实数的定义

初三数学总复习

实数的概念

一：【课前预习】

（一）：【知识梳理】

1.实数的有关概念

(1)有理数:和统称为有理数。

(2)有理数分类

①按定义分:②按符号分:

有理数

()

()0

()

()

()

()



































；有理数

()

()

()

0

()

()

()































（3）相反数：只有不同的两个数互为相反数。若a、b互为相反数，则。

（4）数轴：规定了、和的直线叫做数轴。

（5）倒数：乘积的两个数互为倒数。若a（a≠0）的倒数为

1

a

.则。

（6）绝对值：

（7）无理数：小数叫做无理数。

（8）实数：和统称为实数。

（9）实数和的点一一对应。

2.实数的分类:实数

3.科学记数法、近似数和有效数字

（1）科学记数法：把一个数记成±a×10n的形式（其中1≤a<10，n是整数）

（2）近似数是指根据精确度取其接近准确数的值。取近似数的原则是“四舍五入”。

（3）有效数字：从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字，都叫做这个数字

的有效数字。

（二）：【课前练习】

1．|－22|的值是（）

A．－2B.2C．4D．－4

2．下列说法不正确的是（）

A．没有最大的有理数B．没有最小的有理数

()

()

()

()()

()

()

()

()

()()

()















































































零

C．有最大的负数D．有绝对值最小的有理数

3．在0

0

22

2sin45090.2020020002

273



、、、、、、这七个数中，无理数有（）

A．1个；B．2个；C．3个；D．4个

4．下列命题中正确的是（）

A．有限小数是有理数B．数轴上的点与有理数一一对应

C．无限小数是无理数D．数轴上的点与实数一一对应

5．近似数0.030万精确到位，有个有效数字，用科学记数法表示为万

二：【经典考题剖析】

1．在一条东西走向的马路旁，有青少年宫、学校、商场、医院四家公共场所．已知青少年宫在学校东

300m处，商场在学校西200m处，医院在学校东500m处．若将马路近似地看作一条直线，以学校为原

点，向东方向为正方向，用1个单位长度表示100m．（1）在数轴上表示出四家公共场所的位置；（2）

列式计算青少年宫与商场之间的距离．：

2．下列各数中：-1，0，

169

，

2



，1.1010016.0,



,12,45cos,-60cos,

7

22

,2,



7

22

.

有理数集合{…}；正数集合{…}；

整数集合{…}；自然数集合{…}；

分数集合{…}；无理数集合{…}；

绝对值最小的数的集合{…}；

3.已知(x-2)2+|y-4|+

6z

=0，求xyz的值．．

4．已知a与b互为相反数，c、d互为倒数，m的绝对值是2求3

2

12

2()2()m

m

abcd

m





的值

5.a、b在数轴上的位置如图所示，且a＞b，化简aabba

0

b

a

2、一个数的倒数的相反数是1

1

5

,则这个数是（）

A．

6

5

B．

5

6

C．-

6

5

D．－

5

6

3、一个数的绝对值等于这个数的相反数，这样的数是（）

A．非负数B．非正数C．负数D．正数

4.数轴上的点并不都表示有理数，如图中数轴上的点P所表示的数

是2”，这种说明问题的方式体现的数学思想方法叫做（）

A．代人法B．换元法C．数形结合D．分类讨论

5.若a的相反数是最大的负整数，b是绝对值最小的数，则a＋b=___________．

6.已知xyyx，4,3xy，则3xy

7.光年是天文学中的距离单位，1光年大约是95km，用科学计数法表

示(保留三个有效数字)

8.当a为何值时有：①23a；②20a；③23a

9.已知a与b互为相反数，c、d互为倒数，x的绝对值是2的相反数的负倒数，y不能作除数，求

2

1

2()2()abcdy

x



的值．

10.（1）阅读下面材料：点A、B在数轴上分别表示实数a，b，A、B两点之间的距离表示为|AB|，当A

上两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1－2－4所示，|AB|=|BO|=|b|=|a－b|；当

A、B两点都不在原点时，①如图1－2－5所示，点A、B都在原点的右边，|AB|=|BO|－|OA|=|b|

－|a|=b－a=|a－b|；②如图1－2－6所示，点A、B都在原点的左边，|AB|=|BO|－|OA|=|b|－|a|=

－b－(－a)=|a－b|；③如图1－2－7所示，点A、B在原点的两边多边，

|AB|=|BO|+|OA|=|b|+|a|=a+(－b)=|a－b|

综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a－b|

（2）回答下列问题：

①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_____，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是____，

数轴上表示1和－3的两点之间的距离是______.

②数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是________，如果|AB|=2，那么x为_________．

③当代数式|x+1|+|x－2|=2取最小值时，相应的x的取值范围是_________.

四：【课后小结】

实数的运算

一：【课前预习】

（一）：【知识梳理】

1.有理数加、减、乘、除、幂及其混合运算的运算法则

(1)有理数加法法则：

①同号两数相加，取________的符号，并把__________

②绝对值不相等的异号两数相加，取________________的符号，并用

____________________。互为相反数的两个数相加得____。

③一个数同0相加，__________________。

(2)有理数减法法则：减去一个数，等于加上____________。

(3)有理数乘法法则：

①两数相乘，同号_____，异号_____，并把_________。任何数同0相乘，

都得________。

②几个不等于0的数相乘，积的符号由____________决定。当______________，

积为负，当_____________，积为正。

③几个数相乘，有一个因数为0，积就为__________.

(4)有理数除法法则：

①除以一个数，等于_______________________.__________不能作除数。

②两数相除，同号_____，异号_____，并把_________。0除以任何一个

____________________的数，都得0

(5)幂的运算法则：正数的任何次幂都是___________；负数的__________是负数，

负数的__________是正数

(6)有理数混合运算法则：

先算________，再算__________，最后算___________。

如果有括号，就_______________________________。

2.实数的运算顺序：在同一个算式里，先、，然后，最后．有括号时，

先算里面，再算括号外。同级运算从左到右，按顺序进行。

3.运算律

（1）加法交换律：_____________。（2）加法结合律：____________。

（3）乘法交换律：_____________。（4）乘法结合律：____________。

（5）乘法分配律：_________________________。

4.实数的大小比较

（1）差值比较法：

ab＞0a＞b，ab=0ab，ab＜0a＜b

（2）商值比较法：

若ab、为两正数，则

a

b

＞1a＞b；1;

a

ab

b



a

b

＜1a＜b

（3）绝对值比较法：

若ab、为两负数，则a＞ba＜bababa；；＜ba＞b

（4）两数平方法：如

155137与

5.三个重要的非负数：

（二）：【课前练习】

1.下列说法中，正确的是（）

A．|m|与—m互为相反数B．

2121与

互为倒数

C．1998．8用科学计数法表示为1．9988×102

D．0．4949用四舍五入法保留两个有效数字的近似值为0．50

2.在函数

1

1

y

x





中，自变量x的取值范围是（）

A．x＞1B．x＜1C．x≤1D．x≥1

3.按鍵顺序－1·2÷4＝，结果是。

4.16的平方根是______

5.计算

(1)32÷(－3)2+|－

1

6

|×(－6)+49；(2)2(32-23)-(32+23)

二：【经典考题剖析】

1.已知x、y是实数，234690,3,.xyyaxyxya若求实数的值

2.请在下列6个实数中,计算有理数的和与无理数的积的差:240

1

4,,2,,27,(1)

2

3





3.比较大小:

(1)35211,(2)155137,(3)103与与与3-22

4.探索规律:31=3，个位数字是3；32=9，个位数字是9；33=27，个位数字是7；34=81，个位数字是1；

35=243，个位数字是3；36=729，个位数字是9；…那么37的个位数字是；320的个位

数字是；

5.计算：

（1）

3422

2

1

(2)(1)(12)()

2

0.25413(2)















；（2）1002

211

()(2001tan30)(2)

316

21





三：【课后训练】

1.某公司员工分别住在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C区有10人，

三个住宅区在同一条直线上，位置如图所示，该公司的接送车打算在此间设一个停靠站，为使所有员

工步行到停靠站的路程之和最小，

那么停靠站的位置应设在（）

A．A区；B．B区；C．C区；D．A、B两区之间

2.根据国家税务总局发布的信息，2004年全国税收收入完成25718亿元，比上年增长

25.7%，占2004年国内生产总值（GDP）的19%。根据以上信息，下列说法：①2003年全国税收收入

200m

100m

A

C

B

约为25718×（1-25.7%）亿元；②2003年全国税收收入约为

25718

1+25.7%

亿元；③若按相同的增长率计

算，预计2005年全国税收收入约为25718×（1+25.7%）亿元；④2004年国内生产总值（GDP）约为

25718

19%

亿元。其中正确的有（）

A．①④；B．①③④；C．②③；D．②③④

3.当0＜

x

＜1时，2

1

,,xx

x

的大小顺序是（）

A．

1

x

＜

x

＜2x；B．

1

x

＜2x＜x；C．2x＜x＜

1

x

；D．

x

＜2x＜

1

x

4.设是大于1的实数，若

221

,,

33

aa

a



在数轴上对应的点分别记作A、B、C，则A、B、C三点在数轴

上自左至右的顺序是（）

A．C、B、A；B．B、C、A；C．A、B、C；D．C、A、B

5.现规定一种新的运算“※”：a※b=ab，如3※2=32=9，则

1

2

※3（）

A．

1

8

；B．8；C．

1

6

；D．

3

2

6.火车票上的车次号有两种意义。一是数字越小表示车速越快：1～98次为特快列车；101～198次为直

快列车；301～398次为普快列车；401～498次为普客列车。二是单、双数表示不同的行驶方向，比

如单数表示从北京开出，则双数表示开往北京。根据以上规定，杭州开往北京的某一趟直快列车的车

次号可能是（）

A．20；B．119；C．120；D．319

7.计算：

（1）(

3

－

1

3

)2；⑵(

3

+2)(

3

－2)；⑶

27+3

-1

3

（4）0

1

12+-(2+3)

23

；（5）222334

1111

0.5+(-)--2-4-(-1)()(-)

2232



8.已知：

31

2

321

x

x









，求

35

2

242

x

x

xx













的值

9.观察下列等式：9-1=8，16-4=12，25-9=16，36-16=20，……这些等式反映出自然数间的某种规律，

设n表示自然数，用关于n的等式表示出来

10.小王上周五买进某公司股票1000股，每股25元，在接下来的一周交易日内，小王记下该股票每日

收盘价相比前一天的涨跌情况：（单位：元）

星期一二三四五

每股涨跌+2-0.5+1.5-1.8+0.8

根据表格回答问题

（1）星期二收盘时，该股票每股多少元？

（2）本周内该股票收盘时的最高价、最低价分别是多少？

（3）已知买入股票与卖出股票均需支付成交金额的千分之五的交易费。若小王在本周五以收盘价将传

全部股票卖出，他的收益情况如何？

四：【课后小结】