相关系数r

附录：相关系数r的计算公

式的推导(总2页)

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相关系数r

AB

的计算公式的推导

设A

i

、B

i

分别表示证券A、证券B历史上各年获得的收益率；

A

、

B

分别

表示证券A、证券B各年获得的收益率的平均数；P

i

表示证券A和证券B构成

的投资组合各年获得的收益率，其他符号的含义同上。

2

A



=

1

1

n

2)(AA

i

2

B



=

1

1

n

)(BB

i

2

2

P



=

1

1

n

2)

1

(

ii

P

n

P

=2)](

1

)[(

1

1

iBiAiBiA

BAAA

n

BAAA

n







=2)]()[(

1

1

BAAABAAA

nBAiBiA







=2)]()([

1

1

BBAAAA

niBiA







=

)])((2)()([

1

1

2222BBAAAABBAAAA

niiBAiBiA







=A2

A

×2

2

1

)(

B

iA

n

AA







×

1

)])([(2

1

)(2











n

BBAAAA

n

BB

iiBAi

=A

1

)])([(

22222









n

BBAA

AAAii

BABBAA



对照公式（1）得：

=

1

)(2





n

AA

i×

1

)(2





n

BB

i×r

AB

∴r

AB

=









22)()(

)])([(

BBAA

BBAA

ii

ii

这就是相关系数r

AB

的计算公式。

投资组合风险分散化效应的内在特征

1.两种证券构成的投资组合为最小方差组合（即风险最小）时各证券投资

比例的测定

公式（1）左右两端对A

A

求一阶导数，并注意到A

B

=1—A

A

：

(2

P



)′=2A

A

2

A



－2(1－A

A

)2

B



＋2(1－A

A

)

BA

r

AB

－2A

A

BA



r

AB

令(2

P



)′=0并简化，得到使2

P



取极小值的A

A

：

A

A

=

ABBABA

ABBAB

r

r





222

2





……………………………………（3）

式中,0≤A

A

≤1,否则公式（3）无意义。

由于使(2

P



)′=0的A

A

值只有一个，所以据公式（3）计算出的A

A

使2

P



为最小值。

以上分析清楚地说明：对于证券A和证券B，只要它们的系数r

AB

适当小

（r

AB

的“上限”的计算，本文以下将进行分析），由证券A和证券B构成的投资

组合中，当投资于风险较大的证券B的资金比例不超过按公式（3）计算的（1

—A

A

），会比将全部资金投资于风险较小的证券A的方差（风险）还要小；只

要投资于证券B的资金在（1—A

A

）的比例范围内，随着投资于证券B的资金

比例逐渐增大，投资组合的方差（风险）会逐渐减少；当投资于证券B的资金

比例等于（1—A

A

）时，投资组合的方差（风险）最小。这种结果有悖于人们

的直觉，揭示了风险分散化效应的内在特征。按公式（3）计算出的证券A和证

券B的投资比例构成的投资组合称为最小方差组合，它是证券A和证券B的各

种投资组合中方差（亦即风险）最小的投资组合。