

6．（2015•衡阳）如图，△A

1

B

1

A

2

，△A

2

B

2

A

3

，△A

3

B

3

A

4

，…，△A

n

B

n

A

n+1

都是等腰直

角三角形，其中点A

1

、A

2

、…、A

n

在x轴上，点B

1

、B

2

、…、B

n

在直线y=x上，

已知OA

1

=1，则OA

2015

的长为22014．

【考点】F8：一次函数图象上点的坐标特征；KW：等腰直角三角形．

【专题】16：压轴题；2A：规律型．

【分析】根据规律得出OA

1

=1，OA

2

=2，OA

3

=4，OA

4

=8，所以可得OA

n

=2n﹣1，进而解

答即可．

【解答】解：因为OA

1

=1，

∴OA

2

=2，OA

3

=4，OA

4

=8，

由此得出OA

n

=2n﹣1，

所以OA

2015

=22014，

故答案为：22014．

【点评】此题考查一次函数图象上点的坐标，关键是根据规律得出OA

n

=2n﹣1进行

解答．

7．（2013•包头）如图，已知一条直线经过点A（0，2）、点B（1，0），将这条

直线向左平移与x轴、y轴分别交与点C、点D．若DB=DC，则直线CD的函数解

析式为y=﹣2x﹣2．

【考点】F9：一次函数图象与几何变换．

【专题】16：压轴题．

【分析】先求出直线AB的解析式，再根据平移的性质求直线CD的解析式．

【解答】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，

把A（0，2）、点B（1，0）代入，得，

解得，

故直线AB的解析式为y=﹣2x+2；

将这直线向左平移与x轴负半轴、y轴负半轴分别交于点C、点D，使DB=DC，

∴DO垂直平分BC，

∴OC=OB，

∵直线CD由直线AB平移而成，

∴CD=AB，

∴点D的坐标为（0，﹣2），

∵平移后的图形与原图形平行，

∴平移以后的函数解析式为：y=﹣2x﹣2．

故答案为：y=﹣2x﹣2．

【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换，要注意利用一次函数的特点，列

出方程组，求出未知数的值从而求得其解析式；求直线平移后的解析式时要注意

平移时k的值不变，只有b发生变化．

8．（2010•黄石）将函数y=﹣6x的图象l

1

向上平移5个单位得直线l

2

，则直线

l

2

与坐标轴围成的三角形面积为．

【考点】F9：一次函数图象与几何变换．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】易得l

2

的解析式，那么常数项为y轴上的截距，让纵坐标为0可得与x

轴的交点，围成三角形的面积=×x轴交点的绝对值×y轴交点的绝对值．

【解答】解：由题意得l

2

的解析式为：y=﹣6x+5，

∴与y轴的交点为（0，5），

与x轴的交点为（，0），

∴所求三角形的面积=×5×=．

【点评】考查的知识点为：一次函数向上平移，常数项加相应的单位，注意熟练

掌握直线与坐标轴围成三角形的面积=×x轴交点的绝对值×y轴交点的绝对值．

9．（2015•大连）在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（m，3），（3m﹣1，

3），若线段AB与直线y=2x+1相交，则m的取值范围为≤m≤1．

【考点】FF：两条直线相交或平行问题．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】先求出直线y=3与直线y=2x+1的交点为（1，3），再分类讨论：当点B

在点A的右侧，则m≤1≤3m﹣1，当点B在点A的左侧，则3m﹣1≤1≤m，然后

分别解关于m的不等式组即可．

【解答】解：当y=3时，2x+1=3，解得x=1，

所以直线y=3与直线y=2x+1的交点为（1，3），

当点B在点A的右侧，则m≤1≤3m﹣1，解得≤m≤1；

当点B在点A的左侧，则3m﹣1≤1≤m，无解，

所以m的取值范围为≤m≤1．

【点评】本题考查了两直线相交或平行问题：两条直线的交点坐标，就是由这两

条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元一次方程组的解；若两条直线是平

行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．

10．（2012•徐汇区校级模拟）方程组的解是．

【考点】AF：高次方程．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】根据2x﹣y=1，用x表示出y，然后代入第一个方程，得出x的值后代

入，可得出y的值．

【解答】解：由2x﹣y=1，可得：y=2x﹣1，

代入第一个方程可得：3x2﹣（2x﹣1）2﹣（2x﹣1）+3=0，

解得：x

1

=3，x

2

=﹣1，

当x=3时，y=5；当x=﹣1时，y=﹣3；

故方程组的根为：，．

故答案为：，．

【点评】解答此类题目一般用代入法比较简单，先消去一个未知数再解关于另一

个未知数的一元二次方程，把求得结果代入一个较简单的方程中即可．

11．（2014•南通）已知实数m，n满足m﹣n2=1，则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小

值等于4．

【考点】AE：配方法的应用；1F：非负数的性质：偶次方．

【专题】16：压轴题；36：整体思想．

【分析】已知等式变形后代入原式，利用完全平方公式变形，根据完全平方式恒

大于等于0，即可确定出最小值．

【解答】解：∵m﹣n2=1，即n2=m﹣1≥0，m≥1，

∴原式=m2+2m﹣2+4m﹣1=m2+6m+9﹣12=（m+3）2﹣12，

则代数式m2+2n2+4m﹣1的最小值等于（1+3）2﹣12=4．

故答案为：4．

【点评】此题考查了配方法的应用，以及非负数的性质，熟练掌握完全平方公式

是解本题的关键．

12．（2013•绵阳）已知整数k＜5，若△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣

3x+8=0，则△ABC的周长是6或12或10．

【考点】AA：根的判别式；A8：解一元二次方程﹣因式分解法；K6：三角形三边

关系．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】根据题意得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，而整数k＜5，则k=4，方程变形

为x2﹣6x+8=0，解得x

1

=2，x

2

=4，由于△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣

6x+8=0，

所以△ABC的边长可以为2、2、2或4、4、4或4、4、2，然后分别计算三角形

周长．

【解答】解：根据题意得k≥0且（3）2﹣4×8≥0，

解得k≥，

∵整数k＜5，

∴k=4，

∴方程变形为x2﹣6x+8=0，解得x

1

=2，x

2

=4，

∵△ABC的边长均满足关于x的方程x2﹣6x+8=0，

∴△ABC的边长为2、2、2或4、4、4或4、4、2．

∴△ABC的周长为6或12或10．

故答案为：6或12或10．．

【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b2﹣4ac：

当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当

△＜0，方程没有实数根．也考查了因式分解法解一元二次方程以及三角形三边

的关系．

13．（2012•金牛区三模）已知实数x满足，则=3．

【考点】A9：换元法解一元二次方程．

【专题】16：压轴题．

【分析】先设=y，代入后化为整式方程求解，即可求出答案．

【解答】解：设=y，则原方程可变形为y2﹣y=6，

解得y

1

=﹣2，y

2

=3，

当y

1

=﹣2时，=﹣2，

x2+2x+2=0，

∵△=b2﹣4ac＜0

∴此方程无解，

当y

2

=3时，=3，

x2﹣3x+2=0，

∵△=b2﹣4ac＞0

∴此方程有解，

∴=3；

故答案为：3．

【点评】此题考查了用换元法解分式方程，是常用方法之一，它能够使方程化繁

为简，化难为易，因此对能用此方法解的分式方程的特点应该加以注意，并要能

够熟练变形整理．

14．（2011春•桐城市月考）方程x2﹣|x|﹣1=0的根是或．

【考点】A7：解一元二次方程﹣公式法．

【专题】16：压轴题；32：分类讨论．

【分析】分x＞0和x＜0两种情况进行讨论，当x＞0时，方程x2﹣x﹣1=0；当

x＜0时，方程x2+x﹣1=0；分别求符合条件的解即可．

【解答】解：当x＞0时，方程x2﹣x﹣1=0；

∴x=；

当x＜0时，方程x2+x﹣1=0；

∴x=，

∴x=；

故答案为或．

【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣公式法，要特别注意分类讨论思想的

运用．

15．（2004•宁波）已知：a＜0，化简=﹣2．

【考点】73：二次根式的性质与化简．

【专题】16：压轴题．

【分析】根据二次根式的性质化简．

【解答】解：∵原式=﹣=﹣

又∵二次根式内的数为非负数

∴a﹣=0

∴a=1或﹣1

∵a＜0

∴a=﹣1

∴原式=0﹣2=﹣2．

【点评】解决本题的关键是根据二次根式内的数为非负数得到a的值．

16．（2013•庄浪县校级模拟）观察下列二次根式的化简：，，，…从计算结果中找

到规律，再利用这一规律计算下列式子的值．=2009．

【考点】76：分母有理化．

【专题】16：压轴题；2A：规律型．

【分析】先将第一个括号内的各项分母有理化，此时发现，除第二项和倒数第二

项外，其他各项的和为0，由此可计算出第一个括号的值，然后再计算和第二个

括号的乘积．

【解答】解：原式=（﹣1+﹣+﹣+…+﹣）（+1）

=（﹣1）（+1）=2009．

【点评】本题考查的是二次根式的分母有理化以及二次根式的加减运算．能够发

现式子的规律是解答此题的关键．

三．解答题（共3小题）

17．（2017春•武侯区校级月考）如果不等式组的解集是1＜x＜2，求：坐标原

点到直线y=ax+b距离．

【考点】FD：一次函数与一元一次不等式．

【分析】根据不等式组的解集是1＜x＜2，得到关于a，b的二元一次方程组，

解方程组得到a，b的值，再根据互相垂直的两条直线的关系可得经过原点并且

与直线y=ax+b垂直的直线解析式，联立两直线解析式可得交点坐标，再根据勾

股定理即可求解．

【解答】解：，

解①得x＞﹣2a+b+4，

解②得x＜，

∵不等式组的解集是1＜x＜2，

∴2a+b+4=1，

解②得x＜，

∴，

解得，

∴直线y=ax+b的解析式为y=x﹣1，

∴经过原点并且与直线y=ax+b垂直的直线解析式为y=﹣x，

联立两解析式，

解得，

由勾股定理可得坐标原点到直线y=ax+b距离为=．

【点评】考查了一次函数与一元一次不等式，互相垂直的两条直线的关系，勾股

定理，方程思想，解题的关键是得到a，b的值．

18．（2013•甘肃模拟）用配方法解方程：x2+x﹣2=0．

【考点】A6：解一元二次方程﹣配方法．

【专题】16：压轴题．

【分析】先把常数项﹣2移项后，再在方程的左右两边同时加上一次项系数1的

一半的平方，然后配方，再进行计算即可．

【解答】解：配方，得x2+x﹣=2+，

即=，

所以x+=或x+=﹣．

解得x

1

=1，x

2

=﹣2．

【点评】此题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项

移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系

数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为

1，一次项的系数是2的倍数．

19．（2012•常德模拟）已知方程x2+（m﹣1）x+m﹣10=0的一个根是3，求m的

值及方程的另一个根．

【考点】A5：解一元二次方程﹣直接开平方法；A3：一元二次方程的解．

【专题】11：计算题；16：压轴题．

【分析】一元二次方程的根就是能够使方程左右两边相等的未知数的值，即用这

个数代替未知数所得式子仍然成立；将x=3代入原方程即可求得m及另一根的值．

【解答】解：∵方程x2+（m﹣1）x+m﹣10=0的一个根是3，

∴方程9+3（m﹣1）+m﹣10=0，

即4m﹣4=0，

解得m=1；

有方程x2﹣9=0，

解得x=±3，

所以另一根为﹣3．

【点评】本题考查的是一元二次方程的根的定义．

考点卡片

1．非负数的性质：偶次方

偶次方具有非负性．

任意一个数的偶次方都是非负数，当几个数或式的偶次方相加和为0时，则其中

的每一项都必须等于0．

2．二次根式的性质与化简

（1）二次根式的基本性质：①a≥0；a≥0（双重非负性）．②（a）2=a（a≥0）

（任何一个非负数都可以写成一个数的平方的形式）．③a2=a（a≥0）（算术平方

根的意义）

（2）二次根式的化简：①利用二次根式的基本性质进行化简；②利用积的算术

平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．ab=a•bab=ab

（3）化简二次根式的步骤：①把被开方数分解因式；②利用积的算术平方根的

性质，把被开方数中能开得尽方的因数（或因式）都开出来；③化简后的二次根

式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2．

【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法

1．常见题型：与分式的化简求值相结合．

2．解题方法：

（1）化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简．

（2）代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果．

（3）检验结果：所得结果为最简二次根式或整式．

3．分母有理化

（1）分母有理化是指把分母中的根号化去．

分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或与原分母组成平方差公式．

例如：①1a=aa•a=aa；②1a+b=a﹣b（a+b）（a﹣b）=a﹣ba﹣b．

（2）两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式，这样的两个代

数式成互为有理化因式．

一个二次根式的有理化因式不止一个．

例如：2﹣3的有理化因式可以是2+3，也可以是a（2+3），这里的a可以是任意

有理数．

4．二次根式的化简求值

二次根式的化简求值，一定要先化简再代入求值．

二次根式运算的最后，注意结果要化到最简二次根式，二次根式的乘除运算要与

加减运算区分，避免互相干扰．

5．一元二次方程的解

（1）一元二次方程的解（根）的意义：

能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含

有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为

一元二次方程的根．

（2）一元二次方程一定有两个解，但不一定有两个实数解．这x

1

，x

2

是一元二

次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两实数根，则下列两等式成立，并可利用这两个

等式求解未知量．

ax

1

2+bx

1

+c=0（a≠0），ax

2

2+bx

2

+c=0（a≠0）．

6．解一元二次方程-直接开平方法

形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一

元二次方程．

如果方程化成x2=p的形式，那么可得x=±；

如果方程能化成（nx+m）2=p（p≥0）的形式，那么nx+m=±．

注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数．

②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程．

③方法是根据平方根的意义开平方．

7．解一元二次方程-配方法

（1）将一元二次方程配成（x+m）2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种

解一元二次方程的方法叫配方法．

（2）用配方法解一元二次方程的步骤：

①把原方程化为ax2+bx+c=0（a≠0）的形式；

②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边

是一个负数，则判定此方程无实数解．

8．解一元二次方程-公式法

（1）把x=﹣b±b2﹣4ac2a（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）

的求根公式．

（2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法．

（3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为：

①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）；

②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）；

③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根．

注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0．

9．解一元二次方程-因式分解法

（1）因式分解法解一元二次方程的意义

因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一

元二次方程最常用的方法．

因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因

式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次

方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次

方程的问题了（数学转化思想）．

（2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤：

①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③

令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们

的解就都是原方程的解．

10．换元法解一元二次方程

1、解数学题时，把某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从而使问题

得到简化，这叫换元法．

换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研

究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、

复杂问题简单化，变得容易处理．

2、我们常用的是整体换元法，是在已知或者未知中，某个代数式几次出现，而

用一个字母来代替它从而简化问题，当然有时候要通过变形才能发现．把一些形

式复杂的方程通过换元的方法变成一元二次方程，从而达到降次的目的．

11．根的判别式

利用一元二次方程根的判别式（△=b2﹣4ac）判断方程的根的情况．

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2﹣4ac有如下关系：

①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；

②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；

③当△＜0时，方程无实数根．

上面的结论反过来也成立．

12．根与系数的关系

（1）若二次项系数为1，常用以下关系：x

1

，x

2

是方程x2+px+q=0的两根时，x

1

+x

2

=

﹣p，x

1

x

2

=q，反过来可得p=﹣（x

1

+x

2

），q=x

1

x

2

，前者是已知系数确定根的相关

问题，后者是已知两根确定方程中未知系数．

（2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x

1

，x

2

是一元二次方程ax2+bx+c=0

（a≠0）的两根时，x

1

+x

2

=，x

1

x

2

=，反过来也成立，即=﹣（x

1

+x

2

），=x

1

x

2

．

（3）常用根与系数的关系解决以下问题：

①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一

个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x

1

2+x

2

2等

等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母

的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a

≠0，△≥0这两个前提条件．

13．配方法的应用

1、用配方法解一元二次方程．

配方法的理论依据是公式a2±2ab+b2=（a±b）2

配方法的关键是：先将一元二次方程的二次项系数化为1，然后在方程两边同时

加上一次项系数一半的平方．

2、利用配方法求二次三项式是一个完全平方式时所含字母系数的值．

关键是：二次三项式是完全平方式，则常数项是一次项系数一半的平方．

3、配方法的综合应用．

14．高次方程

（1）高次方程的定义：整式方程未知数次数最高项次数高于2次的方程，称为

高次方程．

（2）高次方程的解法思想：

通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解．所以解高次方程一般要

降次，即把它转化成二次方程或一次方程．也有的通过因式分解来解．

对于5次及以上的一元高次方程没有通用的代数解法和求根公式（即通过各项系

数经过有限次四则运算和乘方和开方运算无法求解），这称为阿贝尔定理．换句

话说，只有三次和四次的高次方程可用根式求解．

15．一次函数的性质

一次函数的性质：

k＞0，y随x的增大而增大，函数从左到右上升；k＜0，y随x的增大而减小，

函数从左到右下降．

由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线

与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半

轴．

16．一次函数图象与系数的关系

由于y=kx+b与y轴交于（0，b），当b＞0时，（0，b）在y轴的正半轴上，直线

与y轴交于正半轴；当b＜0时，（0，b）在y轴的负半轴，直线与y轴交于负半

轴．

①k＞0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、三象限；

②k＞0，b＜0⇔y=kx+b的图象在一、三、四象限；

③k＜0，b＞0⇔y=kx+b的图象在一、二、四象限；

④k＜0，b＜0⇔y=kx+b的图象在二、三、四象限．

17．一次函数图象上点的坐标特征

一次函数y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）的图象是一条直线．它与x轴的交

点坐标是（﹣，0）；与y轴的交点坐标是（0，b）．

直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b．

18．一次函数图象与几何变换

直线y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数）

①关于x轴对称，就是x不变，y变成﹣y：﹣y=kx+b，即y=﹣kx﹣b；

（关于X轴对称，横坐标不变，纵坐标是原来的相反数）

②关于y轴对称，就是y不变，x变成﹣x：y=k（﹣x）+b，即y=﹣kx+b；

（关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标是原来的相反数）

③关于原点对称，就是x和y都变成相反数：﹣y=k（﹣x）+b，即y=kx﹣b．

（关于原点轴对称，横、纵坐标都变为原来的相反数）

19．一次函数与一元一次不等式

（1）一次函数与一元一次不等式的关系

从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x

的取值范围；

从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点

的横坐标所构成的集合．

（2）用画函数图象的方法解不等式kx+b＞0（或＜0）

对应一次函数y=kx+b，它与x轴交点为（﹣，0）．

当k＞0时，不等式kx+b＞0的解为：x＞，不等式kx+b＜0的解为：x＜；

当k＜0，不等式kx+b＞0的解为：x＜，不等式kx+b＜0的解为：x＞．

20．两条直线相交或平行问题

直线y=kx+b，（k≠0，且k，b为常数），当k相同，且b不相等，图象平行；当

k不同，且b相等，图象相交；当k，b都相同时，两条线段重合．

（1）两条直线的交点问题

两条直线的交点坐标，就是由这两条直线相对应的一次函数表达式所组成的二元

一次方程组的解．

（2）两条直线的平行问题

若两条直线是平行的关系，那么他们的自变量系数相同，即k值相同．

例如：若直线y

1

=k

1

x+b

1

与直线y

2

=k

2

x+b

2

平行，那么k

1

=k

2

．

21．垂线段最短

（1）垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂

线段．

（2）垂线段的性质：垂线段最短．

正确理解此性质，垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最

短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言．

（3）实际问题中涉及线路最短问题时，其理论依据应从“两点之间，线段最短”

和“垂线段最短”这两个中去选择．

22．三角形三边关系

（1）三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边．

（2）在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三

个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条

线段能构成一个三角形．

（3）三角形的两边差小于第三边．

（4）在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这

是一个隐藏的定时炸弹，容易忽略．

23．等腰直角三角形

（1）两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形．

（2）等腰直角三角形是一种特殊的三角形，具有所有三角形的性质，还具备等

腰三角形和直角三角形的所有性质．即：两个锐角都是45°，斜边上中线、角

平分线、斜边上的高，三线合一，等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R，

而高又为内切圆的直径（因为等腰直角三角形的两个小角均为45°，高又垂直

于斜边，所以两个小三角形均为等腰直角三角形，则两腰相等）；

（3）若设等腰直角三角形内切圆的半径r=1，则外接圆的半径R=+1，所以r：

R=1：+1．