一元二次方程

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一元二次方程的概念及解法和讲义

知识点一：一元二次方程的概念

(1)定义：只含有一个未知数

．．．．．．．．

，并且未知数的最高次数是

．．．．．．．．．

2

．

，这样的整式方程

．．．．

就

是一元二次方程。

(2)一般表达式：)0(02acbxax

(3)四个特点：

(1)只含有一个未知数；

(2)且未知数次数最高次数是2；

(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式

方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02acbxax的形式，

则这个方程就为一元二次方程．

（4）将方程化为一般形式：02cbxax时，应满足（a≠0）

例1：下列方程①x2+1=0；②2y(3y-5)=6y2+4；③ax2+bx+c=0；④035

1

x

x

，

其中是一元二次方程的有。

变式:方程：①1

3

1

22

x

x②05222yxyx③0172x④

0

2

2



y

中一元

二次程的是。

例2：一元二次方程12)3)(31(2xxx化为一般形式为：，

二次项系数为：，一次项系数为：，常数项为：。

变式1：一元二次方程3（x—2）2＝5x－1的一般形式

是，二次项系数是，一次项系数

是，常数项是。

变式2：有一个一元二次方程，未知数为y，二次项的系数为－1，一次项的系数

为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。

例3：在关于x的方程(m-5)xm-7+(m+3)x-3=0中:当m=_____时，它是一元二次方

程；当m=_____时，它是一元一次方程。

变式1：已知关于x的方程(m+1)x2－mx+1=0，它是（）

A．一元二次方程B．一元一次方程

C．一元一次方程或一元二次方程D．以上答案都不对

变式2：当m时，关于x的方程5)3(72xxmm是一元二次方程

知识点二：一元二次方程的解

（1）概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

（2）应用：利用根的概念求代数式的值；

【典型例题】

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1.已知

2x

是一元二次方程220xmx

的一个解，则m的值是（）

A．

3

B．

3

C．0D．0或

3

2.已知322yy的值为2，则1242yy的值为。

3.若x=a是方程x2-x-2015=0的根，则代数式2a2-2a-2015值

为。

4.关于x的一元二次方程04222axxa的一个根为0，则a的值

为。

5.已知关于x的一元二次方程002acbxax的系数满足

0cba

，则

此方程必有一根为。

【举一反三】

1.已知关于x的方程260xkx的一个根为3x，则实数

k

的值为（）

A．1B．1C．2D．2

2.若m2-5m+2=0，则2m2-10m+2016=。

3.若关于x的方程（a+3）x2-2x+a2-9=0有一个根为0，则a=。

4.一元二次方程ax2+bx+c=0，若4a-2b+c=0，则它的一个根是。

5.若x=1是关于x的一元二次方程002acbxax一个根,求代数式

2007(a+b+c)的值

知识点三：解一元二次方程

一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.

一：直接开平方法

利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平

方法。直接开平方法适用于解形如2()xmn的一元二次方程。根据平方根的定

义可知，xm是n的平方根，当0n时，xmn，xmn，当n<0

时，方程没有实数根。用直接开平方法解一元二次方程的理论根据是平方根的定

义，达到降次转化之目的。

（1）形如)0(2ppx的方程的解是x=p。当p=0时，xx21

0

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（2）形如02ppnmx的方程的解为x=

pn

m



。

形如02nmax的方程可先化成2n

xa

m



的形式，再用直接开

平方法解。

【例题讲解】

1、方程（x-2）2=9的解是（）

A．x

1

=5，x

2

=-1B．x

1

=-5，x

2

=1C．x

1

=11，x

2

=-7D．x

1

=-11，x

2

=7

2、若方程x2=m的解是有理数，则实数m不能取下列四个数中的（）

A．1B．4C．

1

4

D．

1

2

3、对于形如px2的一元二次方程，能直接开平方的条件是

___________________。

4、方程0162x的根是________________________。

5、用直接开平方法解下列方程：

（1）

81162x（2）24

3

22m

(3)02592x（4）0364122x

【同步训练】

1、用直接开平方法解方程（x-3）2=8，得方程的根为（）

A．x=3+23B．x

1

=3+22，x

2

=3-22

C．x=3-22D．x

1

=3+23，x

2

=3-23

2、方程

1

2

（x-3）2=0的根是（）

A．x=3B．x=0C．x

1

=x

2

=3D．x

1

=3，x

2

=-3

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3、方程900622x的根是________________________。

4、方程16922t的根是_____________________。

5、用直接开平方法解下列方程：

（1）072x（2）128

2

112y

（3）09)13(42x（4）9161642xx

二：配方法

配方法：将形如20(0)axbxca的一类方程，化为2()mxnp形

式求解的方法叫做配方法。

一般步骤：（1）把常数项移到方程右边；

（2）方程两边同除以二次项系数，化二次项系数为1；

（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方；

（4）原方程变形为2()xmn的形式；

5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如

果右边是负数，则一元二次方程无解．

【例题讲解】

1、用配方法解关于x的一元二次方程x2-2x-3=0，配方后的方程可以是（）

A．（x-1）2=4B．（x+1）2=4C．（x-1）2=16D．（x+1）2=16

2、若一元二次方程式x2-2x-3599=0的两根为a、b，且a＞b，则2a-b之值为何？

（）

A．-57B．63C．179D．181

3、用适当的数填空：

①、x2+6x+=（x+）2②、x2－5x+=（x－）2；

③、x2+x+=（x+）2④、x2－9x+=（x－）

2

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4、将二次三项式2x2-3x-5进行配方，其结果为_________．

5、已知4x2-ax+1可变为（2x-b）2的形式，则ab=_______．

6、将x2-2x-4=0用配方法化成（x+a）2=b的形式为_______，•所以方程的根

为_________．

7、若x2+6x+m2是一个完全平方式，则m的值是

8、用配方法解下列方程：

（1）

015122xx

（2）

982xx

（3）

2532xx

（4）

044

4

1

2xx

（5）0342xx（6）xx7422

9、用配方法求解下列问题

（1）求2x2-7x+2的最小值；（2）求-3x2+5x+1的最大值。

【举一反三】

1．把方程x+3=4x配方，得（）

A．（x-2）2=7B．（x+2）2=21C．（x-2）2=1D．（x+2）2=2

2．用配方法解方程x2+4x=10的根为（）

A．2±10B．-2±

14

C．-2+10D．2-10

3.用配方法解下列一元二次方程

（1）9642xx（2）0542xx

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（3）

01322xx

（4）

07232xx

三：公式法

（1）公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的

一般方法。

由配方法得

22

22

bcb

x

aaa









，化简：

2

2

224

bcb

x

aaa









2

2

22

4

244

bacb

x

aaa









2

2

2

4

24

bbac

x

aa











2

2

4

24

bbac

x

aa





24

22

bbac

x

aa





24

2

bbac

x

a





一元二次方程)0(02acbxax的求根公式：

)04(

2

4

2

2





acb

a

acbb

x

2

1

4

2

bbac

x

a



，

2

2

4

2

bbac

x

a





公式法的步骤：就把一元二次方程的各系数分别代入，这里a为一次项系数，b

为二次项系数，c为常数项。

【典型例题】

例1：一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），当b2-4ac≥0时，它的根

是_____，当b-4ac<0时，方程_________．

例2：用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_______，x

1

=_____，x

2

=________．

例3：一元二次方程x2-2x-m=0可以用公式法解，则m=（）．

A．0B．1C．-1D．±1

例4：不解方程，判断所给方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实

数根的方程有（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

例5：方程（x+1）（x-3）=5的解是（）

A．x

1

=1，x

2

=-3B．x

1

=4，x

2

=-2C．x

1

=-1，x

2

=3D．x

1

=-4，x

2

=2

例6：一元二次方程

06222xx

的根是（）

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A.2

21

xxB.22,0

21

xx

C.23,2

21

xxD.23,2

21

xx

例7：一元二次方程x2-3x-1=0的解是。

例8：用公式法解下列方

（1）23520xx；（2）22330xx；（3）2210xx

；

例9：若x2-xy-3y2=0（y＞0），求

y

x

的值．

【举一反三】

1.用公式法解方程x2=-8x-15，其中b2-4ac=_______，x

1

=_____，x

2

=________．

2.用公式法解方程4y2=12y+3，得到（）

A．y=

36

2



B．y=

36

2



C．y=

323

2



D．y=

323

2



3.不解方程，判断所给方程：①x2+3x+7=0；②x2+4=0；③x2+x-1=0中，有实数

根的方程有（）

A．0个B．1个C．2个D．3个

4.用公式法解方程

(1)x2+15x=-3x;(2)x2+x-6=0;(3)3x2-6x-2=0;(4)4x2-6x=0

四：因式分解法

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因式分解法的步骤是：

（1）将方程右边化为0；

（2）将方程左边分解为两个一次因式的乘积：

（3）令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它

们的解就是原一元二次方程的解.

例题讲解：

(1)x2＋12x＝0；(2)4x2－1＝0；（3）042)2(2xx；

练习巩固：

(2)x2－4x－21＝0；(3)(x－1)(x＋3)＝12；(3)3x2＋2x－1＝0；

(4)10x2－x－3＝0；(5)(x－1)2－4(x－1)－21＝0．

练习巩固

用适当方法解下列方程

(1)x2－4x＋3＝0；(2)(x－2)2＝256；（3）x2－3x＋1＝0；

(4)x2－2x－3＝0；（5）(2t＋3)2＝3(2t＋3)；(6)(3－y)2＋y2＝9；

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(7)7－2x2=－15（8）030222xx(9)2x2－8x＝7

(10)5x2－(52＋1)x＋10＝0；(11)(x＋5)2－2(x＋5)－8＝0．

知识点四：判定根的情况（韦达定理）

根的判别式及应用（Δ=240bac）

判定一元二次方程根的情况：

Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；

Δ＝0，方程有两个相等的实数根；

Δ＜0，方程没有实数根.

确定字母的值或取值范围：应用根的判别式，其前提为二次项系数不为0.

韦达定理：实系数一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）存在实数解x

1

，x

2

，那

么x

1

+x

2

=-

b

a

，x

1

x

2

=

c

a

.这是在初中时韦达定理的定义，但在高中时应用就更为

广阔.由代数基本定理可推得：任何一元n次方程在复数集中必有根，因此，该

方程的左端可以在复数范围内分解成一次因式的乘积形式，两端比较系数即得

韦达定理，所以韦达定理在复数范围内同样适用.

一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）在有解的情况下，两个解为x

1

=

24

2

bbac

a



，

x

2

=

24

2

bbac

a



，通过计算得到结论x

1

+x

2

=-

b

a

，x

1

x

2

=

c

a

.

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例1、已知关于x的一元二次方程x2-2x+k=0

（1）方程有两个不相等的实数根，求

k

的取值范围；

（2）在（1）中当k取最大整数时，求所得方程的实数根.

2、已知关于x的方程kx2+1kx-2=0有两个不相等的实数根

．．．．．．．．．

，求k的取值范围.

例2已知x

1

，x

2

是方程2x2+14x－16=0的两实数根，求21

12

xx

xx

的值.

练习：1.已知x

1

,x

2

是方程3x2+2x-1=0的两个实数根，求22

12

xx的值.

2.设α，β是一元二次方程x2+3x-7=0的两个实数根，求α2+4α+β的值.

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综合练习

1、如果关于x的方程x2+px+q=0的两个根是x

1

，x

2

，那么x

1

+x

2

=-p，x

1

·x

2

=q．请

根据以上结论，解决下列问题：

（1）已知关于x的方程x2+mx+n=0（n≠0），求出一个一元二次方程，使它的两

根分别是已知方程两根的倒数；

（2）已知a，b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，求

ab

ba



的值；

（3）已知a，b，c均为实数，且a+b+c=0，abc=16，求正数c的最小值．

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2、若x

1

，x

2

是一元二次方程ax2+bx+c=0的两根，则有x

1

+x

2

=

b

a



，x1

x

2

=

c

a

.

这是一元二次方程根与系数的关系，我们可以利用它来解题.例如,已知x

1

，

x2

是方程x2+6x-3=0的两根，求x

1

2+x

2

2的值.

解法如下：

∵x

1

+x

2

=-6，x

1

x

2

=-3，

∴x

1

2+x

2

2=(x

1

+x

2

)2-2x

1

x

2

=（-6）2-2×（-3）=42.

若x

1

，x

2

是方程x2+2x-2007=0的两个根，试求下列各式的值：

(1)x

1

2+x

2

2；(2)

12

11

xx

；(3)(x1

-5)(x

2

-5)；(4)

12

||xx．

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