建平中学

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2021-2022年上海市建平中学高二上12月月考

一.填空题

1.已知向量

(1,6,3)a

，则向量a的单位向量的坐标为

2.椭圆

22

1

1625

xy

的焦点坐标为

3.直线220xy和直线3410xy夹角的余弦值为

4.若直线l的倾斜角的范围为

2

(,)(,)

423



，则该直线的斜率的取值范围为

5.已知2222(1)210axayx表示圆，则实数

a

的值是

6.棱长为2的正四面体的两条对棱的距离为

7.已知椭圆

22

1

167

xy

的焦点为

1

F、

2

F，椭圆上的动点P的坐标为(,)

PP

xy，且

12

FPF为钝角，则

P

x的取值

范围是

注意：本试卷中有部分题目分层给出，请按你所在层次选择相应题目解答

8.（B层）已知一个正四面体的顶点是一个正方体的顶点，那么正方体的表面积是正四面体的表面积的

倍

（C层）已知一个直四棱柱的底面是菱形，一个底面的面积为4，两个对角面（过相对侧棱的截面）面积分别为

5和6，那么它的表面积为

9.若直线yxb和曲线22yx恰有一个交点，则实数b的取值范围是

10.（B层）有六根细木条，其中较长的两根木条长分别为

3

、2，其余四根长均为1，若用它们搭成一个三棱

锥，则其中两条较长的棱所在直线所成的角的正弦值为

（C层）若一个四面体各棱长为2或4，且该四面体不是

．．

正四面体，在所有可能的四面体中，计算四面体的体积，

请写出两个

．．

符合条件的四面体的体积（不必写出所有符合条件的四面体的体积）

11.直角坐标平面上任意两点

11

(,)Pxy、

22

(,)Qxy，定义212121

212121

||,||||

(,)

||,||||

xxxxyy

dPQ

yyxxyy













为P、Q两点

的“非常距离”．当平面上动点(,)Mxy到定点(,)Aab的距离满足||3MA时，(,)dMA的取值范围是

12.（B层）如图，在正方体

1111

ABCDABCD中，动点P在正方体的面ABCD上，并且满足12

PD

PB

，则动点

P的轨迹长度为（结果精确到0.001）（C层）如图，在正方体

1111

ABCDABCD中，动点P在正方体的

表面上，并且满足12

PD

PB

，则动点P的轨迹长度为（结果精确到0.001）

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二.选择题

13.设ABC△的顶点(4,0)A、(4,0)C，顶点B在椭圆

22

1

259

xy

上，则

sinsin

sin()

AC

AC





的值是（）

A.

4

3

B.

5

3

C.

4

5

D.

5

4

14.若

a

、b是异面直线，则以下命题中正确的是（）

A.至多有一条直线与

a

、b都垂直B.至多有一个平面分别与

a

、b平行

C.一定存在平面



与

a

、b所成角相等D.一定存在平面



同时垂直于

a

、b

15.设(,)

nnn

Pxy是圆22420xyxy与圆22

1

2n

xy在第一象限的交点，则limn

n

n

y

x

的值为（）

A.2B.2C.

1

2

D.不存在

16.数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，曲线22:1||Cxyxy

就是其中之一（如图）．给出下列三个结

论：

①曲线C上任意一点到原点的距离都不超过

2

；

②曲线C所围成的“心形”区域的面积小于3；

③曲线C恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）.

其中，所有正确结论的序号是（）

A.①②B.①③C.②③D.①②③

三.解答题

17.如图，已知在圆锥SO中，AB为底面圆O的直径，点C为弧AB的中点，SOAB.

（1）证明：AB平面SOC；

（2）若点D为母线SC的中点，求AD与平面SOC所成角的正切值.

B

1

C

1

D

1

A

1

D

P

C

B

A

A

B

C

D

O

S

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18.已知ABC△的顶点(4,2)A，AB边上的中线CM所在直线方程为30xy，AC边上的高BH所在直线

方程为220xy.

（1）求顶点C的坐标；

（2）求点B到直线AC的距离.

19.如图，已知四边形ABCD是正方形，PD平面ABCD，2PDAD.

（1）求点D到平面PAC的距离；

（2）在线段PB上是否存在点E，使PC平面ADE？若存在，求

PE

EB

的值；若不存在，说明理由

D

C

BA

P

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20.给定椭圆

22

22

:1

xy

E

ab



(0)ab，称圆2222xyab为椭圆E的“伴随圆”．已知椭圆E中1b，离

心率为

6

3

.

（1）求椭圆E的方程；

（2）若直线:lykxm与椭圆E交于A、B两点，与其“伴随圆”交于C、D两点，

||13CD

.

①请将2m用含有k的关系式表示（不需给出k的范围）；

②（B层）当2k时，求ABO△的面积.（C层）求弦长||AB的最大值．

21.已知圆22

1

:(3)(1)4Cxy

和圆222

2

:(4)(5)Cxyr

(0)r.

（1）若圆

1

C与圆

2

C相交，求r的取值范围；

（2）若直线:1lykx与圆

1

C交于P、

Q

两点，且

4OPOQ

，求实数k的值；

（3）若2r，设P为平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线

1

l和

2

l，它们分别与圆

1

C和

圆

2

C相交，且直线

1

l被圆

1

C截得的弦长与直线

2

l被圆

2

C截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P的坐标.

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参考答案

一.填空题

1.

163

(,,)

444

2.(0,3)3.

115

25

4.(3,0)(1,)

5.

1

2

a6.27.

4242

(,)

33

8.（B层）

3

；（C层）

2618

9.

[2,2){2}

10.（B层）

3

3

；（C层）

411211214

,,

333

11.

32

[,3]

2

12.（B层）1.439；（C层）4.317

二.选择题

13.D14.C15.A16.B

三.解答题

17.（1）略；（2）

25

5

18.解：（1）设(,)Cmn，AB边上的中线CM所在直线方程为30xy，

AC边上的高BH所在直线方程为220xy，



30

21

()1

42

mn

n

m



















，解得

3

0

m

n











，(3,0)C．

（2）设(,)Bab，则

220

42

30

22

ab

ab

















，解得

10

3

2

3

a

b



















，



102

(,)

33

B，



直线AC的方程为260xy，



点B到直线AC的距离

22

102

|26|

45

33

15

21

d







．

19.解：如图建立空间直角坐标系Dxyz，

∵PD=AD=2，∴D（0，0，0），A（2，0，0），

D

B

C

A

P

O

F

x

y

z

E

第6页

O（1，1，0），B（2，2，0），C（0，2，0），P（0，0，2）．

（1）过DF⊥PO于F，可证DF面PAC，设，OFOP，

则1,1,01,1,21,1,2DFDOOP

由0DFOP得1,1,21,1,21140

，

1

3



∴

222

,,

333

DF









，∴

2222222

3

3333

DF









，∴D到平面PAC的距离

23

3

．

（2）假设在PB上存在E点，使PC⊥平面ADE，设PE=

PB．

∵PB=（2，2，－2），∴PE=（2，2，－2），2,0,2AP，

∴AEAPPE=（2－2，2，22）．要使PC⊥平面ADE，易得PCAD，

故只需使PC⊥AE，也就是

PC

·AE=8－4=0，解得=

1

2

，

∴0,0,21,1,11,1,1DEDPPE，∴E（1，1，1），

所以E为PB的中点，即当1

PE

EB

时，PC⊥平面ADE．

20.解：（1）由

2

2

6

1

3

cb

e

aa

，解得：23a

，椭圆E的方程

2

21

3

x

y．

（2）①“伴随圆”的方程为224xy

，

由||13CD，得圆心

O

到

CD

的距离为

2

133

4

22











．

由

2

||3

2

1

m

k





，整理得22

3

(1)

4

mk

．

②（B层）设

1122

,,,AxyBxy

，当2k时，22

3

()

4

15

1

4

mk

由椭圆的对称性可得当

15

2

m

时，所得ABO△的面积相等，不妨令

5

2

1

m

．

由

2

2

2

2

1

3

15

yx

x

y



















得2

33

136150

4

xx

，

（法1）由韦达定理可知：

12

12

1110

615

13

33

52

xx

xx

























，2

555

||12

1313

AB





第7页

点

O

到直线l的距离为

2

2

2

12

15

3





，

15553185

2132

3

52ABO

S

△

（法2）

1,2

615111

26

x





，不妨令

12

xx，直线l与y轴交点为

0,

2

15

P









，则



1221

1115113185

2222

5

2252

15

ABOAPOBPO

SSSxxxx

△△△

（C层）设

1122

,,,AxyBxy

，由2

21

3

ykxm

x

y















，整理得：222(13)6330kxmkxm

，

由韦达定理可知：

2

12

2

2

12

2

3(91)0

6

31

33

31

k

km

xx

k

m

xx

k































，22

1212

||1()4ABkxxxx

22

22

3(1)(91)

(31)

kk

k







2

42

12

3

961

k

kk



2

2

12

3

1

96k

k







2

2

12

32

1

296k

k





，

当且仅当2

2

1

9k

k



，即

3

3

k

时，取等号，弦长

||AB

的最大值2．

21.解：（1）1212

3,1,4,5,652,2CCCCrr，652,652r

（2）由

2

2

1

3(1)4

ykx

xy















得22(1)650kxx

，所以

2

12

2

12

2

1620

6

1

5

1

0k

xx

k

xx

k































，得

2525

,

55

k











，2

12121212

2

6

11

1

64OPOQxxyykxxxk

k

k

x







，

解得

35

2

k



，经检验得

35

2

k



，所以

35

2

k





（3）设点P坐标为(,)mn，直线

1

l、

2

l的方程分别为：

()ynkxm，

1

()ynxm

k

，即：0kxynkm，

11

0xynm

kk

，

因为直线

1

l被圆

1

C截得的弦长与直线

2

l被圆

2

C截得的弦长相等，两圆半径相等．

由垂径定理，得：圆心

1

C到直线

1

l与

2

C直线

2

l的距离相等．

故有：，

2

2

41

|5|

|31|

1

1

1

nm

knkm

kk

k

k











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化简得：(2)3mnkmn，或(8)5mnkmn，

关于k的方程有无穷多解，有：

20

30

mn

mn











或

80

50

mn

mn











解之得：点P坐标为

313

(,)

22

或

51

(,)

22

．