数学高考试卷2021答案

2021年高考数学（理科）真题试卷（全国甲卷）

一、选择题

（每小题5分，共60分）

1.设集合，则（）

A.B.

C.D.

2.为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据

整理得到如下频率分布直方图：

根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是（）

A.该地农户家庭年收入低于4.5万元的农

户比率估计为6%

B.该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估

计为10%

C.估计该地农户家庭年收入的平均值不超

过6.5万元

D.估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5

万元至8.5万元之间

3.已知，则（）

A.B.

C.D.

4.青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录

法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的

五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（）（）

A.1.5B.1.2

C.0.8D.0.6

5.已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的

离心率为（）

1/15

A.B.

C.D.

6.在一个正方体中，过顶点A的三条棱的中点分别为E，F，G．该正方体截去三棱锥后，所

得多面体的三视图中，正视图如图所示，则相应的侧视图是（）

A.

B.

C.

D.

7.等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（）

A.甲是乙的充分条件但不是必要条件B.甲是乙的必要条件但不是充分条件

C.甲是乙的充要条件D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

8.2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测

量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，

C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰

角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度

差约为（）（）

2/15

A.346B.373

C.446D.473

9.若，则（）

A.B.

C.D.

10.将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为（）

A.B.

C.D.

11.已如A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥

的体积为（）

A.B.

C.D.

12.设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，

．若，则（）

A.

B.

C.

D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.曲线在点处的切线方程为_______________．

14.已知向量．若，则_______________．

15.已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且

，则四边形的面积为_______________．

16.已知函数的部分图像如图所示，则满足条件

的最小正整数x为_______________．

3/15

三、解答题：共70分．解答应写出交字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必

考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17.甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量

，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：

一级品二级品合计

甲机床15050200

乙机床12080200

合计270130400

（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少?

（2）能否有99%的把握认为甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异?

附：

0.0500.0100.001

k3.8416.63510.828

18.已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件

，证明另外一个成立．

①数列是等差数列：②数列是等差数列；③．

注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．

19.已知直三棱柱中，侧面为正方形，，E，F分别为和

的中点，D为棱上的点．

4/15

（1）证明：；

（2）当为何值时，面与面所成的二面角的正弦值最小?

20.抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知

点，且与l相切．

（1）求C，的方程；

（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置

关系，并说明理由．

21.已知且，函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．

22.在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程

为．

（1）将C的极坐标方程化为直角坐标方程；

（2）设点A的直角坐标为，M为C上的动点，点P满足，写出Р的轨迹的参数

方程，并判断C与是否有公共点．

[选修4-5：不等式选讲]

23.已知函数．

5/15

（1）画出和的图像；

（2）若，求a的取值范围．

参考答案

1.B

解析：根据交集定义运算即可

因为，所以,

故选：B.

2.C

解析：根据直方图的意义直接计算相应范围内的频率，即可判定ABD,以各组的中间值作为代表乘以

相应的频率，然后求和即得到样本的平均数的估计值，也就是总体平均值的估计值，计算后即可判

定C.

因为频率直方图中的组距为1，所以各组的直方图的高度等于频率.样本频率直方图中的频率即可作

为总体的相应比率的估计值.

该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户的比率估计值为,故A正确；

该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计值为,故B正确

；

该地农户家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的比例估计值为

,故D正确；

该地农户家庭年收入的平均值的估计值为

(万元)，超过6.5万元，故C错误.

综上，给出结论中不正确的是C.

故选：C.

3.B

解析：由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.

，

.

故选：B.

4.C

解析：根据关系，当时，求出，再用指数表示，即可求解.

由，当时，，

则

6/15

.

故选：C.

5.A 解析：

根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.

因为，由双曲线的定义可得，

所以，；

因为,由余弦定理可得，

整理可得，所以，即.

故选：A

6.D 解析：

根据题意及题目所给的正视图还原出几何体的直观图，结合直观图进行判断.

由题意及正视图可得几何体的直观图，如图所示，

所以其侧视图为

故选：D

7.B

解析：当时，通过举反例说明甲不是乙的充分条件；当是递增数列时，必有成立

即可说明成立，则甲是乙的必要条件，即可选出答案．

由题，当数列为时，满足，

但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．

若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的

，则成立，所以甲是乙的必要条件．

故选：B．

在不成立的情况下，我们可以通过举反例说明，但是在成立的情况下，我们必须要给予其证明过程

．

8.B

解析：通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答

案．

7/15

过作，过作，

故，

由题，易知为等腰直角三角形，所以．

所以．

因为，所以

在中，由正弦定理得：

，

而，

所以

所以．

故选：B．

9.A

解析：由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角

函数的基本关系即可求解.

，

，，，解得，

，.

故选：A.

10.C

解析：采用插空法，4个1产生5个空，分2个0相邻和2个0不相邻进行求解.

将4个1和2个0随机排成一行，可利用插空法，4个1产生5个空，

若2个0相邻，则有种排法，若2个0不相邻，则有种排法，

所以2个0不相邻的概率为.

故选：C.

11.A

解析：由题可得为等腰直角三角形，得出外接圆的半径，则可求得到平面

的距离，进而求得体积.

，为等腰直角三角形，，

8/15

则外接圆的半径为，又球的半径为1，

设到平面的距离为，

则，

所以.

故选：A.

12.D

解析：通过是奇函数和是偶函数条件，可以确定出函数解析式

，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案．

因为是奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因为，所以，

令，由①得：，所以．

思路一：从定义入手．

所以．

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数的周期．

所以．

故选：D．

在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算

的效果．

13.

解析：先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可．

由题，当时，，故点在曲线上．

求导得：，所以．

故切线方程为．

故答案为：．

14..

解析：利用向量的坐标运算法则求得向量的坐标，利用向量的数量积为零求得的值

,

，解得,

故答案为：.

本题考查平面向量的坐标运算，平面向量垂直的条件，属基础题，利用平面向量

垂直的充分必要条件是其数量积.

15.

9/15

解析：根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出

，四边形面积等于，即可求解.

因为为上关于坐标原点对称的两点，

且，所以四边形为矩形，

设，则，

所以，

，即四边形面积等于.

故答案为：.

16.2 解析：

先根据图象求出函数的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正

整数或验证数值可得.

由图可知，即，所以；

由五点法可得，即；

所以.

因为，；

所以由可得或；

因为，所以，

方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，

解得，令，可得，

可得的最小正整数为2.

方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意

，可得的最小正整数为2.

故答案为：2.

17.（1）75%；60%；

（2）能.

解析：

本题考查频率统计和独立性检验，属基础题，根据给出公式计算即可

（1）甲机床生产的产品中的一级品的频率为,

乙机床生产的产品中的一级品的频率为.

（2）,

故能有99%的把握认为甲机床的产品与乙机床的产品质量有差异.

18.答案见解析

解析：选①②作条件证明③时，可设出，结合的关系求出，利用是等差数列可证

；

选①③作条件证明②时，根据等差数列的求和公式表示出，结合等差数列定义可证；

选②③作条件证明①时，设出，结合的关系求出，根据可求，然后

可证是等差数列.

选①②作条件证明③：

10/15

设，则，

当时，；

当时，；

因为也是等差数列，所以，解得；

所以，所以.

选①③作条件证明②：

因为，是等差数列，

所以公差，

所以，即，

因为，

所以是等差数列.

选②③作条件证明①：

设，则，

当时，；

当时，；

因为，所以，解得或；

当时，，当时，满足等差数列的定义，此时

为等差数列；

当时，，不合题意，舍去.

综上可知为等差数列.

19.（1）见解析；（2）

解析：通过已知条件，确定三条互相垂直的直线，建立合适的空间直角坐标系，借助空间向量证明

线线垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，进而可以确定出答案．

因为三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以

因为，，所以，

又，所以平面．

所以两两垂直．

以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图．

11/15

所以，

．

由题设（）．

（1）因为，

所以，所以．

（2）设平面的法向量为，

因为，

所以，即．

令，则

因为平面的法向量为，

设平面与平面的二面角的平面角为，

则．

当时，取最小值为，

此时取最大值为．

所以，

此时．

20.（1）抛物线，方程为；（2）相切，理由见解析

解析：（1）根据已知抛物线与相交，可得出抛物线开口向右，设出标准方程，再利用对称性

设出坐标，由，即可求出；由圆与直线相切，求出半径，即可得出结论；

（2）先考虑斜率不存在，根据对称性，即可得出结论；若斜率存在，由

三点在抛物线上，将直线斜率分别用纵坐标表示，再由与

圆相切，得出与的关系，最后求出点到直线的距离，即可得出结论.

（1）依题意设抛物线，

，

所以抛物线的方程为，

与相切，所以半径为，

所以的方程为；

（2）设

若斜率不存在，则方程为或，

若方程为，根据对称性不妨设，

则过与圆相切的另一条直线方程为，

此时该直线与抛物线只有一个交点，即不存在，不合题意；

若方程为，根据对称性不妨设

则过与圆相切的直线为，

又，

12/15

，此时直线关于轴对称，

所以直线与圆相切；

若直线斜率均存在，

则，

所以直线方程为，

整理得，

同理直线的方程为，

直线的方程为，

与圆相切，

整理得，

与圆相切，同理

所以为方程的两根，

，

到直线的距离为：

，

所以直线与圆相切；

综上若直线与圆相切，则直线与圆相切.

21.（1）上单调递增；上单调递减；（2）.

解析：（1）求得函数的导函数，利用导函数的正负与函数的单调性的关系即可得到函数的单调性；

（2）利用指数对数的运算法则，可以将曲线与直线有且仅有两个交点等价转化为方

程有两个不同的实数根，即曲线与直线有两个交点，利用导函数研究

的单调性，并结合的正负，零点和极限值分析的图象，进而得到，发

现这正好是，然后根据的图象和单调性得到的取值范围.

（1）当时，,

令得,当时，,当时，,

∴函数在上单调递增；上单调递减；

（2）,设函数,

则,令，得,

在内,单调递增；

在上,单调递减；

,

又，当趋近于时，趋近于0，

13/15

所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的

充分必要条件是,这即是,

所以的取值范围是.

22.（1）；（2）P的轨迹的参数方程为（为参数

），C与没有公共点.

解析：（1）将曲线C的极坐标方程化为，将代入可得；

（2）设，设，根据向量关系即可求得P的轨迹的参数方程

，求出两圆圆心距，和半径之差比较可得.

（1）由曲线C的极坐标方程可得，

将代入可得，即，

即曲线C的直角坐标方程为；

（2）设，设

，

，

则，即，

故P的轨迹的参数方程为（为参数）

曲线C的圆心为，半径为，曲线的圆心为，半径为2，

则圆心距为，，两圆内含，

故曲线C与没有公共点.

23.（1）图像见解析；（2）

解析：（1）分段去绝对值即可画出图像；

（2）根据函数图像数形结和可得需将向左平移可满足同角，求得过

时的值可求.

（1）可得，画出图像如下：

14/15

，画出函数图像如下：

（2），

如图，在同一个坐标系里画出图像，

是平移了个单位得到，

则要使，需将向左平移，即，

当过时，，解得或（舍去），

则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.

15/15