正弦定理和余弦定理

寻找最适合自己的学习方法

1

正弦定理和余弦定理

高考风向1.考查正弦定理、余弦定理的推导；2.利用正、余弦定理判断三角形的形状和解三角形；

3.在解答题中对正弦定理、余弦定理、面积公式以及三角函数中恒等变换、诱导公式等知识点进行综合考查．

学习要领1.理解正弦定理、余弦定理的意义和作用；2.通过正弦、余弦定理实现三角形中的边角转

换，和三角函数性质相结合．

1．正弦定理：

a

sinA

＝

b

sinB

＝

c

sinC

＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．由正弦定理可以变形：(1)a∶b∶c

＝sin_A∶sin_B∶sin_C；(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；(3)sinA＝

a

2R

，sinB＝

b

2R

，sinC＝

c

2R

等形式，解决不同的三角形问题．

2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝a2＋c2－2accos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C．余弦定理可以变形：

cosA＝

b2＋c2－a2

2bc

，cosB＝

a2＋c2－b2

2ac

，cosC＝

a2＋b2－c2

2ab

.

3．S△ABC

＝

1

2

absinC＝

1

2

bcsinA＝

1

2

acsinB＝

abc

4R

＝

1

2

(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R、

r.

4．在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：

A为锐角A为钝角或直角

图形

关系式a＝bsinA

bsinA

a≥b

a>b

解的个数一解两解一解一解

[难点正本疑点清源]

1．在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在△ABC中，

A>B⇔a>b⇔sinA>sinB；tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC；在锐角三角形中，cosA

2．根据所给条件确定三角形的形状，主要有两种途径：

(1)化边为角；(2)化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换．

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1．在△ABC中，若A＝60°，a＝3，则

a＋b＋c

sinA＋sinB＋sinC

＝________.

2．(2012·福建)已知△ABC的三边长成公比为2的等比数列，则其最大角的余弦值为________．

3．(2012·重庆)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cosA＝

3

5

，cosB＝

5

13

，b＝3，则c＝

________.

4．(2011·课标全国)在△ABC中，B＝60°，AC＝3，则AB＋2BC的最大值为________．

5．已知圆的半径为4，a、b、c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝162，则三角形的面积为()

A．22B．82

C.2D.

2

2

题型一利用正弦定理解三角形

例1在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°.求角A、C和边c.

思维启迪：已知两边及一边对角或已知两角及一边，可利用正弦定理解这个三角形，但要注意解的个

数的判断．

探究提高(1)已知两角及一边可求第三角，解这样的三角形只需直接用正弦定理代入求解即可．

(2)已知两边和一边对角，解三角形时，利用正弦定理求另一边的对角时要注意讨论该角，这是解题的

难点，应引起注意．

已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a＝1，b＝3，A＋C＝2B，

则角A的大小为________．

题型二利用余弦定理求解三角形

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3

例2在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，且

cosB

cosC

＝－

b

2a＋c

.

(1)求角B的大小；

(2)若b＝13，a＋c＝4，求△ABC的面积．

思维启迪：由

cosB

cosC

＝－

b

2a＋c

，利用余弦定理转化为边的关系求解．

探究提高(1)根据所给等式的结构特点利用余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键．

(2)熟练运用余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用．

已知A，B，C为△ABC的三个内角，其所对的边分别为a，b，c，且2cos2

A

2

＋cosA＝0.

(1)求角A的值；

(2)若a＝23，b＋c＝4，求△ABC的面积．

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题型三正弦定理、余弦定理的综合应用

例3(2012·课标全国)已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，acosC＋3asinC－b－c＝

0.

(1)求A；

(2)若a＝2，△ABC的面积为3，求b，c.

思维启迪：利用正弦定理将边转化为角，再利用和差公式可求出A；面积公式和余弦定理相结合，可求

出b，c.

探究提高在已知关系式中，若既含有边又含有角．通常的思路是将角都化成边或将边都化成角，再

结合正、余弦定理即可求角．

在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c.

(1)若c＝2，C＝

π

3

，且△ABC的面积为3，求a，b的值；

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代数化简或三角运算不当致误

典例：(12分)在△ABC中，若(a2＋b2)sin(A－B)＝(a2－b2)·sin(A＋B)，试判断△ABC的形状．

审题视角(1)先对等式化简，整理成以单角的形式表示．

(2)判断三角形的形状可以根据边的关系判断，也可以根据角的关系判断，所以可以从以下两种不同方

式切入：一、根据余弦定理，进行角化边；二、根据正弦定理，进行边化角．

温馨提醒(1)利用正弦、余弦定理判断三角形形状时，对所给的边角关系式一般都要先化为纯粹的边

之间的关系或纯粹的角之间的关系，再判断．

(2)本题也可分析式子的结构特征，从式子看具有明显的对称性，可判断图形为等腰或直角三角形．

(3)易错分析：①方法一中由sin2A＝sin2B直接得到A＝B，其实学生忽略了2A与2B互补的情况，由

于计算问题出错而结论错误．方法二中由c2(a2－b2)＝(a2＋b2)(a2－b2)不少同学直接得到c2＝a2＋b2，其

实是学生忽略了a2－b2＝0的情况，由于化简不当致误．②结论表述不规范．正确结论是△ABC为等腰

三角形或直角三角形，而不少学生回答为：等腰直角三角形．

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高考中的解三角形问题

典例：(12分)(2012·辽宁)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.角A，B，C成等差数列．

(1)求cosB的值；

(2)边a，b，c成等比数列，求sinAsinC的值．

解后反思(1)在解三角形的有关问题中，对所给的边角关系式一般要先化为只含边之间的关系或只含

角之间的关系，再进行判断．

(2)在求解时要根据式子的结构特征判断使用哪个定理以及变形的方向.

方法与技巧

1．应熟练掌握和运用内角和定理：A＋B＋C＝π，

A

2

＋

B

2

＋

C

2

＝

π

2

中互补和互余的情况，结合诱导公式可以减

少角的种数．

2．正、余弦定理的公式应注意灵活运用，如由正、余弦定理结合得sin2A＝sin2B＋sin2C－

2sinB·sinC·cosA，可以进行化简或证明．

失误与防范

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1．在利用正弦定理解已知三角形的两边和其中一边的对角求另一边的对角，进而求出其他的边和角时，有

时可能出现一解、两解，所以要进行分类讨论．

2．利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制．

A组专项基础训练

(时间：35分钟，满分：57分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．(2012·广东)在△ABC中，若∠A＝60°，∠B＝45°，BC＝32，则AC等于()

A．43B．23C.3D.

3

2

2．(2011·浙江)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若acosA＝bsinB，则

sinAcosA＋cos2B等于()

A．－

1

2

B.

1

2

C．－1D．1

3．在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若a＝2bcosC，则此三角形一定是()

A．等腰直角三角形B．直角三角形

C．等腰三角形D．等腰三角形或直角三角形

4．(2012·湖南)△ABC中，AC＝7，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于()

A.

3

2

B.

33

2

C.

3＋6

2

D.

3＋39

4

二、填空题(每小题5分，共15分)

5．(2011·北京)在△ABC中，若b＝5，∠B＝

π

4

，sinA＝

1

3

，则a＝________.

6．(2011·福建)若△ABC的面积为3，BC＝2，C＝60°，则边AB的长度等于________．

7．在△ABC中，若AB＝5，AC＝5，且cosC＝

9

10

，则BC＝________.

三、解答题(共22分)

8．(10分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos

A

2

＝

25

5

，AB

→

·AC

→

＝3.

(1)求△ABC的面积；

(2)若b＋c＝6，求a的值．

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8

9．(12分)在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2

B＋C

2

－cos2A＝

7

2

.

(1)求A的度数；

(2)若a＝3，b＋c＝3，求b、c的值．

B组专项能力提升

(时间：25分钟，满分：43分)

一、选择题(每小题5分，共15分)

1．(2012·上海)在△ABC中，若sin2A＋sin2B

A．钝角三角形B．直角三角形

C．锐角三角形D．不能确定

2．(2011·辽宁)△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，则

b

a

等于

()

A．23B．22C.3D.2

3．(2012·湖北)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且

A>B>C,3b＝20acosA，则sinA∶sinB∶sinC为()

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A．4∶3∶2B．5∶6∶7

C．5∶4∶3D．6∶5∶4

二、填空题(每小题5分，共15分)

4．在△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边长，已知a，b，c成等比数列，且a2－c2＝ac－bc，

则∠A＝________，△ABC的形状为__________．

5．在△ABC中，若∠A＝60°，b＝1，S△ABC

＝3，则

a＋b＋c

sinA＋sinB＋sinC

的值为________．

6．在锐角△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若

b

a

＋

a

b

＝6cosC，则

tanC

tanA

＋

tanC

tanB

的值是______．

三、解答题

7．(13分)(2012·浙江)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝

2

3

，

sinB＝5cosC.

(1)求tanC的值；

(2)若a＝2，求△ABC的面积．