秦九韶算法

课题：§1.3秦九韶算法

一．教学任务分析:

（1）在理解了算法的三种不同表示方式的基础上，结合算法案例2----秦九韶算法，让学生

经历设计算法解决问题的过程，体验算法在解决问题中的作用.

(2)通过对具体实例的算法分析，画程序框图，编制程序，上机验证的方法理解掌握秦九韶算

法.

(3)通过秦九韶算法所蕴涵的算法思想,培养学生利用算法解决问题的意识.提高逻辑思维能

力.发展有条理的思考与数学表达的能力.

二．教学重点与难点：

教学重点：理解秦九韶算法求一元多项式的值的方法.

教学难点：把秦九韶算法的方法转换成程序框图与程序语言.

三．教学基本流程:

在初中所学多项式的基础上，从函数的观点认识多项式，求自变量取某个

值时多项式（函数）的值，对其算法进行比较.

↓

秦九韶算法

↓

秦九韶算法举例

↓

秦九韶算法分析---程序框图及程序语言

↓

巩固练习，小结、作业

四.教学情境设计:

1．创设情景，揭示课题

我们在初中已经学过了多项式的有关知识,主要解决求多项式的值,那里是把多项式看作

代数式,在这里我们用函数的观点考察多项式.因此,求自变量取某个实数时的函数值问题,即

求多项式的值.那么:

怎样求多项式1)(2345xxxxxxf,当

5x

时的值?

教师引导学生交流讨论解决,归纳学生的解法,对解法的运算效率进行比较分析.

通过统计乘法和加法的运算次数来衡量算法的“好坏”

作法1：把x=5代入f（x），计算各项的值，然后把它们加起来.

一共作了1+2+3+4=10次乘法运算,5次加法运算.

作法2：先计算2x,然后依次计算xxxxxxxxx))((,)(,222的值,这样每次都可以

利用上一次的计算结果,即多项式变形为1)))1(1(1()(2xxxxxxf

一共作了4次乘法运算,5次加法运算.

显然作法2比作法1少了6次乘法运算,提高了运算效率.这种算法就叫秦九韶算法.

2.秦九韶算法

(1)秦九韶：（公元1202-1261年）南宋，数学家。他在1247年（淳佑七年）著成

『数书九章』十八卷．全书共81道题，分为九大类：大衍类、天时类、田域类、测望类、赋

役类、钱谷类、营建类、军旅类、市易类。这是一部划时代的巨著，它总结了前人在开方中

所使用的列筹方法，将其整齐而有系统地应用到高次方程的有理或无理根的求解上去，其中

对「大衍求一术」﹝一次同余组解法）和「正负开方术」﹝高次方程的数值解法）等有十分

深入的研究.

(2)秦九韶算法

0121

012

3

1

2

01

3

2

2

1

1

01

2

2

1

1

)))(((

))((

)(

)(

aaxaxaxa

axaxaxaxa

axaxaxaxa

axaxaxaxaxf

nnn

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n

n















































求多项式在x=

0

x时的值时，按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=

0

x的值.

001

3023

2012

101

00

axvv

axvv

axvv

axav

xv

nn

n

n

nn





















这样，求n次多项式f（x）的值就转化为求n个一次多项式的值。上述方法就是秦九韶算法.

3.秦九韶算法举例

例1:已知一个5次多项式为8.07.16.25.325)(2345xxxxxxf

用秦九韶算法求这个多项式当

5x

时的值.

解：f(x)=((((5x+2)x+3.5)x-2.6)x+1.7)x-0.8

按照从内到外的顺序，依次计算一次多项式当x=5的值.

2.172558.052.3451

2.34517.159.689

9.6896.255.138

5.1385.3527

27255

5

5

4

3

2

1

0













v

v

v

v

v

v

所以,当

5x

时,多项式的值是17255.2.

思考：（1）例1计算时需要多少次乘法计算？多少次加法计算？

（2）在利用秦九韶算法计算n次多项式当

0

xx时需要多少次乘法计算和多少次加法

计算？（要考虑最高次数的系数和项是否缺少某次项，这里1×2=2，1+0=0，可否算作做了

一次乘法和一次加法运算？）

4.秦九韶算法分析

例2设计利用秦九韶算法计算n多项式

01

1

1

)(axaxaxaxfn

n

n

n





,

0

xx时的值的程序框图.

解：观察上述例题的算法,在计算

k

v时要用到

1k

v.若令

n

av

0

,

















),,2,1(

1

0

nkaxvv

av

knkk

n



其算法步骤是:

第一步：输入多项式最高次数n，最高次数的系数

n

a和x的值.

第二步：将v的值初始化为

n

a,将i的值初始化为n-1.

第三步：输入i次项的系数

i

a.

第四步：v=vx+

i

a,i=i-1.

第五步：判断i是否大于或等于0.若是,则返回第三步;否则,输出多项式的值v.

程序框图如下：

输出v

开始

输入n,a

n,,

x的值

i>=0?

v=vx+

i

a

i=i-1

输入

i

a

结束

v=a

n

否

是

i=n-1

INPUT“n=”;n

INPUT“an=”;a

INPUT“x=”;x

v=a

i=n-1

WHILEi>=0

PRINT“i=”;i

INPUT“ai=”;a

v=v*x+a

i=i-1

WEND

PRINTv

END

程序语言

5.课堂练习：

（1）用秦九韶算法求多项式:f(x)=7x7+6x6+5x5+4x4+3x3+2x2+x.

当x=3时的值.

（2）设计利用秦九韶算法计算5次多项式：

01

2

2

3

3

4

4

5

5

)(axaxaxaxaxaxf

当

0

xx时的值的程序框图.

解：程序框图如下：

开始

输入f(x)的系数：

a

1

,a

2

,a

3

,a

4

,a

5

输入x

0

n=1

v=a

5

n≤5

v=vx

0

+a

5-n

n=n+1

输出v

结束

是

否

6.课后作业：

<随堂导练>P

15-16

.

附：教案格式模板

所在单位

所属教研室

课程名称

授课教师

《******》教案（宋体二号，标题加粗）

一、课程性质：（注：填公共基础必修课、公共基础选修课、专业基础必

修课、专业核心必修课、师范技能必修课、师范技能选修课）

二、总学时∕学分:

三、课程类型：理论课（）实践（含实验）课（）

四、学时分配：理论课（）学时实践（含实验）课（）学时

五、授课专业、层次：

六、本课程的教学目的和要求：

七、本课程的教学重点、难点：

八、教材和参考书：

《******》教案内容（宋体二号，标题加粗）

一、章节内容：（正文：宋体五号，标题加粗，18磅）

二、课时：

三、教学目的：

四、教学重点与难点：

五、教学方法：

六、教学过程设计：

小结：

七、作业布置：

八、教具：

想要了解更多，请访问我的豆丁主页：

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